V带传动多目标优化设计

1、V带传动多目标优化设计1问题提出设计带式输送机传动装置上的普通V带传动，已知电动机额定功率P=4Kw, 转速ni=1440r7min,传动比i=3,采用A型V带，每天工作不超过10小时,设 计带根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小的方案。2问题分析一般优化问题只有一个目标函数，但在工程实际问题中往往期望几项设计指 标都同时达到最优，如本例要求带根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小这3 项设计最优化。在一组约束下，多个不同的目标函数进行优化设计，即称为多目 标优化设计。其数学模型的一般形式如下：(参考机械零件与系统优化设计建模及应用, 周延美蓝悦明编著，化学工业出版社)minF(x) = /1(x)

2、,/2(x),.,/q(x)rs. t gj(x) = gj(.xllx2l 式 0 J=l» 2,mhkM = /ik(Xi，x2,= 0 k=l,2, , 1一般情况下，各目标函数/!(x),%(x)，,4(x)所表达的指标往往是相互矛盾 的，在优化设计过程中相互影响，相互牵制。当目标函数处于冲突状态时，不存 在最优解使所有目标函数同时达到最优，于是我们寻求有效解。根据资料显示有如下几种求解方法：统一目标法、主目标法、分层序列法、 极大一极小法。本文应用统一目标法中的线性加权法，其中统一目标法指把多目 标问题转化为单目标问题求解。线性加权法的基本思路是把多目标函数月仪)(X)，,

3、后(X)依其量级和在设 计中的重要程度分配其相应的加权因子31(X)M2(X), .MqG) , 31(X)> 0, O)2M > 0, .,coq(x) > 0o 且1=1然后将q个分目标函数统一成一个目标函数，即qf(x) = W 3/(X)i=l其中加权因子叼的选取办法如下：如果目标函数值的变动范围为 o. <E(X)</?; (j=l, 2, 3,q),则A弓=Z(j = l,2,3，,q)为各目标的 容限，取加权因子为3/ = 1/2 0 = 1,23,q) o/(“)故求得单目标函数min£,=i3/(x)。在Matlab的优化工具箱中，fg

4、oalattain函数用于解决此类问题。其数学模型形式为：min YF(x)-weight ygoalc (x) WOceq(x)=0A xWblbxub其中，x, weight, goal, b, beq, lb 和 ub 为向量,A 和 Aeq 为矩阵,c (x), ceq(x) 和F(x)为函数，调用格式：x=fgoalattain(F, xO, goal, weight)x=fgoalattain (F, xO, goal, weight, A,b)x=fgoalattain (F, xO, goal, weight, A,b,Aeq,beq)x=fgoalattain (F, xO,

5、 goal, weight, A,b,Aeq,beq, lb, ub)x=fgoalattain (F, xO, goal, weight, A,b,Aeq,beq, lb, ub, nonIcon)x=fgoalattain (F, xO, goal, weight, A,b,Aeq,beq, lb, ub, nonIcon,options)x=fgoalattain(F, xO, goal, weight, A,b,Aeq,beq, lb, ub, nonIcon,options,Pl, P2)x, fval=fgoalattain(eee)x, fval, attainfactor=fg

6、oalattain()x, fval, attainfactor, exitflag, output =fgoalattain()x, fval, attainfactor, exitflag, output, lambda =f goal attain ()说明：F为目标函数；xO为初值；goal为F达到的指定目标；weight为参 数指定权重；A、b为线性不等式约束的矩阵与向量；Aeq、beq为等式约束的矩阵 与向量：lb、ub为变量x的上、下界向量：nonIcon为定义非线性不等式约束函 数c(x)和等式约束函数ceq(x); options中设置优化参数。x返回最优解;fval返回解x

7、处的目标函数值;attainfactor返回解x处的目标达到因子；exitflag描述计算的退出条件；output返回包含优化信息的 输出参数；lambda返回包含拉格朗II乘子的参数。3模型建立（1）设计变量由己知条件，可知V带传动的独立设计变量是小带轮直径和带的基准长度,即 X=x1, x2 T= ddi，Ld T o（2）目标函数依上述分析可知目标函数包括三个分目标:a.小带轮直径 min 4 (X)=ddi = Xb.中心距 min f2 (X) =a=a1 + Ja； a?其中，aLa/4- (i+1) ddl/8 , a2= (i-1)2 d/8，传动比 i=3 。c.带的根数mi

8、nf3 (X) =z=KAP/(P0+AP0)Ka KL""一 字咚)(1_L)AVx10-37200%n A6r八令= X 11.1-)1 1000yj 7200th、,ZAEyQ七=方丽（1一经过查表，可知A型带对应的K1,K2,K3分别是0. 449,19. 62,0.76 X 10-4oKa为工况系数。(3)约束条件根据机械设计手册中带轮设计计算办法，可列得如下：小带轮直径不小于推荐的A型带轮最小直径<1好=10011111 ,即gi(X) = dmm - ddl = 100 - Xj <0 ；带速不超过最大带速vmax = 25m/s ,即g2(X)

9、= ddln/60000 -vmax = idln/60000 - 25 <0小带轮包角大于amax = 120,即g3(X)=一 % =%-180C1 - ddl(i - 1) / a扪=120 - 180(1 - 2占 /< 0中心距大于0.7ddi(i + l),即g4(X) = 0.7 ddl(i + l)-a = 2.8% -a <0(4)确定分目标的权重小带轮基准直径在80100mm之间，中心距在320400mm之间，带的根数为1一4。%=/；歹2；/31=(100 - 80)/ 2产(400 - 320)/ 2?2;(4 - 1) / 2?2 = 10-2;40

10、-2;1. 5-24 MATLAB程序编制4.1主函数% V带传动多目标优化设计P=4;i=3;nl=1440;KA=l. 1;x0=100;12501;lb=80;630;ub=100;40001;goal=75, 280,2;w=10*-2, 40-2,1.5*-2;%已知条件与初始点（小带轮直径，V带基准长度）%最小带轮直径和A型V带基准长度与最大带轮直径和A型V带基准长度%分目标%分目标加权系数xopt, fopt=fgoalattain(VDCD_3mb_MB, x0, goal, w, ,口, lb, ub, VDCD_3mb_YS)4.2目标函数function f=VDCD_3

11、mb_MB(x)P=4：i=3;KA=l. 1;f (l)=x(l);al=x (2) / 4-pi*x (1) * (i+l)/8;a2=x(l)-2*(i-l)"2/8;a=al+sqrt (al 2-a2);f(2)=a;P0=0. 02424*x(l)-l. 112879;DPO=O. 17;%fl小带轮基准直径%f2中心距%单根带额定功率9b查表功率增量alpha=180-180*x(l) *(i-l)/pi/a; 与小带轮包角Kalp=alpha/(0. 549636*alpha+80. 396114); %包角系数KL=0. 20639*x(2)-0.211806;%长

12、度系数f (3) =KA*P/(PO+DPO) /Kalp/KL; %V 带根数4.3约束函数先设置优化参数functiong, ceq=VDCD_3mb_YS(x)i=3;nl=1440;晨1)=100-x(l);%小带轮直径约束g(2) =pi*x(l) *nl/6e4-25;外带速约束al=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;a2=x(l)，'2*(i-l)2/8;a=al+sqrt(al 2-a2);g(3) =120-180*(l-x(1)*(i-l)/a/pi);，小带轮包角约束g(4)=0. 7*x(l)*(i+l)-a;%中心距约束ceq=;4. 4运行结果A

13、ctive inequalities (to within options. TolCon = le-006):lower upper ineqlin ineqnonlin1 15xopt =1. 0e+003 *0. 1000 1.2269fopt =100. 0000 281. 52953. 59575结果优化处理A型V带轮的基准直径系列(1)带轮直径优化800700600500 P,ooOP KH 而400 典 嘲300200飞。麒”100 0051015202530序号图A型V带轮的基准直径系列由上文算得，小轮直径f (1)=100. 0000mm,根据图A型V带轮的基准直径系列所示，

14、f(l)优化结果取值100mm。附：x=l:28;yl=75 80 85 90 95 100 106 112 118 125 132 140 150 160 180 200 224 250280 315 355 400 450 500 560 630 710 800;plot (x, yl,' :ok，)title (' A型V带轮的基准直径系列')xlabel (, 序号')ylabel ('基准直径dj)(2)中心距优化由上文算得，中心距初步f (2)=281. 5295mm。(ddl - dd2)2首先计算带长LdoLdo " 2q<

15、;)+ -(ddl + dd2)+乙其中ds = 100mm, dd2 = 315mm, aQ = 281.5295mm。算得% 1254mm。根据机械设计手册优化带长基准长度为=1250mm由于带轮的制造误差、带长误差、带的弹性以及因带的松弛而产生的补充张紧的需要常给出中心距的变动范围Ojnin = a -0. 015Ld = 281.5295 0.015 X 1250 = 262.7795mmamax = a +0. 03Ld = 281.5295 + 0.03 X 1250 = 319.0295mm因此，中心距优化结果取300mln。(3)带根数优化由上文算得，带根数初步f(3)= 3.

16、5957,优化结果取得4。6课程建议本人学习课程一个学期以来，获益匪浅，特别是matlAB的函数处理模块， 这将对本人以后的读研生涯有着极大潜在的帮助。谢谢老师！建议:（1）选择一本更加经典的教材。教材的内容和深度应该有助于将来在相关 领域学习可以有更大参考价值和留存价值，而这本教材相对简单.，内容少，上课 完毕后很多同学直接把书压箱底，根本没有翻过，没有研究的兴趣。（2）基础知识部分可在1、6周教完。原因：据我观察，没有强制的课程作 业，本班有99与的同学不会在课下时候练习操作matlAB,都是上课时候去听老师 讲，同时老师讲的很详细但速度慢。因此可提快速度，相应布置课堂作业让我们 课下练习以巩固知识，大可不必担心我们的学习能力。（3） 7、11周建议课程教学内容与本专业联系更加密切，实