高中数学必背公式——立体几何与空间向量

1、高中数学必背公式立体几何与空间向量知识点复习：1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化：线线平行线面平行面面平行，线线垂直线面垂直面面垂直。4求角：（1）异面直线所成的角：可平移至同一平面；也可利用空间向量：=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）。（2） 直线与平面所成的角：在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线与平面所成角(为平面的法向量).（3）二面角：方法一：常见的

2、方法有三垂线定理法和垂面法；方法二：向量法：二面角的平面角或（，为平面， 的法向量）.5. 求空间距离：（1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”；（2）两条异面直线的距离：（同时垂直于两直线，、分别在两直线上）；（3）求点面距： （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）；（3）线面距、面面距都转化为点面距。题型一：空间几何体的三视图、体积与表面积例1：已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D.例2：某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D.俯视

3、图正(主)视图侧(左)视图2322例3：右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A BC D题型二：空间点、线、面位置关系的判断例4：已知、是不重合的直线，和是不重合的平面，有下列命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则且；（4）若，则.其中真命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3例5：给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那

4、么些两个平面互相垂直；其中真命题的个数是( )A4 B3 C2 D1例6：给出下列命题过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直；其中正确命题的个数为（ ）.A0个 B1个 C2个 D3个题型三：空间线面位置关系的证明和角的计算例7：空间四边形中，且成的角，点、分别为、的中点，求异面直线和成的角例8：已知三棱锥中，平面，为上一点，分别为，的中点.（1）证明：；（2）求与平面所成角的大小.例9：如图，四棱锥中，底面，底面为梯形，点在棱上，且（1）求证：平面平面；（2

5、）求证：平面；（3）求平面和平面所成锐二面角的余弦值例10：已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点。（1）证明：面面；（2）求与所成的角余弦值；（3）求面与面所成二面角的余弦值。题型四：空间距离的计算例11：点是线段的中点，若、到平面的距离分别为和，则点到平面的距离为 .例12：如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.（1）求证：EF是AB和CD的公垂线；（2）求AB和CD间的距离；例13：如图，在长方体中，在上，且，在上，且，（1）求点到直线的距离；（2）求点到平面的距离。例14：如图，正方形与成的二面角，且正方形的边长为，、分别为，的中点，求异面直线与的距离。例15：如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，求异面直线AB与PC的距离。例16：已知是底面边长为的正四棱柱，为与的交点（1