圆锥曲线知识点整理

1、高二数学圆锥曲线知识整理知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程， 常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题； 二是未 知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。1、三种圆锥曲线的研究(1 )统一定义，三种圆锥曲线均可看成是

2、这样的点集：dPid-eenO、 dF为定点,d为PHI二缄曲厂沐F-，虻隊因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律 性。当0e1时，点P轨迹是双曲线；当 e=1时，点P轨迹是抛物线。(2)椭圆及双曲线几何定义：椭圆： P|PF i|+|PF 2|=2a , 2a|FiF2|0, Fi、F2为定点, 双曲线P|PF i|-|PF 2|=2a , |FiFz|2a0 , Fi, F2为定点。(3 )圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭

3、圆及双曲线关于长轴、 短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。椭圆双曲线抛物线焦距2c长轴长2a实轴长2a短轴长2b (双曲线为虚轴)焦点到对应准线距离P=2b2cP通径长2b2a2p离心率e =ca1基本量关系a2=b2+c2C2=a2+b2（4 ）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变） 举焦点在x轴上的方程如下：椭圆双曲线抛物线标准方程2 、，2xy+ =1a2b2(ab0)2 、#2x y =1 a2 b2(a0, b0)2y =2px ( p0)顶点( a, 0)(0，土 b)( a, 0)(0, 0)焦占八、八、( c, 0)(p , 0)2准线2X= cX2中心(0,

4、0)有界性|x| w a|y| w b|x| ax 0焦半径P（xo, yo）为圆锥曲线上一点，Fi、F2分别为左、右焦点|PF i|=a+ex 0|PF 2|=a-ex 0P在右支时：|PF 1|=a+ex 0|PF 2|=-a+ex 0P在左支时：|PF 1 |=-a-ex 0|PF 2|=a-ex 0|PF|=x 0+P2总之研究圆锥曲线， 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2、直线和圆锥曲线位置关系（1 ）位置关系判断：法（适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和

5、双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两 种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为 0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两 种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为 0。（2 ）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。4 、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方 法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。例题研究例1、根据下列条件，求双曲线方程。(1 )与双曲线2 2jj1有共同渐近线，且过点(-3，2,3)；(2 )

6、与双曲线2 21有公共焦点，且过点(3.2 ,1642)。分析:2 2法一：(1)双曲线x L9164二1的渐近线为y二x3令 x=-3， y= 4,因 2. 3 : 4，故点(-3，2.3 )在射线4y x (xw 0)及x轴负半3轴之间,双曲线焦点在x轴上2 y2设双曲线方程为 笃-爲=1 ,a2 b2(a0, b0)b _4a 3(-3)2(2、3)2 才a2b2解之得:a2b2_94=4双曲线方程为(2 )设双曲线方程为a2b2(a0, b0)a2 b2O2)22a=2022=1解之得:2 a b2=12=8双曲线方程为2 y12 8x2法二：(1)设双曲线方程为x2916(-3)2(

7、2 . 3)216双曲线方程为2 2X y_ .14(3 )设双曲线方程为2X16 -k=1(3.2)2 _ 22=116 -k 4 k 解之得：k=4双曲线方程为2 X12评注：与双曲线2-話/共渐近线的双曲线方程为2与=& (入丰0),当入0b时，焦点在x轴上;当入0，b -k0)。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。2 2例2、设F1、F2为椭圆 y 1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知 P、F1、F2是94个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF 2|，求！电!的值。1 PF2 1解题思路分析：当题

8、设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。IPF1I+IPF2 |=6 法一：当/ PF2F1=900 时，由 qPF1 |PF2 |2 +(2c)2 得：c2 =5144|PF1 |, |PF2 | = -33 EFJ _7 |PF22当/ F1PF=90时，同理求得 |PF1|=4 , |PF2|=2 |PF1 | 22|PF21法二：当/ PF2F1=90, xP = 54yp _3又 F2 ( ,5 , 0) |PF 2|= 4 |PF i|=2a-|PF2|=上3当/ FiPF=90，由丿X2 +y2 =&5)222得:x y194p （土m （1 m ）关于X的二次函数式

9、，下求该二次函数值域，从而得到 1 -5m2取值范围。根据双曲线有界性：|x|m , x2mm2(1 _m2)2-m21 -5m2又 m | m |且 mM m （-彳,）（，）评注：利用双曲线的定义找到点 P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时,J5,）。下略。55评注：由|PFi|PF 2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。例 3、设点 P 到 M（ -1，），N（ 1，）的距离之差为2m到x轴、y轴的距离之比为 2,求m取值范围。分析:根据题意，从点P的轨迹着手/ |PM|-|PN|=2m2 Xm21m2点P轨迹为双曲线，方程为2y1 (|m|0 时，设 A (xi, yi),

10、 B (X2, y2),则中点 M (xo, yo),2(1 十 kb)1+kbX1 x 2, X o 二1-k1-k yo=kxo+b= - ?1 k2/ M在O O上2 2a (1+kb)A x o +yo =12+(k+b) 2=(1-k 2)2,.3k -由得:3 或 b = -2 J3 、3討73或yf 2-法二：设M (xo, yo),则切线AB 方程 xox+yoy=1当yo=O时，xo= 1,显然只有x=-1满足;x1当 yoM o 时，y ox . yoyo代入(x-1) 2-y 2=1 得：(y o2-x o2)x 2+2(x o-y o) 2x-仁o22 丄可进一步化简方

11、程为:/ y o +xo =1由中点坐标公式及韦达定理得:2Xo Xo -11 -2x。2即 2xo(y1-y 2) (y 1+y2)=2p(x 1_x 2)y1 -y2 _ 2pX1 X2y1 y2-x o2(2 )T y 1 =2px1, y2 =2px2-2xo+1=O1解之得：X0= 1(舍)，X0= 23y o=。下略2)转化为关于rHzjo评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件( “相切”和“中点” 参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的例5、A B是抛物线y2=2px ( p0)上的两点，且 OM OB(1 )求A、B两点的横坐标之积和

12、纵坐标之积；(2) 求证：直线AB过定点；(3) 求弦AB中点P的轨迹方程；(4) 求厶AOB面积的最小值；(5) O在AB上的射影 M轨迹方程。分析：设 A (X1,y 1), B ( X2,y 2),中点 P (Xo,y 0)YiX1，kOBy2X2k AB2py1 y2/ OA丄 OB/ k o/koB=-1.x 1X2+y1y2=0/ y 12=2px1, y22=2px2222y1y 2 =02p 2pT y & 0, y2 0“ 2.y 1y2=-4p“ 2.x 1X2=4p直线 AB： y _yr = 2p (X -X1)y1 +y22pxyi y2yi2pxiyi y222px

13、 yi 2pxi +yiy2 y 二yi y2yi y2yi2 =2pxi, y2 二-4p22pxyi y2-4p2yi y2k2IF 2 y = 2p (x _2p)yi y2 AB 过定点(2p, 0),设 M (2p, 0)(3)设 OA： y=kx，代入 y2=2px 得：x=0, x=-2pp k A (空空)k2，k同理，以_丄代k得B (2pk2, -2pk )k (k2 * i、 Xo =p(kkiy。=p( -k)-kxo(5)法一：设 H( X3,y 3)，则 kOHy.3X3=(比)2 2p p即 yo2=pxo-2p2中点M轨迹方程y2=px-2p2i(4) s.ao

14、b -S aom s bom IOM I (Iyi 丨丨y 21) = p(ly i 丨 Iy21)2pI =4p2当且仅当Iy iI=Iy 2I=2p时，等号成立 评注：充分利用(i)的结论。k AB X3y3 AB:X3 /y y3(x x3)y3y 3223) X3代入 y=2p得y处yX3竺2PX3,X3由( 1 知,yiy2=_4p22py32X32PX3 =4p222整理得：X3 +y3 -2pX 3=0点H轨迹方程为x2+y2-4x=0 (去掉(0, 0) 法二：/ OHM=90又由(2)知0M为定线段 H在以0M为直径的圆上点H轨迹方程为(X-p) 2+y2=p2,去掉(0,

15、0)2例6、设双曲线X2 -y 1上两点A、B, AB中点M( 1 , 2)2(1)求直线AB方程；C D是否共圆,(2 )如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于 C、D两点，那么A、B为什么?分析：(1)法一：显然 AB斜率存在设 AB： y-2=k(x-1)=kX +2 -k,/口222由2 y2 得：(2-k )x -2k(2-k)x-k+4k-6=0x2 =1I. 2当厶 0 时，设 A (X1,y 1) , B (X2,y 2)则-X1 X2 _ k(2 _k)22 -k2 k=1，满足 0直线 AB: y=x+1法二：设 A (X1,y 1), B (X2,y 2)2X12y12=1

16、2X2，一 , 1两式相减得：(xx2)(x 1+x2)=(y 1-y 2)(y 1+y2)2/ X 1工 X2.y1 -丫2 _2(X1 X2)X1 -X2y1 y2 k AB/. AB: y=x+12代入x2 -1得： 02评注：法一为韦达定理法， 法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件厶0是否成立。(2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设A、B、C、D共圆于O OM因AB为弦，故 M在AB垂直平分线即 CD上；又CD为弦,故圆心 M为CD中点。因此只需证 CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|y =x +1由2 y2得：A (-1 , 0), B (3, 4)x1I 2又CD方程：y=-x+3y - -x 3由 2 y2得：x2+6x-11=0