第11章理论力学

1、哈尔滨工业大学（威海）土木工程系哈尔滨工业大学（威海）土木工程系均质对称圆盘绕质心转动其动量：OmvP 0 质点系的动量不能描述质点系不能描述质点系相对于质心的运动状态相对于质心的运动状态，动量定理也不能阐明这种运动的规律，而必须用其它理论来解决这个问题。Part A 定义定义vrvMLmmOO)( 设质点 M 的质量为 m , 某瞬时速度为v, 质点相对于固定点 O 的矢径为r, 则质点对于固定点的动量矩定义为: 质点 M 的动量对于O点的矩,称为质点对于质点对于O点的动量矩点的动量矩。OMAOOAmvrm2sin)(vMLPart A 质点对固定轴的动量矩定义为：质点动量mv 在Oxy平面

2、内的投影(mv)xy对于点O的矩。2)(AOMzzAmMLv 对于固定轴z的动量矩是代数量，其正负号的规定按照右手定则确定。（类似于空间力对轴的矩的正负号规定）zzOL)(L单位单位: kgm2/s定义定义Part A 质点系中各质点对定点O的动量矩的矢量和矢量和称为质点系对固定点O的动量矩。iiiiiOOiOmmvrvMLL)( 质点系对固定轴z的动量矩)(iixxixmMLLv 根据前面的关系，容易得到xxOL)(LPart A 平移刚体对定点的动量矩平移刚体对定点的动量矩: iiiiiOOmmvrvML刚体平移时，可将刚体视为一个全部质量集中于质心的质点来计算其动量矩。CzzmMLvCC

3、CCCiimmmvrvrvr平移刚体对定轴的动量矩平移刚体对定轴的动量矩: Part A 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩: )(iizzizmMLLviiirvm)(iiiizrrmM)(2iirm引入引入: :2iizrmJ则则: :zzJL zJ 定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。Part A 刚体一般平面运动对定轴的动量矩刚体一般平面运动对定轴的动量矩*CCzzJmmLv 运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。Part B 2iizrmJ r

4、: 微质量dm 到a 轴的垂直距离MamrJd2单位单位: kgm2质量连续分布的情况：Part B MamrJd2 转动惯量是正标量正标量，其大小不仅与刚体质量大小和质量的分布情况有关，还与对应的 a 轴的位置有关。 转动惯量是刚体定轴转动时惯性的量度。Part B 引入回转半径回转半径z转动惯量2zzmJmJzz 对于均质刚体，回转半径仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。Part B 如图所示两个平行轴，其中一轴通过刚体质心质心，另一轴为与质心轴平行质心轴平行的任意轴。 若 d 为两平行轴的垂直距离，则有:2mdJJzCz 刚

5、体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。Part B 证明)(222iiiiizCyxmrmJ)(222iiiiizyxmrmJ)( , 22dyxmJdyyxxiiiziiiiiiiiiiymddmyxm2 )()(2222 0 , mdJJmyymmmzCzCiiiPart B 如图所示，刚体的质量为 m ，对 z1轴的转动惯量为 J ,求对 z2.轴的转动惯量。 2212)()(bamJbamJJzz221mbJJmbJJzCzCz)(222222bamJmambJmaJJzCzPart B 参考教材2231121mlJ

6、mlJzzC2mRJz221mRJzPart B 如图所示均质圆盘的质量为m (灰色部分的质量) , 半径为R , 中间被挖去半径为r 的一个圆形部分， r = R/3 ，求该盘对A 轴的转动惯量。Part B AJ1AJ2AJ1AJ2121212321RmRmRm2AJ)(2122222rRmrm2267Rm22216723RmRmJA3/Rr 9/12mm mmmmm891212222148746723mRRmRmJAPart B 直杆的质量 : m1均质圆盘质量: m2 在某瞬时角速度等于 , 计算系统对垂直于平面且通过O点的轴的动量矩。Part B OLOPOJJJ2131lmJOLO

7、PJ22)2(dlmJCP2222)2()2(21dlmdm)83(222ldldm)83(3122221llddmlmJOOLOJ)83(3122221llddmlm注意平行移轴公式在本例中的应用注意平行移轴公式在本例中的应用Part C vrLmO由于：由于：vrvrvrLmtmtmttOdddd)(dddd0ddvvvrmmt并且根据动量定理并且根据动量定理: :Fv mt dd则可得：则可得：)(ddFMFrLOOt向三个坐标轴投影向三个坐标轴投影)(dd)(dd)(ddFFFzzyyxxMLtMLtMLtPart C )(ddFMLOOt质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用

8、在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理质点对固定点的动量矩定理。)(dd)(dd)(ddFFFzzyyxxMLtMLtMLt质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。Part C 若称为质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒.0)( 0)(FMzO或FM则)( vMmO为常矢量 )( vmMz根据动量矩定理 )(ddFMLOOt)(ddFzzMLt为常数3动量矩守恒定律动量矩守恒定律若若 则则 常量。常量。(e)()0zMFzL 有心力有心力：力作用线始终通过某固定点：力作用线始终通过某固定点, 该点称该点称力心力心.( )0OMF ()M mvrmv

9、 常矢量常矢量若若 (e)()0OMFOL 则则 常矢量常矢量,面积速度定理：面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒质点在有心力作用下其面积速度守恒.(1) 与与 必在一固定平面内必在一固定平面内,即点即点M的运动轨迹是平面曲线的运动轨迹是平面曲线.rvd(2)drrmvrmbt常量ddrrt即即 常量常量d2drrAddAt因此因此, 常量常量面积速度面积速度Part C 求单摆的运动方程，球A的质量为mPart C tlgWltlgWmvlLOdd)dd(2sinWlMO根据质点的动量矩定理根据质点的动量矩定理)(ddFMLOOtsin)dd(dd2WltlgWt0sindd22l

10、gt若若 0, sin 0dd22lgtPart C 0dd22lgt)sin(0tlg边界条件边界条件000t)sin(0tlgPart C 质点系中一个质点的动量矩定理:)()(ddeiiOiOOitFMFML对于整个质点系:)()(ddeiiOiOOitFMFML由于 0)(iiOFM得到： )(ddeiOOtFML向直角坐标系的三个坐标轴进行投影)(dd)(dd)(ddeeeizziyyixxMLtMLtMLtFFFPart C 若称为质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒0)( 0)(FMzO或FM则有OL常矢量 zL根据 常量)(ddeiOOtFML)(ddeizzMLtFPart

11、C 轮子的质量为: M重物 A 和 B的质量分别为: m1 m2 设 m1 m2 绳子无滑动。计算重物 A 的加速度Part C 分析作用在系统上的力以及各个运动量分析作用在系统上的力以及各个运动量)(ddeiOOtFML计算系统对垂直于平面通过点计算系统对垂直于平面通过点O的轴的的轴的动量矩动量矩1OL2OL3OL221MrJO轮子轮子:物块物块 A:2111rmrvm物块物块 B:2222rmrvm整个系统整个系统:221321)21(rmmMLLLLOOOOPart C )(ddeiOOtFMLgrmgrmrmmMt21221)21(ddgrmmrmmM)()21(21221rmmMgm

12、m)21()(2121)21()(2121mmMgmmraPart C 1、取研究对象研究对象，常取整个系统为研究的质点系。2、进行受力分析，作受力图受力分析，作受力图， 只需分析外力；3、进行运动分析运动分析。4、根据受力和运动分析结果，列写方程列写方程，特别注意动量矩动量矩和力矩正向规定要统一和力矩正向规定要统一。 5、由运动学知识，给出相关运动量之间关系，求解给出相关运动量之间关系，求解。Part C 如图所示卷扬机鼓轮为均质圆盘，重为W1 ，半径为R，小车总重为W2，作用于鼓轮上的力矩为M，轨道的倾角为，绳的重量及摩擦均忽略不计，求小车上升的加速度。Part C 【解解】选小车和鼓轮组

13、成的质点系为对象，进行受力分析设某瞬时小车的速度为v，则鼓轮的角速度为Rv质点系对轴Oz的动量矩为zLvRgWJz2vRgWWvRgWRgW222121221所有外力对轴Oz的矩为)(ezFMlFlWRWMN22cossinPart C 【解解】zLvRgWWvRgWRgW222121221)(ezFMlFlWRWMN22cossin由于：N2cosFW则有：sin)(2ezRWMMF根据动量矩定理：)(ddezFMLtzsindd22221RWMtvRgWW解得：gRWWRWMtva)2()sin(2dd212当sin2RWM 小车向上加速上升求：剪断绳后求：剪断绳后, 角时的角时的 .已知

14、：两小球质量皆为已知：两小球质量皆为 ,初始角速度初始角速度 。m0例例11-3020221maamaLz2)sin(22lamLz时时,00 时时,202)sin(laa12zzLL解解：2.受力受力1.对象：两个小球对象：两个小球若若 则则 常量。常量。(e)()0zMFzL r1r2ABz解：分析小球受力。解：分析小球受力。v2v1 思考题：思考题： 小球系于线的一端，线穿过铅直小孔，力小球系于线的一端，线穿过铅直小孔，力F将线缓慢向下拉。开始时，小球以匀速将线缓慢向下拉。开始时，小球以匀速v1沿半径为沿半径为r1的的圆周运动，求当小球被拉至圆周运动，求当小球被拉至B处处(2r2=r1)

15、时的速度时的速度v2 。FMZ(F(e) = 0， LZ = const !初瞬时初瞬时(A处处)，LZA = mv1r1，B处，处，LZB = mv2r2， mv1r1 = mv2r2得：得：v2 = 2v1mgT而而 r1 =2r2Part C )(ddeizzMLtF)(ddeizzMtJFzzJL )(eizzMJF)(dde22izzMtJF转动惯量是刚体转动时惯性的度量转动惯量是刚体转动时惯性的度量. .刚体对转轴的转动惯量与角加速度的刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用于刚体的主动力对该轴乘积等于作用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。之矩的代数和。Part C (复摆)摆

16、的质量: m摆的质心位置 : C摆对悬挂点的转动惯量JO求摆微幅摆动的周期TPart C 分析作用在刚体上的力分析作用在刚体上的力根据刚体定轴转动微分方程根据刚体定轴转动微分方程sindd22WatJOsin若若 较小较小( (小于小于5度度) ) 0dd22OJmgat)sin(0tJmgaOPart C )sin(0tJmgaOmgaJTO22n注意注意, 若已知若已知 JC 则有则有JO = JC+ ma2利用本例，可以通过测出零部件的摆动周期，再求出它利用本例，可以通过测出零部件的摆动周期，再求出它的转动惯量。的转动惯量。mgaTJO224)4(22gaTmgaJCPart C Par

17、t C Part C 系统重心越高，则系统对地面支点的转动惯量越大，系统重心越高，则系统对地面支点的转动惯量越大，可以知道，转动惯量的大小与重心对地面高度的平方成正可以知道，转动惯量的大小与重心对地面高度的平方成正比而人体在失衡倾斜一个小的角度时，使人体旋转的重力比而人体在失衡倾斜一个小的角度时，使人体旋转的重力矩也增加了，在倾斜角度相同时，重重力矩的大小与重心矩也增加了，在倾斜角度相同时，重重力矩的大小与重心的高度成正比，于是，重心越高，重力矩产生的角加速度的高度成正比，于是，重心越高，重力矩产生的角加速度越小，产生同样倾斜角度所用的时间越长，人体就越有时越小，产生同样倾斜角度所用的时间越长

18、，人体就越有时间通过肢体运动调整自己重心的位置，处于动态平衡状态间通过肢体运动调整自己重心的位置，处于动态平衡状态 一个明显的事实是，可以轻易地顶一个鸡毛箪子在鼻一个明显的事实是，可以轻易地顶一个鸡毛箪子在鼻尖上，使它处于动态平衡不倒下来，但却不容易顶一支铅尖上，使它处于动态平衡不倒下来，但却不容易顶一支铅笔在鼻尖上，使它不倒下来。笔在鼻尖上，使它不倒下来。Part C 均质杆OA长 l ,质量为m,其O端用铰链支承，A 端用细绳悬挂，如图所示。试求将细绳突然剪断的瞬时，铰链O处的约束反力。 Part C 分析作用在杆上的力及其运动量分析作用在杆上的力及其运动量: :OOMJ2)(312lWm

19、l在剪断绳子的瞬时在剪断绳子的瞬时023lg0nCa2tClaaCPart C 根据质心运动定理根据质心运动定理20tCnlaaaCCyyixxiFWFmaFFmatCnC得到得到0 xFmglglmmglmmgFy412322Part C 1、解题步骤同质点系动量矩定理。、解题步骤同质点系动量矩定理。2、研究对象仅包含、研究对象仅包含一个一个定轴转动刚体。定轴转动刚体。3、动量矩（转角、角速度、角加速度）和力矩正动量矩（转角、角速度、角加速度）和力矩正向规定要统一向规定要统一。 刚体定轴转动微分方程应用说明：刚体定轴转动微分方程应用说明：Part D 即即对定轴的动量矩：对定轴的动量矩：CC

20、COmLvrLCCOOmMLvLCCzzLmMLzvPart D 即即对定轴的动量矩：对定轴的动量矩：CCCOmLvrLCCOOmMLvLCCzzLmMLzvPart D 曲柄以匀角速度 绕O轴转动，通过连杆AB带动滑块A和B分别在垂直和水平滑道中运动。如图所示，已知OC=AC=BC=l, 曲柄质量为m, 连杆质量为2m,试求系统在图示位置时对O轴的动量矩Part D OLOOCOABLLOOCLOOCJ231mlOABLlmvJCABCAB2222342)()2)(2(121lmlmlmLOABlvCAB2235)3431(lmlmLOPart D 质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于

21、质质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。质心的主矩。质点系相对于质心的相对于质心的动量矩定理动量矩定理eddiCCtFMLPart D 质点系相对于质点系相对于质心质心的动量矩定理的动量矩定理质点系相对于质点系相对于质心轴质心轴的动量矩定理的动量矩定理质点系相对于质心（轴）的动量矩守恒：质点系相对于质心（轴）的动量矩守恒：eddiCCtFMLeddizCzCMtLF若若0eiCFM则则常矢量21CCCLLL若若0eizCMF则则常量21zCzCCzLLLPart D Part D

22、Part D 航天员在太空中如何控制身体的姿态？航天员在太空中如何控制身体的姿态？Part D 航天员在太空中如何控制身体的姿态？航天员在太空中如何控制身体的姿态？ 载人飞船中的宇航员在地球引载人飞船中的宇航员在地球引力作用下绕地球沿椭圆轨道运动。力作用下绕地球沿椭圆轨道运动。但是在飞船坐标系中看来，他处于但是在飞船坐标系中看来，他处于失重状态，并在飞船中漂浮，因而失重状态，并在飞船中漂浮，因而相对质心的动量矩守恒。相对质心的动量矩守恒。 Part E 设刚体在力 F1, F2,.Fn作用下作平面运动，由运动学可知，刚体的平面运动可分解为两种基本运动：1 固连在质心C 上的动坐标系 xCy的平移;2 绕质心 C的转动.Part E 刚体相对于质心C的动量矩为：CCJL 根据质心运动定理和相对于质心的动量矩定理有)(eeCFFaCCMJmPart E 将上两式投影至直角坐标系，有：)(eeCFFaCCMJm)(dde22FCCyyxxMtJFmaFmaPart E 如图所示质量m 的圆柱体放在斜面上，接触面的静滑