平行四边形辅助线

1、平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.第一类：连结对角线，把平行四边形转化

2、成两个全等三角形。例 1 如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点 E, F 在对角线 AC 上，且 AECF ,请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结 BF BFDE证明：连结DB,DF ,设 DB, AC 交于点 O四边形 ABCD 为平行四边形 AOOC,DO OBAE FCAO AEOC FC即 OEOF四边形 EBFD 为平行四边形 BFDEDCDCFOOEABABE图 1图2第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例 2 如右图 2，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相

3、交于点 O，如果 AC12 ，BD 10， ABm ，那么 m 的取值范围是（）A 1 m 11B 2m 22C10 m 12D 5 m 6解：将线段 DB 沿 DC 方向平移，使得 DBCE ,DCBE ,则有四边形 CDBE 为平行四边形 ,在 ACE中, AC12, CEBD10, AE2 AB 2m 12 10 2m12 10，即 22m 22解得 1m 11故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例 3 已知：如左下图3，四边形ABCD 为平行四边形求证： AC 2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 2证明：过 A, D 分别作 AEBC于

4、点 E， DFBC 的延长线于点 FAC2AE 2CE 2AB2BE 2(BC BE)2AB 2BC 22BE BCBD 2DF 2BF 2(CD 2CF 2)(BCCF)2CD 2BC 22BC CF则 AC2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 22BCCF2BC BE四边形ABCD 为平行四边形 ABCD且 ABCD, ADBCABCDCFAEBDFC900ABEDCFBE CFAC2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 2CED1D3APF2BECFBAK图3图 4第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例 4：已知：如右上图 4，在正方形 ABCD 中， E, F

5、分别是 CD 、 DA 的中点， BE 与 CF 交于 P 点，求证： AP AB证明：延长 CF 交 BA 的延长线于点K四边形 ABCD 为正方形 ABCD且 AB CD, CDAD ,BADBCDD 900 1K又DDAK900 ,DFAF CDF KAF AKCDAB CE1 CD, DF1 AD CEDF22 BCDD 900BCE CDF 121390023900CPB900,则KPB900 AP AB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例 5 如左下图 5，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为边 CD 上任一点，请你在该图基础上， 适当添加

6、辅助线找出两对相似三角形。解：延长 AE 与 BC 的延长线相交于F ，则有 AED FEC , FAB FEC , AED FABAADDENOFBCFBE图6C图5第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例 6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD 中， ANBN ,BE1BC,NE3交BD于F ，求 BF:BD解：连结 AC 交 BD 于点 O ,连结 ON四边形 ABCD 为平行四边形 OAOC,OBODBD2 ANBNON 1BC且ON1 BC BEBF22ONFO BE1 BCBE:ON2 : 3 BF23FO3 BF2BF:BD1 : 5BO5综上所述，平行四边形中常

7、添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形） 、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。课堂练习1、如图，已知 ABC 是等边三角形， D、 E 分别在 BC 、AC 上，且 CD=CE ，连结 DE 并延长至点F，使 EF=AE ，连结 AF 、 BE 和 CF。（ 1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明；（ 2）判断四边形 ABDF 是怎样的四边形，并说明理由；（ 3）若 AB=6 ， BD=2DC ，求四边形 ABEF 的面积。2、如图，在矩形1ABCD 中， E、F 分别是 AD 、 BC 的中点，点 G、H 在 DC 边上，且 GH= DC 。2若 AB=10 ， BC=12 ，则图中阴影部分的面积为_。3、如图， E、 F 分别是平行四边形 ABCD 对角线 BD 所在直线上两点， DE=BF ，请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。（只需研究一组线段相等即可）。（ 1）连结 _ ；（ 2）猜想： _；（ 3）证明：（说明：