角平分线 (2)

1、1.角平分线的性质定理和判定定理。2.用尺规作角的平分线。还记得角平分线上的点有什么性质吗还记得角平分线上的点有什么性质吗? ?你是怎样得到的你是怎样得到的? ? 与小组同学交流。与小组同学交流。角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。 回顾 思考角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。已知：如图，已知：如图，OCOC是是AOBAOB的平分线，点的平分线，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分别为，垂足分别为D D、E E求证：求证：PD=PEPD=PE证明：证明：1=21=2，OP=OPOP=OP，PDO

2、=PEO=90PDO=PEO=90，PDOPDOPEO(AAS)PEO(AAS)PD=PE(PD=PE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )AOCB12PDE定理：角平分线上的点到这定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等. .OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意上任意,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已已知知) )PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的两边距离相等两边距离相等).).AOCB12PDE你能写出上面这个定理的逆命题吗你能写出上面这个定理的

3、逆命题吗? ?性质定性质定理理: :角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等. .如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上个角的平分线上这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出反例。反例。不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到角两边不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角平分线性质定理的逆命题：

4、在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。它是真命题吗它是真命题吗? ?如果是如果是. .请你证明它。请你证明它。AOCB12PDE已知：在AOB内部有一点P，且PDOA，PEOB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在AOB的角平分线上证明：证明：PDOAPDOA，PEOBPEOB， PDO= PEO=90PDO= PEO=90在在RtRtODPODP和和RtRtOEPOEP中中OP=OPOP=OP，PD=PEPD=PERtRtODP RtODP RtOEP(HL)OEP(HL)1=2(1=2(全等三角形对应角相等全等三角形对应

5、角相等) )AOCB12PDE判定定理：判定定理： 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的且到角的两边距离相等的点两边距离相等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知), ), 且且PD=PE,PD=PE, 点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一个在一个角的内部角的内部, ,且到角的两边距离相等的且到角的两边距离相等的点点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).AOCB12PDE1.1.如图如图,AD,AE,AD,AE分别是分别是ABCABC中中AA的内角平分线外角

6、平分的内角平分线外角平分线线, ,它们有什么位置关系它们有什么位置关系? ?老师期望:你能说出结论并能证明它.EDABCF2.2.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.求证求证:EB=FC. :EB=FC. 老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. BAEDCF你能用什么办法平分一个已知角呢？你能用什么办法平分一个已知角呢？1 1可以用量角器可以用量角器2 2使用三角尺，也可以平分一个已知角使用三角尺，也可

7、以平分一个已知角3 3用角尺也可以平分一个已知角用角尺也可以平分一个已知角4 4用直尺和圆规平分一个已知角用直尺和圆规平分一个已知角5. 5. 用折纸的办法也可以用折纸的办法也可以平分一个已知角平分一个已知角已知:AOBAOB,如图.求作:射线OC,使AOC=BOCAOC=BOC.用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOBAOB内内交于点C.3.作射线OC.则射线OC就是AOB的平分线.ABOCDE你能说明射线OC为什么是AOBAOB的平分线吗？1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线。你发现了什么？2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.CDABO温馨提示：本题综合运用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质哦！3.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000)。A区 1.1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这