第1章离散时间信号与系统

1、1 现代数字信号处理及其应用现代数字信号处理及其应用2数字信号处理（DSP，Digital Signal Processing）： 用数字计算机或其它专用数字设备，以数值计算的方式对离散时间信号进行分析、处理。传统数字信号处理 : 主要针对线性时不变离散时间系统，用卷积、离散时间傅里叶变换、z变换等理论对确定信号进行处理。现代数字信号处理: 在传统数字信号处理理论基础之上，基于概率统计的思想，用数理统计、优化估计、线性代数和矩阵计算等理论进行研究，处理的信号通常是离散时间随机过程，且系统可能是时变、非线性的。 前 言3数字信号处理理论（theory）： 根据从工程实际中抽象出的信号模型和系统模

2、型，用数学理论进行严格证明得到的定理等结论。数字信号处理算法(algorithm)： 为高速或高效实现某种数字信号处理理论，所采用的计算方法或计算技巧。例：DFT是理论；FFT是实现DFT的计算技巧，属算法。前 言数字信号处理理论与算法4非实时实现（ not real-time implementation ）： 用高级计算机语言，在通用计算机上实现的信号处理理论和算法；通常是对信号事后分析与仿真；如对采集的接收数据进行特征分析，参数提取与估计等。实时实现（ real-time implementation ）： 用数字信号处理器或专用数字器件对信号进行实时处理，如： DSP processo

3、r (TI, AD)； FPGA/CPLD；专用器件；或通用计算机等。前 言数字信号处理的实现5本课程特点：1、基本概念和基本理论讲清楚、讲透；2、注重理论算法与具体的工程应用相结合；3、适当介绍近年来发展的新理论新方法；4、对信号的时域处理理论重点介绍。前 言6 离散时间信号与系统； 离散时间随机过程； 功率谱估计与信号频率估计理论； 维纳滤波理论及自适应算法； 维纳滤波理论的应用； 最小二乘估计理论与算法； 卡尔曼滤波； 阵列信号处理与空域滤波； 盲信号处理理论。 前 言本课程主要内容7教材： 现代数字信号处理及其应用；何子述，夏威等；清华大学出版社参考资料：Simon Haykin. “

4、Adaptive Filtering Theory”；张贤达. 现代信号处理, 清华大学出版社.习题：解答题；仿真题考试：开卷笔试； 考查：完成习题；助教：夏威，廖羽宇前 言8 第第1章章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统9 主要内容主要内容 1. 离散时间信号的傅立叶分析 2. 离散时间信号的z变换 3. LTI离散时间系统的性能描述 4. 离散时间系统的格型结构 5. 窄带信号的正交解调 6. 多相滤波与信道化处理101.1 离散时间信号与系统基础离散时间信号与系统基础1.1.1 离散时间信号的定义与分类离散时间信号的定义与分类1. 离散时间信号的定义 信号可分为连续时间信号和离散时间

5、信号。 离散时间信号是指信号值仅在某些离散时刻有定义，而在其他时间无定义的信号。 离散时间信号可以通过对一个连续时间信号在时间上采样获得。11()( )dcsf nf nT=122. 离散时间信号的分类 根据不同的信号特征可获得多种信号分类方法。确定信号与随机信号实信号与复信号离散时间周期信号与非周期信号能量信号与功率信号131.1.2 离散时间信号的差分和累加离散时间信号的差分和累加1. 前向差分和后向差分一阶前向差分一阶后向差分 阶前向差分 阶后向差分m( )()( )1f nf nf nD+-( )( )()1f nf nf n-( )()( )111mmmf nf nf n-DD+-

6、D( )( )()111mmmf nf nf n-蜒- m142. 累加 对信号 ，其累加信号 定义为 累加和差分互为逆运算。离散时间单位冲激信号 定义为( )f n( )y n( )( )nky nf k= - ( )nd( )1,00,0nnnd= 15离散时间单位阶跃信号 定义为 单位冲激信号 单位阶跃信号( )u n( )1,00,0nu nn 累加差分( )( )()1nu nu nd=-( )( )nku nkd= - =1.1.3 离散时间系统定义及离散时间系统定义及LTI特性特性 离散时间系统是用于处理、传输离散时间信号的物理装置，在数学上可表示为输入信号与输出信号之间的一种映

7、射关系。16输入信号输出信号( )( )y nM f n轾=臌 齐次性 若输入信号 的响应为 ，输入 的响应为 ，且满足 。 可加性 若输入信号 的响应为 ，输入 的响应为 ，输入 的响应为 ，且满足 。17()1y n( )( )21fnafn=( )( )21ynay n=( )1fn()2y n( )1fn()1y n( )2fn()2y n( )( )( )12f nf nfn=+()y n( )( )( )12y ny ny n=+ 线性系统 若 ， ， 和 是常数，且 ，对于线性系统有 时不变系统 若 ， ，对时不变系统有18( )( )11y nM f n轾=臌( )( )22y

8、 nM fn轾=臌1a2a( )( )( )1 122f na f na fn=+( )( )( )( )( )1 1221 122y nM a f na fna y na y n轾=+=+臌叠加原理( )( )11y nM f n轾=臌( )()210fnf nn=-()()()21010y nM f nny nn轾=-=-臌1.1.4 LTI离散时间系统响应离散时间系统响应卷积和卷积和 对于LTI离散时间系统，输入信号 与输出信号 的映射关系可以用一个线性常系数差分方程及一组初始条件来描述 初始条件为 ， 均为常数，通常取 。 ( )f n( )y n()()00NMklkla y nkb

9、 f nl=-=-邋( ) ( )()1 ,2 ,yyyN-L0202,NMa aa b bbLL01a =当系统只有输入信号，初始状态为零时，系统的响应称为零状态响应。当系统输入信号为零，初始状态不为零时，系统的响应称为零输入响应。系统的单位冲激响应是指当系统输入信号为单位冲激信号 时的零状态响应，通常用符号 表示。 ( )nd( )h n 对冲激响应为 的LTI系统，任一输入信号 ，可用单位冲激信号 表示为系统对 的零状态响应可表示为21( )h n( )f n( )( ) ()mf nf mnmd= - =-( )nd( )f n( )( ) ()( )( )my nf m h nmf

10、nh n= - =-=*1.1.5 离散时间信号相关函数及卷积表示离散时间信号相关函数及卷积表示 对于能量信号 和 ，它们的互相关函数定义为 对于功率信号 和 ，它们的互相关函数定义为22( )x n( )y n( )( ) ()xynrmx n ynm*= - -取共轭( )x n( )y n( )( ) ()1lim21NxyNnNrmx n ynmN*= -+ 当 ，上述定义的互相关函数变成自相关函数。 根据卷积的定义，能量信号的相关函数可表示为23()()x ny n=( )( ) ()( )()( )()xynnrmx n ynmx n ymnx mym*= - = - *轾=-=-

11、臌=*-邋()x n()y n()x n()y n1.2 离散时间信号与系统的傅里叶分析离散时间信号与系统的傅里叶分析1.2.1 复指数信号通过复指数信号通过LTI系统的响应系统的响应 复指数信号 通过冲激响应为 的LTI离散时间系统，系统响应为 24( )0nf nz=( )h n( )( )( )( ) ()( )00nmmmy nf nh nh m f nmzh m z-= - = - =*=-=邋( )( )00mmH zh m z-= - ( )( )00ny nH zz=如果 可以表示为复指数信号 的线性组合，即 信号 通过冲激响应为 的LTI系统的输出信号为()f nnkz( )

12、nkkkfna z= - =()()f nh n( )( )nkkkky na H zz= - =1.2.2 离散时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换离散时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换 周期为 的离散时间信号 ，其傅里叶级数表示为 ( )0jknkkNf na ew= =( )01jknknNaf n eNw-= =N( )( )j nnFf n eww-= - =( )( )21d2j nf nFewpwwp=( )( )f nFwF()Nf n1.2.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 线性 若 ， ，那么 时移与频移特性 若 ，那么( )( )11f nFwF( )( )22fnFwF(

13、 )( )( )( )1212afnbfnaFbFww+F( )( )f nFwF()( )00j nf nneFww-F( )()00jnef nFwwwF 共轭对称性 若 ，那么对于实序列 ，它的傅氏变换为共轭对称的，即 时域展宽特性 信号 时间上展宽 倍的信号 可表示为 ( )( )f nFwF( )()fnFw*F( )f n( )()FFww*=-( )1,0,nfnNfnN 骣 桫= 为的整数倍其他()f nN( )1f n 若 ，那么特别地，有 频域微分特性 若 ，那么( )( )f nFwF( )()1f nF NFw( )()fnFw-F()( )f nFFw() ( )(

14、)ddFjn f nww-F 时域卷积特性 若 ， ，那么 时域相乘特性 若 ， ，那么()( )f nFFw( )( )h nHFw( )( )( ) ( )f nh nFHww*F()( )f nFFw( )( )h nHwF() ()( ) ()( )( )211d22f n h nFHFHpbwbbwwpp=*F 帕斯瓦尔定理 若 ，那么( )( )f nFFw( )( )2221d2nf nFpwwp+ = - =( )2Fw：信号的能量谱。( )2dFww：信号在频带 内的能量。dw1.2.4 离散时间系统频率响应与理想滤波器离散时间系统频率响应与理想滤波器1、离散时间系统频率响应

15、的定义 对于输入为 、输出为 的LTI离散时间系统，可用如下线性常系数差分方程进行描述 ()()()()()101NMy na y na y nNb f nb f nM+-+-=+-LL( )f n()y n( )( )( )( )( )10jj Nj MNMYaeYa eYb Fb eFwwwwwwww-+=+LL LTI离散时间系统的频率响应定义为表示为模和相位的形式有( )( )( )0111jjMMjjNNYbbeb eHFa ea ewwwwwww-+=+LL( )( )( )HjHHejwww=幅频特性相频特性( )( ) ( ) ()()(),YHFy nh nf nwww=*(

16、 )( )h nHwF2、离散时间理想滤波器 通过合理设计系统频率响应 ，可以达到改变输入信号频谱以获得期望信号频谱的目的，这一过程称为滤波。实现滤波的系统称为滤波器。 离散时间理想低通滤波器 离散时间理想高通滤波器 离散时间理想带通滤波器( )Hw 离散时间理想低通滤波器 理想低通滤波器的频率响应为( )cc1,0,Hwwwwwp=截止角频率 相应的系统冲激响应为 时：( )()csinnh nnwp=c/4wp= 离散时间理想高通滤波器 理想高通滤波器的频率响应为( )cc0,1,Hwwwwwp= 相应的冲激响应为 时：( )( )()csinnh nnnwdp=-c/4wp= 离散时间理

17、想带通滤波器 理想带通滤波器的频率响应为( )121,00,其他Hwwwpw=()012/2www=+中心频率： 相应的冲激响应为 时：( )()()()()20210sinsinsin2cosnnnh nnnnnwwwwwppp轾-臌=-12/4,3 /4wpwp=1.2.5 离散时间信号的离散时间信号的DFT和和FFT目的：对离散时间信号的傅式变换进行离散化，使计算机能在频域对信号处理。1、离散傅里叶变换 考虑一个持续长度为 的离散时间信号 由该信号构造周期信号 ，设周期 。L( )0,0f nnnL=和()NfnNL 信号 的傅里叶变换为周期信号 的傅里叶级数系数为( )f n( )(

18、)( )100LNj nj nnnFf n ef n ewww-=邋( )Nfn( )( )00110011NNjknjknkNnnafn ef n eNNww-=邋02Nwp=ka0w( )FwN 定义 为当 时， ，因此( )F k( )( )010,0,1,1NjknknF kNaf n ekNw-=-L01nN-()()Nf nfn=( )( )0101,0,1,1Njknkf nF k enNNw-=-L( )( )f nF k井D FT2、FFT的概念 快速傅里叶变换是DFT的一种高效计算方法。 记 ，对于一个长度为 的序列 ，有经分析，DFT计算需要 次复数相乘和 次复数相加。

19、0jNWew-=( )( )10,0,1,1NknNnF kf n WkN-=-LN( )f n2N()1N N-2N 具有如下特性： knNW()knknNNWW*-=()()k nNkN nknNNNWWW+=/,knmknknkn mNmNNNmWWWW=对称性：周期性：可约性：()()N k nk N nknNNNWWW-=()/2/21,1,kNNNkNNNNWWWW+= -= - 快速傅里叶变换的基本思想 利用上述特性，一方面可以将DFT计算中一些项进行合并；另一方面还可以将长序列的DFT分解为短序列的DFT。 快速傅里叶变换的运算量 对于长度为 的DFT计算，采用FFT方法需 次

20、复数相乘和 次复数相加。 2LN=2log2NN2logNN2logNN DFT与FFT运算量比较 计算机上乘法运算所需时间远多于加法运算所需时间，可以将两种算法所需的乘法次数之比，看成两者计算量之比例如，当 时，采用FFT需要5120次的复乘，大约为DFT所需复乘次数1048576的0.488%。 2222loglog2NNNNN=1024N=1.3 离散时间信号的离散时间信号的z变换变换1.3.1 z变换的概念变换的概念 对任一离散时间信号 ，定义信号 为选择适当的正实数 ，可使 绝对可加，它的傅里叶变换存在，表示为( )f n( )g n( )( )ng nf n r-r( )g n(

21、)( )( )()nj njnnGg n ef nrewww-= - = - =邋jzrew=( )( )nnF zf n z-= - =的z变换：()f n 根据离散时间傅里叶逆变换，信号 可表示为 ( )g n( )( )201d2j ng nGepwwwp=( )( )()201d2njf nGrepwwwp=( )( )ng nf n r-=jzrew=( )( )11d2nf nF z zzjp-= ddzjzw=逆z变换： 与其z变换 的关系可表示为如下形式为保证z变换收敛，应当选择 以满足由于 ，将使 收敛的z的取值范围（或 的取值范围）称为z变换的收敛域。注意：当收敛域包含单位

22、圆时 ( )f n( )F z( )( )f nF zZr( )nnf n r-= - jzrew=( )F zr( )( )|jzeFF zww=1.3.2 z变换的性质变换的性质 线性 若有下列z变换对成立那么( )( )111ROC:fnF zRZ()()222ROC:f nF zRZ()()()()1212c12ROC:af nbf naF zbF zRRR+ZI 时移特性 若信号 的z变换为则对于整数 有通常收敛域仍为 ，但由于因子 的引入，收敛域可能会发生变化。()()ROC:f nF zRZ0n()()00cROC:nf nnzF zR R-Z=R0nz-()f n z域尺度变换

23、 已知离散信号 的z变换为若 为一复数，那么有 的收敛域在z平面出现尺度伸缩。 ( )f n()()ROC:f nF zRZ0z( )0c00ROC:nzz f nFRz RzZ骣 桫()0F z z 共轭特性 若信号 的z变换为那么，其共轭信号的z变换为收敛域保持不变。( )f n( )()ROC:f nF zRZ( )( )*ROC:fnFzRZ 时域展宽特性 信号 时间上展宽 倍的信号 可表示为若信号 的z变换为那么( )1,0,nfnNfnN 骣 桫= 为的整数倍其他()f nN( )1f n( )f n()()ROC:f nF zRZ( )( )11c ROC:NNf nF zRRZ

24、 时域反转特性 若信号 的z变换为那么 z域微分特性 若信号 的z变换为那么( )f n()()ROC:f nF zRZ( )c11ROC:fnFRzR骣-桫Z( )f n()()ROC:f nF zRZ()()cdROC:dF znf nzRRz=Z 时域卷积特性 若有下列z变换对成立那么 中可能会发生零极点相互抵消的情况，从而使收敛域比交集大。 ( )( )111ROC:fnF zRZ( )( )222ROC:fnF zRZ( )( )( ) ( )1212c12ROC:fnfnF z FzRRR*ZI() ()12F z F z 初值和终值定理 若 为一右边序列，即当 时， 。其z变换为

25、 那么当 时， 。 若 的收敛域包含单位圆，则()f n0nn( )0f n =( )( )00limnzf nz F z轾=犏臌00n =( )( )0limzfF z=( )F z()()11zF z-( )( )()()11limlim 1nzff nzF z-轾=-犏臌1.3.3 离散时间系统的离散时间系统的z域描述域描述系统函数系统函数 对于输入为 、输出为 的LTI离散时间系统，可用如下线性常系数差分方程进行描述 ()()()()()101NMy nay na y nNb f nb f n M+-+-=+-LL( )f n()y n()()()()()110NMNMY zaz Y

26、za z Y zbF zb zF z-+=+LL 定义LTI离散时间系统的系统函数为系统函数中，通常 ，系统函数可进一步写成( )( )( )101111MMNNY zbb zb zH zF za za z-+=+LL()() () ( )( )( ),Y zH z F zy nh nf n=*( )( )h nH zZNM()()()()10111N MMMMNNNzb zbzbN zH zP zzaza-+=+LL 系统的零点：方程 的根。 系统的极点：方程 的根。 将非零零点记为 ，极点记为 ，则系统函数可写为 ( )0N z =( )0P z =12,Mz zzL12,Np ppL(

27、)()()11MNMllNkkzzzH zKzp-=-=-K 当系统函数 的收敛域包含单位圆时，有 ()H z( )( )()( )( )11jMjNMllNzekkeBHH zKAwwwww-=( )jkkAepww=-( )jllBezww=-极点向量：零点向量：K例例1.1 已知系统极点为 ， ，无非零的零点，定性画出系统的幅频特性。解：解：系统的幅频特性为（假设常数因子为1）令 ， 。当 时，这两个向量长度分别最短。当 时，两向量同时取最大长度。 410.8jpep=420.8jpep-=( )121jjHepepwww=-11jAepw=-22jAepw=-/4wp= wp= 向量

28、， 长度随 变化1A2Aw系统幅频特性曲线1.3.4 离散时间系统的方框图和信号流图表示离散时间系统的方框图和信号流图表示 系统的方框图实现，是指用一些基本的功能部件，经过合适的相互连接，以实现差分方程或系统函数描述的系统功能。基本实现部件加法器乘法器延时器对于由 所描述的系统，有()101111MMNNbbzb zH zaza z-+=+LLN阶系统的直接型方框图 当 时，系统函数为该系统除 外，没有任何极点，因此，这类系统称为全零点系统或横向滤波器。另外，该系统的冲激响应长度有限，因此，这类系统也称为有限冲激响应（FIR）系统。 0,1,2,kakN=L( )0MlllH zb z-=0z

29、 =逆z变换( )()0Mllh nbnld=-类似地，当 时，系统函数为0,1,2,lblM=LFIR系统的直接型方框图( )011NkkkbH za z-=+ 此系统除 外，无任何零点，因此，这类系统称为全极点系统。利用待定系数法，系统函数还可表示为 0z=( )( )( )1Nnkkkh ncdu n=()111NkkkcH zd z-=-逆z变换该系统的冲激响应不会是有限长，因此，这类系统称为无限冲激响应（IIR）系统。全极点IIR系统的直接型方框图 系统方框图为描述系统内部结构提供了方便，但是，由于图中加法器和延时器方框的存在，使方框图显得不够紧凑。 为了使系统结构图表示更紧凑，可将

30、系统表示为信号流图的形式。 直接实现形式的信号流图1.4 LTI离散时间系统性能描述离散时间系统性能描述1.4.1 系统的记忆性系统的记忆性 如果系统在任意时刻 的响应仅与该时刻的输入 有关，而与其它时刻的输入无关，则称该系统为非记忆系统（或系统无记忆性），否则称为记忆系统。 系统的记忆性有时也被称为动态特性。该特性强调系统的响应是否仅与当前时刻的输入有关。 0n( )0f n 对于无记忆LTI系统，其系统冲激响应为其中， 为一常数。 由于系统频率响应是冲激响应的傅氏变换、系统函数为系统冲激响应的z变换，因此，无记忆LTI系统的系统频率响应和系统函数分别为 ( )( )h nKnd=K( )(

31、 ),HKH zKw=1.4.2 系统的因果性系统的因果性 如果系统任意时刻的响应与以后的输入无关，则该系统称为因果系统（或系统具有因果性），否则为非因果系统。该特性强调的是，系统的响应是否与未来的输入有关。 对于因果LTI系统，其系统冲激响应满足( )0,0h nn= 系统冲激响应 是一个右边信号，因此，因果LTI系统的系统函数的收敛域为距原点最远的极点所在圆的圆外z平面。 同理，若系统是逆因果的，那么，其系统函数收敛域位于最接近原点的极点所在圆的圆内z平面。 ( )h n1.4.3 系统的可逆性系统的可逆性 设信号 、 通过系统的响应分别为 、 ，如果 ，一定有 成立，则称系统具有可逆性，

32、或称为可逆系统。 对于可逆系统，如果系统的响应已知，则可通过一个逆映射，求出原来的输入信号。这个逆映射便是原系统的逆系统。( )1f n()2f n()1y n()2y n()()12f nf n()()12y ny n 若LTI系统的冲激响应为 ，其逆系统的冲激响应为 ，则 ( )h n( )invhn( )( )( )invh nhnnd*=时域卷积特性逆系统的系统频率响应满足 逆系统的系统函数满足 ( )( )inv1HHww=( )( )inv1H z Hz =1.4.4 系统的稳定性和最小相位系统系统的稳定性和最小相位系统 如果任意信号 满足且 通过系统的响应 满足其中 、 均为有界

33、常数，则称该系统是稳定系统。 ( )f n( )1fnA ( )f n( )y n( )2y nA 1A2A 一个LTI离散时间系统稳定的充分必要条件是 对有理系统函数的LTI离散时间系统，系统稳定的充要条件是系统函数的收敛域包含单位圆。 如果一个因果稳定系统的零点和极点都在单位圆内，这个系统就称为最小相位系统，最小相位系统的逆系统也是因果和稳定的。 ( )nh n= - 1.4.5 线性相位系统与系统的群时延线性相位系统与系统的群时延1、非线性相位系统的概念 LTI离散时间系统的频率响应可用幅频特性 和相频特性 表示为 如果其中 是常数，则称该LTI离散时间系统是线性相位系统，否则称为非线性

34、相位系统。( )Hw( )Hjw( )( )( )HjHHejwww=( )H0jwwt= -0t 设系统输入信号的傅里叶变换为 ，则系统响应的傅里叶变换 可表示为( )Fw( )Yw( )( ) ( )( )HjYFHejwwww=线性相位非线性相位( )H0jwwt= -( )HKw=( )( )( )HjYK Fejwww=()()0y nK f nt=-( )2H2jwww= -+( )( )()22jYK Fewwww-+= 非线性相位系统的实质，是输入信号的不同频率成份通过系统后，具有不同的延时，这种现象常称为信号的色散。2、群时延的概念 LTI离散时间系统的群时延定义为 ( )(

35、 )Hddjwt ww- 对于线性相位系统，群时延为可见，线性相位系统对不同频率的输入信号具有相同的群时延，即系统响应的相位按频率线性变化。 对于相频特性为 的非线性相位系统，群时延为( )( )H0ddjwt wtw= -=( )2H2jwww= -+( )( )Hd22djwt www= -=-频率的函数 一个 阶的全零点系统的转移函数可表示为 ： 阶系统的第 个系数 。 的直接实现形式有 共 个参数，需要 个延时器和 次乘法。M( )( )( )11MMiiiH zB zbz-=+()()1,MMMbbLM()H z( )MibMiMM1.5 离散时间系统的格形结构离散时间系统的格形结构

36、1.5.1 全零点滤波器的格型结构全零点滤波器的格型结构 ：反射系数。 的格型结构中也有 个参数 ，需要 个延时器和 次乘法。 ik()H zM1,MkkLM2M全零点滤波器的格型结构 基本单元：( )( )()1111,2,mmmmpnpnqnmMk-=+-=L( )( )()111 ,1,2,mmmmqnpnqnmMk-=+-=L( )( )( )00pnqnx n=( )( )My npn=全零点滤波器格型结构的基本单元( )( )()111mmmmpnpnqnk-=+-( )( )()111mmmmqnpnqnk-=+-()()()111mmmmP zPzz Qzk-=+()()()1

37、11mmmmQzPzz Qzk-=+( )( )( )0/mmBzPzPz=( )( )( )0/mmCzQzQz=( )( )( )()1111mmmmBzBzz Czk-=+()()()()1112mmmmCzk Bzz Cz-=+()()()00P zQ zX z= 分别令 ，递推可发现 代入式(1)，有 另外根据式(1)和(2)易得1,2,3,mM=L()( )1mmmCzzBz-=()()( )111mmmmmBzBzzBzk-=+()()( )1121mmmmmmBzzBzBzkk-=-( )( )11mmimiiBzbz-=+( )( )( )()( )113mmmmmmiimm

38、ibbbbkk-=+ ( )()( )( )( )1241mmmmmmimmiimbbbbkkk-=-=-()()( )111mmmmmBzBzzBzk-=-()()( )1121mmmmmmBzzBzBzkk-+=- 算法算法1.1（求解全零点系统格型结构各系数的方法求解全零点系统格型结构各系数的方法） 步骤步骤1 给定系统函数 后， 即被 确定，于是 步骤步骤2 根据已求得的 和 ，利用式 (4)可求出 的系数 ，于是 步骤步骤3 重复步骤2即可得其余的 和 系数。( )H z(),1,2,MibiM=L()MMMbk=Mk( ),1,2,MibiM=L()1MBz-()1,1,2,1Mi

39、biM-=-L()111MMMbk-=ik( )iB z1.5.2 全极点滤波器的格型结构全极点滤波器的格型结构 全零点滤波器的格型基本单元中，输入、输出关系式也可改写为( )( )()111mmmmpnpnqnk-=-全零点滤波器格型结构的基本单元的逆形式 考虑由 个上述基本单元的级联其中 ，M全极点滤波器的格型结构()()Mpnx n=( )( )( )00p nq ny n= 当 时，( )( )()011 01p np nq nk=-1M =( )( )()11001q npnqnk=+-( )( )( )00p nq ny n=z变换( )( )11111YzPzzk-=+( )(

40、)()1111QzzzY zk-=+( )()1111DzzA z-=()()()()()01mmmQ zY zAzP zP z=( )( )( )( )( )0mmmQzQzDzQ zY z= 当 时，2M =( )( )()12211p npnq nk=-( )( )()22111q np nq nk=+-()()()011 01p np nq nk=-( )( )()11001q npnqnk=+-( )() ()()( )1222112y ny ny np nkkk= -+-+( )( )() ()()2212112q ny ny ny nkkk=+-+-( )( )( )()1222

41、1221111Y zA zP zzzkkk-=+( )( )( )()21222121QzDzzzY zkkk-=+( )()2122DzzAz-= 依次类推，不难得到 为以 为输入、 为输出的 阶IIR系统的系统传递函数， 为以 为输入、 为输出的 阶FIR系统的系统传递函数，且 因此( )1mAz( )mpn()y nm( )mDz( )y n( )mqnm( )()1mmmDzzAz-=( )( )( )( )( )( )( )1111MMiMMiiY zY zH zX zPzAzaz-=+级联后获得全极点滤波器的格型结构 将全零点滤波器的格型结构和全极点滤波器的格型结构进行级联，发现级

42、联系统的输入和输出均为 ，可见因此，在已知IIR系统函数后，令 ，利用算法1.1即可解得反射系数，从而得到全极点滤波器的格型结构。 ( )0p n( )( )111111MMiiMMiiiibzaz-=骣骣 + = 桫+桫( )( )MMiiba=()()MMiiba=1.6 连续时间信号的离散化及其频谱关系连续时间信号的离散化及其频谱关系 为一连续时间带限信号，为获得离散时间信号，首先对其进行采样，获得 ：采样周期。 定义离散时间信号 为()cft()() ()cssny tfnTtnTd= - =-sT( )()dcsfnf nT( )dfn (a) 连续时间信号的波形 (b) 连续时间信

43、号的频谱 (c) 采样后信号的波形 (d) 采样后信号的频谱 可见 与 有如下关系()() ()cssny tfnTtnTd= - =-( )()scsj nTnYfnT eWW-= - =( )()dcsfnfnT=( )()dcsj nnFfnT eww-= - =( )( )( )( )ssddTTFYYFwWwWwWWw=或( )dFw( )YW上述过程，在工程上，可用一个称为A/D转换器的专用集成电路实现。 (e)离散时间信号的波形 (f)离散时间信号的频谱 (e)(f) 假设连续时间信号 的最高角频率为 ，那么根据奈奎斯特采样定理，采样周期 应满足 由于 于是当 时，有 因此，离散

44、时间信号的角频率总是小于 的。()cftMWsTs/MTp WsTwW=0MWWsTwWp=p1.7 离散时间实信号的复数表示离散时间实信号的复数表示1.7.1 离散时间解析信号（预包络）离散时间解析信号（预包络） 根据傅里叶变换的共轭对称性可知，实信号 的频谱 满足可见， 中任何一个边带（ 或 ）都包含了原信号的全部信息，也就是说，在频率上对 的描述有一半是多余的，造成了频带资源的浪费。()f n( )Fw( )()FFww*=-( )Fw0wp0pw- ( )Fw 定义单边频谱信号 的DTFT为 它与 具有同样的信息，但与 相比，对它进行处理大大节省了频谱资源。 取 的离散时间傅里叶逆变换

45、，得到相应的时域信号 ，通常它是一个复数信号，将其称为 的解析信号或预包络。 ( )z n( )( )0,02,0ZFpwwwwp- ( )Fw( )Fw( )Zw( )z n()f n1.7.2 离散时间希尔伯特变换离散时间希尔伯特变换 根据 的定义，它可表示为其中 为频域阶跃信号 进行傅里叶逆变换后，可得( )Zw( )( ) ( )2ZFUwww=( )Uw( )0,01,0Upwwwp-= ( )( )()11122nu nnjndp- -=+ 根据时域卷积特性，解析信号 可表示为因此 定义信号 的希尔伯特变换为( )z n( )( )( )( )111222nz nf nnjndp轾

46、- -犏=*+犏犏臌()()()( )11nz nf nj f nnp轾- -犏=+*犏犏臌()f n()()( )( )()11111nkkf nf nf nknkpp=- - -*=-( )( ) ( )11nh nnp轾=- -犏臌 因此解析信号 可表示为 除了在时域内计算希尔伯特变换，也可以在频域内求解，由于所以 的频谱 为( )z n( )( )( )z nf njf n=+( )( )11nh nnp- -=( )( )0sgn0jHjjpwwwwp-= -=-B0w0Bw?( )f n0w 由解析信号定义及频谱关系可知：信号 正好是窄带信号 的解析信号 。复信号 称为窄带信号 的

47、复包络，或是基带信号、零中频信号，对窄带信号 其预包络 等于它的复包络 乘上复载波 。 ( )( )( )( )00jnjnjnz ng n ea n eejww=( )fn( )g n( )f n( )f n( )z n( )g n0jnew 进一步将复包络表示为直角坐标形式，有 令 那么( )( )( )( )( )cossing na nnja nnjj轾轾=+臌臌( )( )( )( )( )( )IQcossing na nngna nnjj轾轾=臌臌，( )( )( )IQg ngnjgn=+同相分量，I分量正交分量，Q分量1.8 窄带信号的正交解调与数字基带信号窄带信号的正交解调

48、与数字基带信号 ：一个实的连续时间窄带信号LO：本振 LPF：低通滤波器 ()f t模拟正交解调与采集电路原理框图1.8.1 模拟正交解调与采集电路原理模拟正交解调与采集电路原理 信号 可表示为 即( )ft()()()0cosf ta tttWj轾=+臌()()()()()()0001cossinsin 2sin2a tttta ttttWjWWjj轾轾轾-+=-+臌臌臌()()()()()()0001coscoscos 2cos2a tttta ttttWjWWjj轾轾轾+=+臌臌臌载波角频率()()()()()()()00coscossinsinf ta ttta tttjWjW轾轾=-

49、臌臌信息完全包括在同相和正交分量中，正交解调正是要获得这两个分量！ 与本振信号相乘后，有：()f t 通过低通滤波器滤除高频分量后即可提取同相和正交分量。最后，经A/D转换，便获得了窄带信号的离散时间基带信号的同相和正交分量：且其中 为窄带信号 的复包络。( )( )( )( )( )( )IQcos,singna nngna nnjj轾轾=臌臌( )( )( )IQg ngnjgn=+( )g n( )f n1.8.2 数字正交解调与采集电路原理数字正交解调与采集电路原理 模拟正交解调中，离散时间基带信号是通过对模拟基带信号进行数模转换得到的，其中，需要产生两个正交的模拟本振信号 和 ，当这

50、两个本振信号不正交时，就会使获得的基带信号失真。 随着近年来FPGA等数字器件的发展，在现代数字接收机中大量采用数字正交解调的方法。 ()0costW()0sintW数字正交解调时，模数转换直接在射频处完成，有( )( )( )0cosf na nnnwj轾=+臌数字正交解调与采集电路原理框图数字控制振荡器 数字控制振荡器产生数字正交本振信号，数字窄带信号与其相乘后，可得： 通过数字低通滤波器后获得离散时间基带信号： 且 ()()()()()()0001cossinsin 2sin2a nnnna nnnnwjwwjj轾轾轾-+=-+臌臌臌()()()()()()0001coscoscos 2

51、cos2a nnnna nnnnwjwwjj轾轾轾+=+臌臌臌( )( )( )( )( )( )IQcos,sing na nngna nnjj轾轾=臌臌( )( )( )IQg ngnjgn=+ 数字正交解调法的特点：优点：两个正交本振序列的形成和相乘都是数学运算结果，所以正交性是完全可以得到保证的。缺点：直接在射频（或中频）进行采样数字化，对A/D采样的速率要求比较高。在采样速率很高的情况下，会导致后续数字低通滤波器阶数的提高，实现起来较困难。（解决方法：基于带通采样和多相滤波的数字正交解调）1.8.3 基带信号的随机相位与载波同步基带信号的随机相位与载波同步 由于传输信道或是其他一些原因造成本地载波与信号载波之间存在频差和相差 ，会导致在理想的同相分量和正交分量中引入频差和相差。 ：频差 ：相差( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )IQcossingna nnnnngna nnnnnwjjwjj轾=D+ D臌轾=D+ D臌( )nwD( )njD 此时，可得到如下幅度信息及相位信息 载频失配对正交解调后的幅度信息没有影响，然而，解调后得到的相位信息中叠加了由频差和相频引起的相位成分 。 ( )( )( )22IQgngna n+=( )( )( )( )( )QIarctangnnnnng njwj轾犏=+ D+ D犏犏臌( )(