复变函数与积分变换重修辅导讲义

1、复变函数与积分变换重修辅导讲义（一）内容提要：1复数的实部，虚部；与复平面上点一一对应。（画图）2复数的模，辐角，辐角主值。3复数的基本运算。（特别是开方运算）4复函数的概念；初等函数：指数函数，对数函数；欧拉公式。5复函数的导函数。6解析函数C-R方程练习题：1复数的辐角主值为 ；答案: 2复数的辐角主值为 ；答案: 3复数的辐角主值为 ；答案: 4复数的辐角主值为 ；答案: 5设,则等于 ；等于 ；答案:0；6设,则等于 ；等于 ；答案:0；7设,则等于 ；等于 ；答案: ；8设,则等于 ；等于 ；答案: ；9复函数的导函数为_；答案: 10复函数的导函数为_；答案: 11复函数的导函数为

2、_；答案: 12复函数的导函数为_；答案: 13. 求方程的所有根.解：, 从而 故方程的所有根为 14. 求方程的所有根.解： 从而 故方程的所有根15. 求的值.解： 16. 求的值.解： 17设为解析函数,试确定的值.解：由C-R方程知：， 且 即 且 故 复变函数与积分变换重修辅导讲义（二）内容提要：1复函数的积分。（用柯西积分公式或高阶导数计算复积分）2复数项级数的极限。3幂级数的收敛半径。4幂级数的收敛半径。5判断级数的收敛性。6将函数展成洛朗级数.练习题：1复积分_；答案: 0.2复积分_；答案: 0.3复积分_；答案: 4复积分_；答案: 5复积分 ；答案: 0.6复积分 ；答

3、案: 7复积分 ；答案: 8复积分 ；答案: 0.9复积分 ；答案: 0.10用柯西积分公式或高阶导数计算下列复积分（取正向）（1） 解：由柯西积分公式知： （2） 解：由柯西积分公式知： （3）解：由高阶导数公式，有 （4） 解：由柯西积分公式知： （5）解：由高阶导数公式，有 11复数项级数的极限为_；答案: 12复数项级数的极限为_；答案: 0.13. 幂级数的收敛半径为_；答案: 1.14. 幂级数的收敛半径为_；答案: 15判断级数的收敛性，并说明理由.解：由于级数为公比绝对值小于1的等比级数，收敛；从而原级数绝对收敛. 16判断级数的收敛性，并说明理由.解：由于级数为公比绝对值小于

4、1的等比级数，收敛； 从而原级数绝对收敛. 17判断级数的收敛性，并说明理由.解：由于通项的极限，是发散的； 从而原级数发散. 18. 将函数在内展成的洛朗级数.解：函数在内是处处解析的，且在复平面内的展开式为：而在是解析的， 从而 19. 将函数在内展成的洛朗级数.解：函数在内是处处解析的，且e在复平面内的展开式为：而在是解析的， 从而20. 将函数在内展成的洛朗级数.解： 复变函数与积分变换重修辅导讲义（三）内容提要：1复函数的孤立奇点类型。2复函数的留数。3用留数定理计算复积分。若为的孤立奇点，则在处洛朗展式为如果在处的洛朗展式中不含负幂项，则称为其可去奇点。如果在处的洛朗展式中含有有限

5、个负幂项，最低项，则称为其m级极点。如果在处的洛朗展式中含有无穷多个负幂项，则称为其本性奇点。除了用定义，还可以利用零点和极点之间的关系来来判别极点。（书P73 定理1.4 ：是的m级极点是的m级零点。）零点的判别方法：零点定义： 是的m级零点在解析且定理1.3 ：是的m级零点 ; 留数定义：在处留数记作，这里表示在处的洛朗展式中的系数。留数定理：若在正向简单闭曲线C内仅有n个孤立奇点，则用留数定理计算复积分的步骤：1.找出C内的所有孤立奇点，2.分别求出3.代公式关键步骤为2除了用定义计算留数外，还有更简便的方法：准则、准则。准则：如果为的一级极点，则准则：如果为的二级极点，则练习题：1.

6、是函数的_；答案: 二级极点.2. 是函数的_；答案: 本性奇点.3. 是函数的_；答案: 一级极点.4. 是函数的_；答案: 三级极点.5. 函数在点处的留数为_;答案: 1.6. 函数在点处的留数为_;答案: 7. 函数在点处的留数为_;答案: 1.8. 函数在点处的留数为_;答案: 9. 函数在点处的留数为_;答案: 1.10用留数定理计算下列复积分（取正向）（1） 解：是在内唯一的二级极点， 故 （2） 解：是在内所有的极点，且均为一级极点， = （3） 解：是在内的一级极点，是在内的二级极点； （4） 解：是在内所有的极点，且均为一级极点，复变函数与积分变换重修辅导讲义（四）内容提要

7、：1傅立叶变换和Laplace变换的定义。2用定义计算傅立叶变换和Laplace变换。3用傅立叶变换的基本性质求解微积分方程。4查傅立叶变换和Laplace变换表。定义：称为函数的傅立叶变换。记作相应地，称为函数的傅立叶逆变换。记作微分性质 积分性质定义：设是定义在上的实值函数，如果对于复参数，积分收敛，则称为函数的Laplace变换。记作相应地，称为函数的Laplace逆变换。记作练习题： 1求指数衰减函数的傅立叶变换及其积分表达式，其中.解：(1)的傅立叶变换为 （2）的积分表达式为 2用傅立叶变换求解微积分方程： (其中为常数,为已知函数，且的Fourier变换均存在).解：令 两边取傅氏变换得： 解得