知识点有理数

1、第一章有理数1、正数、负数的概念和作用，2、有理数按两种标准分类。非正数：负数和 0；非负数：0的意义。（大于0的数是正数，小于0的数是负数。0非负非正，是正、负数的分界。） 整数和分数统称为有理数 。整数可分为正整数、0、负整数。分数分为正分数和负分数。 正数和 0。非负整数：正整数和0.非正整数：负整数和0.不是有理数，也不是分数。所有的有理数都可写成两个整数的比，因此把有理数又叫做可比数。有理数可以用m （ m、n均为整数，n 0 ）来表示。n3、数轴的概念和三要素及数轴的画法。说明：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。4、 相反数的概念和性质、相反数与倒数的

2、区别。求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号 。互为相反数的两数的和为0，即 a (a)（a） a 0。若a、b互为相反数，则a b 0,a互为相反数的两数的绝对值相等互为相反数的两数的偶次方相等。女口 22。一个数的相反数的相反数是这个数本身。（a）2n （说明：2n表示偶数）。如（5）10 510, （ £）16 （£）16。它们分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等。如土3到原点的距离都是。0的相反数是0。a与 a互为相反数。即a2n互为相反数的两个数在数轴上表示时，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，互为相反数的两数异号3.符号的化简：在一个数的前面添上

3、“-”号，表示这个数的相反数；在一个数的前面添上“+”号，表示这个数本身例如：（5）表示 5的相反数，（5）表示 5的相反数， 0表示0的相反数，5表示 5的绝对值的相反数， 5表示 5的绝对值的相反数， 22表示22的相反数，（2）2表示（2）2的相反数。又如：（5）表示 5这个数本身，（5） 表示 5这个数本身。说明：一个数前面的正号可以省略不写；也可以应用去括号法则；对于数字前有两个符号的，也可以应用“同号得正，异号得负”来化简。对于数字前有多个符号的，数一下“-”号的个数，根据“奇负偶正”来确定化简的结果。5、绝对值的几何意义（概念）和代数意义（如何求一个数的绝对值）一个数的绝对值就是

4、在数轴上表示这个数的点与原点的距离，所以任何一个数的绝对值总是正数或0。如：表示 4的点到原点的距离都是 4，就说 4的绝对值是4，记作 4 4。把绝对值的代数意义用符号表示为：O当a是正数时（即a 0），贝U a a ；O当a是负数时（即a 0），贝U a a ；当a是0时（即a 0）,则a 0。注：O这里的a为负数，负数a 0，那么负数a的相反数 a是正数， a 0。性质：口绝对值的非负性：任何一个数的绝对值都是非负数。（任何一个数的绝对值都大于等于0,即a 0）负数的绝对值越大，这个负数离原点的距离就越远，那么这个负数就越小；负数的绝对值越小，这个负数就越大如果 I a-b | =0,

5、则 a-b=0,a=b.如果 I a+b | =0, 则 a+b=0,a=-b.如果 a 4，则 a 4 （ 4或 4）；如果 a 4，则 a 4。如果 a b（b>0），则 a b。绝对值等于它本身的数是 正数或0 （非负数）；绝对值等于它的相反数的数是 负数或0 （非正数）。6、有理数大小比较的两种方法：方法一：借助数轴来比较有理数的大小（在数轴上，右边的数总比左边的数大）。方法二：利用大小比较法则（ 正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的负数反而小）7、有理数的加法法则和加法运算律同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的

6、加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值易错提醒：运用加法交换律时，将各数都带上它前面的符号交换位置&有理数的减法法则及要点（ 两变一不变：被减数保持不变，减号“-”变为加号“ +”同时减数变为它的相反数 ）9、在加法中，可以把加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：（8） （ 7） （ 6） （ 5）8 7 6 5特别说明：只有加法中的加号“ + ”才可以省略。当有减法时，先把 所有的减法转化为加法后再省略加数的括号和它前面的加号。7 6 5的两种读法读法一：负 &负7、负6、正5的和（都看成是正负号）读法二：负8减7减6加5 （除第一个符号外，都看

7、成是加减号）读法一：负2x2、负3y2、正4Z2的和（都看成是正负号）读法二：负2x2减3y2加4z2 （除第一个符号外，都看成是加减号）10、有理数的乘法法则和乘法运算律两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘（多个不是0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定奇负偶正）1111、倒数：乘积为1的两数互为倒数。如5和-，2和 -，5243和互为倒数。求一个数的倒数，就是用 1除以这个34数。 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，互为倒数的两数同号1。0没有倒数。a的倒数是（a 0）。a12、有理数的除法法则法则一：除以一个不为 0的数，等于乘上这个数的倒数。（除法转化为乘法进行计算法则二

8、：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。说明：两数相除，若有分数一般选择法则一；若两个数都是整数或小数时，选择法则二。若c、d互为倒数，则cd（除法没有运算律）13、有理数的四则混合运算顺序：无括号时，先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号里面的运算14、有理数的乘方运算的概念及乘方法则（求n个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幕）n叫指数（或次数）；an表示n个a相乘，即an a?a?a如：（12）3中，底数是1指数是3,读作:1的三次方22(孑=1 1-?( -)?(11=一；又如：（2）6中，底数是22 228表示6个2相乘，即（2)6 =2 ?( 2)?(2)?( 2)?(

9、Dan读作：a的n次方（或a的n次幕），其中a叫做底数，1，表示3个 相乘，即22，指数是6,读作：2）?（ 2）=64 ；说明：当底数是负数或分数时，底数要用括号括起来。一个数可以看作这个数本身的一次方。（5=51，1 11 = ( 1)，x = x)(3)2 与 32的区别1）书写上不同：一个有括旦（2）读法上不同：前者读作（3）表示的意义不同：（乂4）计算的结果不同：（若X2 =4，则x 2 ；若（X）24，则x号, 一个没括号。3)23)23的平方，而后者读作3的平方的相反数。9，32的区别吗?(3)?( 3)，33?3。2你能说出（2）与1正数的任何次幕都是正数。如（-）7结果为正。

10、90的任何正整数次幕都是 0。如017结果为0。负数的奇次幕是负数，如（2）9、（ 0.6）111结果均为负。负数的偶次幕是正数，如（2）10、（ 0.6）112结果均为正。15、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2同级运算，从左到右依次进行（加减同级，乘除同级）有括号先算括号，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。（乘方可与括号同时进行运算 ）16、科学记数法：较大的数 a 10n （1 a 10 , 10的指数n= “较大的数”的整数位数减 1）如: 3730000 3.73 106297886 .32052.97886320 10 100000000= 10整数的位数

11、716整数部分位数661 5-8个0说明：在“较大的数”的最高位右下角点上小数点得到a，再根据“较大的数”的整数位数减1确定10n的指数n。17、近似数 看近似数的最后（最右边）一位是什么位，就说它精确到什么位。如109万精确到万位，109精确到个位。 有效数字的确定要点：O起于左边第一个不为 0的数字；止于最后一个数字； 3前两者间的所有数字，包括其间重复的数字和 0。女口：0.00502240有6 个有效数字：5,0,2,2,4, 0。102.00660有 8 个有效数字：1, 0, 2, 0, 0, 6, 6,有效数字有效数字0。2.01 108有3个有效数字：2, 0, 1。7.0 1

12、08有2个有效数字：7, 0。（精确到十分位）有效数字有效数字说明：在科学记数法表示的数 a 10n中，a表示有效数字，a的最后一位是什么位就表示精确到什么位。第二章整式的加减整式包括单项式和多项式两大类。注意：分母中都不能含有字母。2、多项式有f项：多项式中的每个单项式。常数项：不含字母的项.（零次项） 含字母的项（一次项、二次项、次数最高项）项数：项的个数。次数：多项式中次数最高项的次数。几次几项式如：x4 xy2 2x 8 的项是：x4 , xy2, 2x, 8 ,四次项三次项 一次项常数项次数最高项说明：多项式就是几个单项式的和，其为省略加号的和的形式，如x2 2x 8为 x2、 2x

13、、8的和。多项式中的每2231、单项式概念：数与字母的积组成的式子，如 6a , 2.5x,abc, x y ；单独的一个数或字母也是单项式，如x , 5, 7.5。单项式有系数：单项式中字母前的带符号的数字。1注意：O分母中不能含有字母。O 2在单项式中，数与字母、字母l次数：单项式中所有字母的指数的和。J与字母之间都是相乘关系。数字与在字母前面。 O系数包括它前面的符号。O在含字母的式子中，将乘号写成“ ？ ”或省略不写。abc 1 ?a1 ?b1 ?c1，它的系数为1，次数是1+1+1=3，是三次单项式。x1? x1 ,它的系数为 1,次数为1,一次单项式。一项包括它前面的符号 。要确定

14、多项式的次数，首先确定出各项的次数，然后在各项的次数中确定出最大的次数。3、同类项的确定要点： 一看字母是否相同.，二看相同字母的指数是否相同.。（注意：是不是同类项与字母的先后顺序无关） 合并同类项（1）概念：同类项合并成一项（2） 法则：就是把同类项的系数相加减所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。如：2x2y 3x2y x2y （ 2 3 1）x2y4x2y,abc bac 4cab （ 1 1 4）abc 6abc,m2 n2 2m2 n2 (m22m2)( n2 n2)(12)m2( 11)n23m2 2n2注意：（1）合并同类项时，首先找出哪些项是同类项（可以用不同的标记标

15、出）；再将各项都带上它前面的符号交换位置（加（加法结合律）；各括号之间都用加号“ +”连接；最后按法则合并同类项。如：2 2 2 2 2 22 4ab ab 6ab 7ab 2b a 2ba 8 = ( 2 8)( 4ab 6ab 2ab )( ab 7ab 2ab)法交换律），把同类项结合在一起，即用括号括起来210 ( 4 6 2)ab ( 1 7 2)ab210 8ab 10ab（2）如果两个同类项的 系数互为相反数，合并同类项后，结果为0；女口a a ( 1 1)a0,2 27ab 7ab 0,a a 0, 3.5x? x0 。2（3 ）不是同类项就不能合并，不能合并的项，在每步运算中

16、不要漏掉。（4）只要不再有同类项，就是最后的结果。（1）4、去括号Y（2）法则：括号前面是“ +”号，把括号和它前面的“ + ”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变; 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变.注意：若括号外有数字因数，应先考虑把数字因数乘到括号里去，再去括号。不要漏乘某一项利用分配律去括号时，用括号前的带符号的数字与括号内的每一项相乘，把相乘的结果依次写出来把它也去掉1如：（ 2a b） （2ab 4a 6b 10）2每项都变号1与括号内的每一项相乘2根据去括号法则去括号，这一步可省略原式 2a b ？2ab ?4a l?6b 丄？10)

17、2 2 2 2 （看作1乘括号2ab）看作121 丄乘括号2(2ab 4a 6b 10)1?2ab2；?( 6b)1?( 2a)原式2abab2a3b51?( b)11?( 4a)2?( 10)2去掉它 ab 2a 3b 52a b (ab 2a 3b 5)每一项要变号= (2a 2 a) (b 3b) ab 5ab 2a 3b 52a b ab 2a 3b 54a 4b ab 54a 4b ab 5特别说明：把式子中所有的“ + ”、“”号都看作数或项的性质符号（正、负号）进行运算去括号的两种顺序J第一种：先去小括号，再去中括号，最后去大括号。（由里向外一层一层去括号）整式的加减第二种：先去

18、大括号，再去中括号，最后去小括号。（由外向里一层一层去括号）1、就是去括号，再合并同类项。2、求几个整式的和（或差）时，把每个整式用括号括起来，再用加号（或减号）连接，然后去括号，合并同类项。第三章一元一次方程1、方程：含有未知数的等式。要点：是等式；口2至少有一个未知数。方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。2、一元一次方程：O 1只含有一个未知数未知数的次数是1, 一次项（含未知数的项）的系数不为0分母中不含未知数。（未知数称为元）如关于x的方程mx 1 5中，未知数是x，已知数是m , 1, 5, “关于x的方程”这几个字就指出x是未知数，一

19、次项（含未知数的项）mx的系数m 0。又如方程mx n 1,若不强调是“关于x的方程”，则m , x , n 都可看作未知数，那么它不是一元一次方程。若强调它是“关于x的方程”，则m、n看作已知数，那么它是一元一次方程，并且一次项mx的系数m 0。3、等式：用等号来表示相等关系的式子。如 5 5, ab 5, mm , 3 61 2。性质1如果a b，则a c b c（加、减变形）性质2如果a b，则ac be ；如果a b(c 0),a b则_c c（乘、除变形）注意：除数c不能为0。4、解一兀-次方程的一般步骤：变形名称具体作法注意事项去分母根据等式的性质2，在方程的两边都乘以 各分母的最

20、小公倍数，把系数是分数的方程 化成系数是整数的方程1、不要漏乘不含分母的项。2、去分母后， 分子作为一个整体，应加上括号 。去括号1、不要漏乘括号里的项。2、不要弄错符号。移项目的：把含有未知数的项都移到方程的左边，常数项（数字）都移到方程的右边。首先要搞清楚移哪些项和移动的方向，其次移项要变号。（不移动的项不变号）1、项从等号的一边移到等号的另一边时要 改变这一项的符号；2、不要丢项。合并同类项根据合并同类项的法则合并同类项，把方程化成ax b（a 0）的形式。系数化为1在方程的两边都除以未知数的系数 a（a 0），得到方程的解x b（a 0）。a不要把分子、分母搞颠倒。5、列方程解应用题的

21、一般步骤:（1）行程问题：路程=速度X时间；速度路程;时间=路程时间速度（直线上的）相遇问题（相向而行，即面对面地行走A、 甲行走的路程+乙行走的路程=总路程）中常用的等量关系有甲行走的路程相遇处心说明：甲、乙同时出发，相向而行，相遇时甲和乙所用的时间相同。总乙行走的路程关键在于找到相关数量的等量关系步骤名称具体作法注意事项审题弄清题意、弄清已知量与未知量之间的数量关系，寻找等量关系。1、单位名称要统一 。2、可利用表格或示意图来 分析数量关系。3、要多读多思。设元1、直接设元法；2、间接设元法；3、设辅助元。哪一种设法列方程简单、容易就采 用哪一种设法。设岀未知数后，用未知数表示岀相关的量。

22、设要写上单位名称。列方程根据等量关系列岀方程。解方程检验 写答检验方程的解是否正确，是否符合问题的实际意义。若没问题，写岀答。“答”要写上单位名称。6、常见问题的基本关系式和常用的等量关系:乙出发后甲（直线上的）追及问题（同向而行）中常用的等量关系有A、 原来两者间的距离+慢者行走的路程=快者行走的路程 说明：快、慢两者所用的时间相同。甲提前出发行驶的路程人行驶的路程总路程原来两者间的距离处乙行驶的路程慢者行走的路程追及地B、甲提前出发行驶的路程 +乙出发后甲行驶的路程 +乙行驶的路程=总路程说明：乙出发后甲行驶所用的时间和乙所用的时间相同。快者行走的路程B、慢者提前出发行驶的路程 +快者出发

23、后慢者行走的路程=快者行走的路程说明：快者出发后 慢者行走所用的时间跑道问题中常用的等量关系有：和快者所用的时间相同。慢者提前岀发行驶的路程A、沿跑道同向追及：快、慢两者同时同地出发，那么快者会跑在前面,快者岀发后 慢者行走的路程快者行走的路程追及地快者绕一圈后第一次追上慢者时有:快者跑的路程一慢者跑的路程 =跑道一圈的长度说明：快、慢两者所用的时间相同。慢者在前，快者在后的跑道追及问题同（直线上的）追及问题，也分为两种情形。要举一反三B、沿跑道反向相遇：口 1甲的行程+乙的行程=跑道1圈的长度说明：如果甲、乙同时出发，那么相遇时甲、乙所用的时间相同。火车过隧道问题：隧道长+火车车身长=火车过

24、隧道行走的路程隧道长车身长.火车过隧道行走的路程航行问题：顺流行驶速度=船在静水中的速度+水流速度；逆流行驶速度 =船在静水中的速度水流速度。 顺风飞行速度=无风时的速度+风的速度；逆风飞行速度=无风时的速度-风的速度。常用的等量关系有： 顺水行驶的路程=逆水行驶的路程 或 顺流速度X顺流时间=逆流速度X逆流时间（2）工程问题：工作量=工作效率X工作时间；工作效率工作量工作时间工作时间=工作量工作效率解此类题时，常把总工作量看成是1,则工作效率1工作时间常见的等量关系 :甲的工作量+乙的工作量=1 （总工作量）A管的注水量+B管的注水量一C管的排水量=1 （池水总量）利润（3）销售打折问题：利

25、润=售价一进价（成本）；利润率=x 100%。提高价=进价x提价的百分数。进价进价：销售商进货时的价格，又叫做 成本（价）。标价：在销售时标岀的价格，又叫做 原售价、定价、原价。（实际）售价：对于销售商来说，是卖岀商品时的实际价格；对于顾客来说，是买进商品时实际付的钱。也叫做成交价。打x折后的售价=标价（原售价）x A 说明：打八折是乘以 或-80，打七五折就是乘以 7.5或 匸5。10 10 100 10 100利润：在销售商品时所得的纯收入。有正、负之分，盈利时为正，亏损时为负。根据利润的正负可以判断盈亏情况。利润率：利润与进价的比值，常写成百分数的形式。有正、负之分，盈利时为正，亏损时为负，但不能根据它判断盈亏情况。一 一一一利润常用的基本关系式：进价 +提高价=标价；标价X打折数=（实际）售价；（实际）售价一进价=利润；=利润率；进价求打X折的关系式： 售价 ;售价=进价+利润；利润=进价X利润率；平均利润率=总利润10 标价总进价常见的等量关系：1、上述的某些基本关系式;2、进价利润率利润售价进价；3、禾U润率=利润利润进价售价进价进价4、进价 （1提价的百分数）打折数 售价。5、售价=进价+利润=进价+进价X利润率=进价X（ 1+利润率）。标价说明：要判断盈亏情况，需通过 售价与进价相比较 得知，也就是通过 利润