第7章组合变形

1、第七章第七章 组合变形组合变形 杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形的组合。变形的组合。一、组合变形的概念一、组合变形的概念ABPPaMeq拉伸、剪切和拉伸、剪切和弯曲的组合变形弯曲的组合变形 7.1 概述概述斜弯曲（两个平面内的弯曲）斜弯曲（两个平面内的弯曲）拉伸和弯曲的拉伸和弯曲的组合变形组合变形钻钻 床床二、求解组合变形问题的基本方法二、求解组合变形问题的基本方法 将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每个基本变形下的内力和应力，然后进行应力叠加。个基本变形下的内力和应力，然后进行应力

2、叠加。分解分解叠加叠加关键：关键：叠加法叠加法 叠加原理叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则复如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应力、变形等可以杂受力情况下组合变形构件的内力、应力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷单独作用下的内力、应力、由几组产生基本变形的载荷单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而得到，且与各组载荷的加载次序无关。变形等的叠加而得到，且与各组载荷的加载次序无关。 叠加原理成立的条件叠加原理成立的条件 1、应力应变关系为线性关系，即满足胡克定律；、应力应变关系为线性关系，即满足胡克定律； 2、变形是小变形，可以用原始尺

3、寸原理。、变形是小变形，可以用原始尺寸原理。 三、组合变形的分解方法三、组合变形的分解方法1 1、载荷的等效处理法、载荷的等效处理法 将向杆件截面形心进行简化，并沿形心主惯性轴方向将向杆件截面形心进行简化，并沿形心主惯性轴方向分解，使之简化后的载荷符合基本变形的外力特征，从而分解，使之简化后的载荷符合基本变形的外力特征，从而判断组合变形的类型。判断组合变形的类型。 例如：例如：2、截面内力判断法、截面内力判断法根据截面上的内力，判断组合变形的类型。根据截面上的内力，判断组合变形的类型。 在横力弯曲时，剪力在实心截面杆上产生的剪应力较小，在横力弯曲时，剪力在实心截面杆上产生的剪应力较小，可忽略。

4、可忽略。F1F2NyMzMzQyQT 当外力作用面不通过主惯性平面时当外力作用面不通过主惯性平面时, ,则弯曲变形后则弯曲变形后, ,梁梁的轴线不在外力作用面内的轴线不在外力作用面内. .斜弯曲斜弯曲zyF 7.2 斜弯曲斜弯曲zyFzyzyzFyFzFyFxz平面内的平面弯曲平面内的平面弯曲xy平面内的平面弯曲平面内的平面弯曲 例例7.1 已知：矩形截面梁截面宽度已知：矩形截面梁截面宽度b、高度高度h、长度、长度l，外外载荷载荷F，与主惯轴与主惯轴y成夹角成夹角 。 求：根部截面上的最大正应力求：根部截面上的最大正应力xyzF zyF yFzFsin,coszyFFFF zyyMzyzM中性

5、轴中性轴)(yxM中性轴中性轴()xzMzyyMc(y,z)yyCIzM1zzCIyM2所以所以zzyyCCCIyMIzMzy21),(zyIyFxIzFxcossin)cossin(zyIyIzFxzyc(y,z)zMzyF 中性轴中性轴 拉拉压压),( 111zy),(333zy)cossin(11maxzyIyIzPl)cossin(),(zycIyIzPlzy)cossin(33maxzyIyIzPl根部截面上的最大正应力根部截面上的最大正应力: :对于圆形截面对于圆形截面zyF中性轴中性轴 例例7.2 吊车大梁由吊车大梁由32a热轧普通工字钢制成，热轧普通工字钢制成， l4m，许用，

6、许用应力应力160MPa。起吊的重物重量。起吊的重物重量F80kN，且作用在梁，且作用在梁的中点，作用线与的中点，作用线与y轴之间的夹角轴之间的夹角5，试校核吊车大梁的强，试校核吊车大梁的强度是否安全。度是否安全。cosyFFsinzFF1、 首先将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加首先将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加2、确定两个平面弯曲的最大弯矩、确定两个平面弯曲的最大弯矩4yzF LM 4zyF LM F2L2L 吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊，不允许在吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊，不允许在大梁的侧面斜方向起吊。大梁的侧面斜方向起吊。4 、讨论、讨论0max115.6MPa8

7、8.43 、计算最大正应力并校核强度、计算最大正应力并校核强度maxyzyzMMWW217.8MPa 查表：查表：3692.2cmyW 370.758cmzW LABqFFABFFABq+弯曲弯曲拉伸拉伸 7.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形拉伸（压缩）与弯曲的组合变形LABq1、求内力、求内力xAyFByF(),NF轴 力(),AyQFqx剪力),(212弯矩qxxFMAyLABFFx2、求应力、求应力(),NNA均 布),(线性分布zMIMyNMzNMyAI3、建立强度条件、建立强度条件m axm axm inzMNAW 例例7.3 吊车在运行到距离梁端吊车在运行到距离梁端D还有还有0.4

8、m处时，横梁处于处时，横梁处于最不利位置。已知小车和重物的总重量最不利位置。已知小车和重物的总重量F20kN，钢材的许，钢材的许用应力用应力160MPa，暂不考虑梁的自重。按强度条件选，暂不考虑梁的自重。按强度条件选择横梁工字钢的型号。择横梁工字钢的型号。BxFAxFAyFBFByFF49.7 kN30 kN mB左截面压应力最大左截面压应力最大maxzzMNAW zzMW . cmzW31875查表并考虑轴力的影响：查表并考虑轴力的影响：a20cmzW3237. cmA2355max. MPa. 3623497 1030 101406355 10237 10 zyx1 1、偏心拉、偏心拉(

9、(压压) )的概念的概念 作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。偏心拉偏心拉( (压压) )yMyMFF FzMzyx（1）、载荷的简化）、载荷的简化（2）任意横截面任意点的）任意横截面任意点的“”2、偏心拉、偏心拉(压压)的计算的计算zyxFFzx( )( )( )zyyzN xFMxF eMxF e（a）内力：）内力：FxFyyMzMzyeFMyzeFMbhzyekyzykzkzeyzabcdzyyabcdzeye（b）正应力：）正应力：,AFNk正应力的分布正应力的分布在在 Mz 作用下：作用下：在在 N作用下：作用下：在在 My 作用下：作

10、用下：abcdzy;zkzMkIyMZ,ykykIzMyMNFyzMMNkkkk（3）叠加：）叠加：ykyzkzIzMIyMAFkyzykzkyzMykMNzkkkkkzyM zM yFAII 3、强度计算、强度计算危险截面危险截面各截面各截面危险点危险点d点有最大的拉应力，点有最大的拉应力，b点有最大的压应力。点有最大的压应力。强度条件（简单应力状态）强度条件（简单应力状态） maxyyzzyyzztWMWMAFIzMIyMAFmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxyyzzyyzzcWMWMAFIzMIyMAFmaxmaxmaxmaxmaxmaxmax 对有棱角的截面，最大的正应力发生在

11、棱角点处，对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。且处于单向应力状态。 yyzzWMWMANmaxmaxmax对于无棱角的截面如何进行强度计算对于无棱角的截面如何进行强度计算1 1、确定中性轴的位置；、确定中性轴的位置；zyxFzkzyykyzFeyezyzeFMzyeFM令令 z0、y0 代表中性轴上任意点的坐标代表中性轴上任意点的坐标中性轴方程中性轴方程000yyzzIzMIyMAF中性轴中性轴ayaz yzFeyez000yzzyIzeFIyeFAF012020yzzyizeiyeyzeFMzyeFM设中性轴在设中性轴在 z, y 轴的截距为轴的截距为 ay， a

12、z 则：则：zyzyzyeiaeia22;22yyzziAIiAI3、强度计算、强度计算 将两切点的坐标代入应力将两切点的坐标代入应力计算公式确定最大拉应力和最计算公式确定最大拉应力和最大压应力进行强度计算。大压应力进行强度计算。D1D2 A、中性轴不过截面形心，与外力无关，与偏心距及截面、中性轴不过截面形心，与外力无关，与偏心距及截面形状、尺寸有关；形状、尺寸有关； B、外力作用点与中性轴分别在截面形心的相对两侧；、外力作用点与中性轴分别在截面形心的相对两侧； C、外力作用点越是向形心靠拢，中性轴离形心越远，甚、外力作用点越是向形心靠拢，中性轴离形心越远，甚至移到截面外面。当中性轴移到与截面

13、相切或截面以外时，截至移到截面外面。当中性轴移到与截面相切或截面以外时，截面上则只存在压应力或拉应力；面上则只存在压应力或拉应力；yz中性轴中性轴ayazFeyez2、确定危险点的位置、确定危险点的位置zyzyzyeiaeia22;一、截面核心的概念：一、截面核心的概念： 截面核心截面核心 1、在截面的边缘处做与截面相切的中性轴，并确定中性、在截面的边缘处做与截面相切的中性轴，并确定中性轴的截距；轴的截距； 2、由中性轴的截距，计算外力作用点的坐标；、由中性轴的截距，计算外力作用点的坐标； 3、最后连接力作用点得到一个在截面形心附近的区、最后连接力作用点得到一个在截面形心附近的区域域 截面核心

14、。截面核心。二、确定截面核心的思路：二、确定截面核心的思路： 在横截面上存在一个包围形心的区域，当轴向力的在横截面上存在一个包围形心的区域，当轴向力的作用点在此区域内，横截面上不会出现异号正应力，此作用点在此区域内，横截面上不会出现异号正应力，此区域即为截面核心。区域即为截面核心。作业：作业：7-4 7-11 7.4 弯曲与扭转组合变形弯曲与扭转组合变形BCAxzy4321S平面平面yz1tTW 1zxzMW 1434tTW 3tTW 3zxzMW FxyTxzF4321Mz危险点为危险点为1、3点。确定主应力点。确定主应力2211422 2231422r 313 22212233112（）r

15、 4 223 224r 223134r 2243rMTW 2231tMTWW ，WWt2圆形截面：.rMTW 22410 75()()rtMTWW 2234()()rtMTWW 2243rMTW 2231.rMTW 22410 75圆形截面或圆形截面或空心圆截面空心圆截面对于拉、弯、扭同时存在作用在圆形截面时对于拉、弯、扭同时存在作用在圆形截面时: :()()rNMTAWW 223().()rNMTAWW 224075()ZYrzMMTW 2222234().ZYrzMMTW 2222240 753扭转、双向弯曲扭转、双向弯曲危险点的应力状态危险点的应力状态承受弯曲与扭转的圆轴，分析步骤：承受

16、弯曲与扭转的圆轴，分析步骤：1.绘制计算简图；绘制计算简图；2.绘制内力图，判断可能危险面；绘制内力图，判断可能危险面；3.判断危险点及其应力状态（忽略剪力）；判断危险点及其应力状态（忽略剪力）；4.选择强度理论进行校核。选择强度理论进行校核。 杆类构件的静力学设计的一般过程杆类构件的静力学设计的一般过程受力分析受力分析与计算简图与计算简图内力分析内力分析与内力图与内力图确定危险确定危险截面截面由应力分布由应力分布确定危险点确定危险点的应力状态，的应力状态，确定主应力确定主应力根据危险点根据危险点的应力状态的应力状态选用合适的选用合适的设计准则设计准则 例例7.4 图图a所示钢制实心圆轴其两个

17、齿轮上作用有切向力和所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直径径dC=400 mm,齿轮齿轮D的节圆直径的节圆直径dD=200 mm。已知许用应力。已知许用应力 =100 MPa。试按第四强度理论求轴的直径。试按第四强度理论求轴的直径。 1. 作该传动轴的受力图（图作该传动轴的受力图（图b），并作弯矩图），并作弯矩图Mz图和图和My图（图图（图c, d）及扭矩图）及扭矩图T 图（图图（图e）。）。解：解： 2. 由于圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴，且惯性由于圆截面的任何形心轴均为形

18、心主惯性轴，且惯性矩相同，故可将同一截面上的弯矩矩相同，故可将同一截面上的弯矩Mz和和My按矢量相加。按矢量相加。mN1064)mN1000()mN364(2222zByBBMMM 例如，例如，B截面上的截面上的弯矩弯矩MzB和和MyB（图（图f）按矢量相加所得的总按矢量相加所得的总弯矩弯矩MB（图（图g）为：）为： 由由Mz图和图和My图可知，图可知，B截面上的总弯矩最大，并截面上的总弯矩最大，并且由扭矩图可见且由扭矩图可见B截面上截面上的扭矩与的扭矩与CD段其它横截面段其它横截面上相同，上相同，TB-1000 Nm，于是判定横截面于是判定横截面B为危险为危险截面。截面。3. 根据根据MB和和TB按第四强度理论建立的强度条件为按第四强度理论建立的强度条件为75. 0224rWTMPa10100)mN1000(75. 0)mN1064(622W即即Pa1010032/mN137263d亦即亦即mm9 .51m0519. 0)Pa10100(mN13723236d于是得于是得 练习练习： 作用于悬臂木梁上的载荷为：作用于悬臂木梁上的载荷为：xy平面内的平面内的P1=800N，xz平面内的平面内的P2=1650N。若木材的许用应力。若木材的许用应力 =10MPa，矩形截，矩形截面边长之比为面边长之比为h/b=2，试确定截面的尺寸。，试确定截面的尺寸。解：（解：（1）求内力