2020年九年级中考数学复习专题训练：《圆的综合-》

1、精选优质文档-倾情为你奉上2020年九年级中考数学复习专题训练：圆的综合 1如图，在RtACB中，ACB90°，以AC为直径作O，交AB于点D（1）若AB8，ABC30°，求O的半径；（2）若点E是边BC的中点，连结DE，求证：直线DE是O的切线；（3）在（1）的条件下，保持RtACB不动，将O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到O，当O与直线AB相切时，m 2如图，矩形ABCD中，AB13，AD6点E是CD上的动点，以AE为直径的O与AB交于点F，过点F作FGBE于点G（1）当E是CD的中点时：tanEAB的值为 ；（2）在（1）的条件下，证明：FG是O的切线；（3）试探

2、究：BE能否与O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由3如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形BEFG中，点E在AB的延长线上，点G在BC上，点O在线段AB上，且AOBO以OF为半径的O与直线AB交于点M，N（1）如图1，若点O为AB中点，且点D，点C都在O上，求正方形BEFG的边长（2）如图2，若点C在O上，求证：以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值（3）如图3，若点D在O上，求证：DOFO4如图，四边形ABCD内接于O，AC为直径，AC和BD交于点E，ABBC（1）求ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等

3、量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG3，S四边形AGMO：S四边形CHMO8：9，求O的半径5定义：当点P在射线OA上时，把的的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值例如：如图1，OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为（1）在OAB中，点B在射线OA上的射影值小于1时，则OAB是锐角三角形；点B在射线OA上的射影值等于1时，则OAB是直角三角形；点B在射线OA上的射影值大于1时，则OAB是钝

4、角三角形其中真命题有 ABCD（2）已知：点C是射线OA上一点，CAOA1，以为圆心，OA为半径画圆，点B是O上任意点如图2，若点B在射线OA上的射影值为求证：直线BC是O的切线；如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为 6问题发现：（1）如图1，ABC内接于半径为4的O，若C60°，则AB ；问题探究：（2）如图2，四边形ABCD内接于半径为6的O，若B120°，求四边形ABCD的面积最大值；解决问题：（3）如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条弧形道路围成，点M是AB

5、道路上的一个地铁站口，已知ADBM1千米，AMBC2千米，AB60°，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由7如图，AB是O的直径，BM切O于点B，点P是O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQAP交BM于点Q，过点P作PEAB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE（1）求证：直线PQ为O的切线；（2）

6、若直径AB的长为4当PE 时，四边形BOPQ为正方形；当PE 时，四边形AEOP为菱形8已知AB是O的直径，DA为O的切线，切点为A，过O上的点C作CDAB交AD于点D，连接BC、AC（1）如图，若DC为O的切线，切点为C，求ACD和DAC的大小（2）如图，当CD为O的割线且与O交于点E时，连接AE，若EAD30°，求ACD和DAC的大小9已知AB为O的直径，点C为O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC（）如图，OBBD，若DC与O相切，求D和A的大小；（）如图，CD与O交于点E，AFCD于点F连接AE，若EAB18°，求FAC的大小10如图，AB为O的直径，点P为AB延

7、长线上的一点，过点P作O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，连接AM（1）求证：AM平分CAB；（2）若AB4，APE30°，求的长11如图，AB是O的直径，AC是O的切线，连接OC交O于E，过点A作AFAC于F，交O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：CBED；（2）若AB12，tanBED，求CF的长12已知，点A为O外一点，过A作O的切线与O相切于点P，连接PO并延长至圆上一点B连接AB交O于点C，连接OA交O于点D连接DP且OAPDPA（1）求证：POPD；（2）若AC，求O的半径13如图，AB是O的直径，C为O上一点，P是半径O

8、B上一动点（不与O，B重合），过点P作射线lAB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1于点F（1）求证：FCFD（2）当E是的中点时，若BAC60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；若，且AB30，则OP 14如图，在DAM内部做RtABC，AB平分DAM，ACB90°，AB10，AC8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作O（1）判断AEF的形状为 ，并判断AD与O的位置关系为 ；（2）求t为何值时

9、，EN与O相切？求出此时O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出AEF的内心运动的路径长为 ；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与O有两个公共点时，t的取值范围为 （参考数据：sin37°，tan37°，tan74°，sin74°，cos74°）15如图1，CD是O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EFBC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FEFG（1）求证：EF是O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2BGBF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的

10、延长线交于点M，tanF，BC5，求DM的值16如图，在RtABC中，ABBC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE（1）求证：DE是O的切线；（2）设O的半径为r，证明r2ADOE；（3）若DE4，sinC，求AD之长17定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”如图1，ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若AD2BDCD，则称点D是ABC中BC边上的“好点”（1）如图2，ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”（2）ABC中，BC9，tanB，t

11、anC，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长（3）如图3，ABC是O的内接三角形，OHAB于点H，连结CH并延长交O于点D求证：点H是BCD中CD边上的“好点”若O的半径为9，ABD90°，OH6，请直接写出的值18如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，以AC为直径的O分别交AB、BC于点M、N，过点C作O的切线交AB的延长线于点P（1）求证：CAB2BCP；（2）若O的直径为5，sinBCP，求ABC内切圆的半径；（3）在（2）的条件下，求ACP的周长19已知四边形ABCD为O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CHBD于H，CH与过A点的直线相交于点F，FADAB

12、D（1）求证：AF为O的切线；（2）若BD平分ABC，求证：DADC；（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若AED+AEN135°，O的半径为2，求EN的长20如图，在RtABC中，ACB90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作O，AB与O相切于点F，直线AO交O于点E，D（1）求证：AO是CAB的角平分线；（2）若tanD，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，O的半径为3，求CF的长参考答案1解：（1）在RtABC中，AB8，ABC30°，ACABsinABC8sin30°4，O的半径为2；（2）证明：

13、连接OD，CD，AC为O的直径，CDAB，CDB90°，点E是边BC的中点，DECECB，DCECDE，OCOD，OCDODC，ACEACD+DCE90°，ODEODC+CDE90°，ODDE，直线DE是O的切线；（3）连接OO交AB于F，设O与AB相切于G，连接OG，则OGF90°，将O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到O，OOBC，AOOG，AOFACB90°，AFOOFG，AOFOGF（AAS），OFAF，在RtAOF中，A60°，AO2，AF4，OF2，OFAF4，OO4+2，m4+2故答案为：4+22（1）解：四边形ABC

14、D是矩形，D90°，CDAB，CDAB13，EABDEA，E是CD的中点，DECD，tanDEA故答案为：（2）证明：连接OF，在矩形ABCD中，ADBC，ADEBCE90°，又CEDE，ADEBCE（SAS），AEBE，EABEBAOFOA，OAFOFA，OFAEBAOFEBFGBE，FGOF，FG是O的切线（3）解：若BE能与O相切，由AE是O的直径，则AEBE，AEB90°设DEx，则EC13x由勾股定理得：AE2+EB2AB2，即（36+x2）+（13x）2+36132，整理得x213x+360，解得：x14，x29，DE4或9，当DE4时，CE9，BE3

15、，当DE9时，CE4，BE2，BE能与O相切，此时BE2或33解：（1）如图1，连接OC，四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，ABBC1，BEEF，OEFABC90°，点O为AB中点，OBAB，设BEEFx，则OEx+，在RtOEF中，OE2+EF2OF2，在RtOBC中，OB2+BC2OC2，OC2，OC，OF为O的半径，OCOF，解得：x，正方形BEFG的边长为；（2）证明：如图2，连接OC，设OBy，BEEFx，同（1）可得，OE2+EF2OF2，OB2+BC2OC2，OF2x2+（x+y）2，OC2y2+12OC，OF为O的半径，OCOF，x2+（x+y）2y2+12，2

16、x2+2xy1，x2+xy，即x（x+y），EF×OE，以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为（3）证明：连接OD，设OAa，BEEFb，则OB1a，则OE1a+b，DAOOEF90°，DA2+OA2OD2，OE2+EF2OF2，12+a2OD2，（1a+b）2+b2OF2，ODOF，12+a2（1a+b）2+b2，（b+1）（ab）0，b+10，ab0，ab，OAEF，在RtAOD和RtEFO中，RtAODRtEFO（HL），FOEODA，DAO90°，ODA+AOD90°，FOE+AOD90°，DOF90°，DOFO

17、4解：（1）如图1，AC为直径，ABC90°，ACB+BAC90°，ABBC，ACBBAC45°，ADBACB45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2EF2理由如下：如图2，设ABE，CBF，ADBF，EBFADB45°，又ABC90°，+45°，过B作BNBE，使BNBE，连接NC，ABCB，ABECBN，BEBN，AEBCNB（SAS），AECN，BCNBAE45°，FCN90°FBN+FBE，BEBN，BFBF，BFEBFN（SAS），EFFN，在RtNFC中，CF2+

18、CN2NF2，EA2+CF2EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2EF2，EA2+CF2EF2，SAGE+SCFHSEFK，SAGE+SCFH+S五边形BGEFHSEFK+S五边形BGEFH，即SABCS矩形BGKH，SABCS矩形BGKH，SGBHSABOSCBO，SBGMS四边形COMH，SBMHS四边形AGMO，S四边形AGMO：S四边形CHMO8：9，SBMH：SBGM8：9，BM平分GBH，BG：BH9：8，设BG9k，BH8k，CH3+k，AG3，AE3，CF（k+3），EF（8k3），EA2+CF2EF2，+，整理得：7k26k10，解得：k1（舍去

19、），k21AB12，AOAB6，O的半径为65解：（1）错误点B在射线OA上的射影值小于1时，OBA可以是钝角，故OAB不一定是锐角三角形；正确点B在射线OA上的射影值等于1时，ABOA，OAB90°，OAB是直角三角形；正确点B在射线OA上的射影值大于1时，OAB是钝角，故OAB是钝角三角形；故答案为：B（2）如图2，作BHOC于点H，点B在射线OA上的射影值为，CAOAOB1，又BOHCOB，BOHCOB，BHOCBO90°，BCOB，直线BC是O的切线；图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形过点D作DMOC，作DNOB，当DOB90°时，

20、设DMh，D为线段BC的中点，SOBDSODC，OB×DNOC×DM，DN2h，在RtDON和RtDOM中，OD2DN2+ON2DM2+OM2，4h2+y2h2+x2，3h2x2y2，BD2CD2，4h2+（1y）2h2+（2x）2，消去h得：y2x如图，当BOD90°时，过点D作DMOC于点M，D为线段BC的中点，SOBDSODC，OB×DOOC×DM，CAOAOB1，OD2DM，sinDOM，DOM30°，设DMh，则OD2h，OMh，h2+1+4h2，h，OM，当点B在OC上时，OD，综上所述，当x时，y0；当x时，y2x故答案

21、为：y0（x）或y2x（x）6解：（1）如图1，连接OA、OB，过点O作OHAB于点H，C60°，AOB120°，OAOB，OAB为等腰三角形，OHAB，AOHBOH60°，AHOAsinAOH4×2，则AB2AH4；故答案为4；（2）如图2，连接AC，过点D作DEAC于点E，过点B作BFAC于点F，四边形ABCD的面积SAC×DEAC×BFAC×（DE+BF），当D、E、F、B四点共线且为直径时，四边形ABCD的面积S最大；ABC120°，ADC60°，AOC120°，在AOC中，由（1）知，

22、AC2×OAsin60°2×6×6，四边形ABCD的面积S的最大值为：×AC×BD6×1236，故四边形ABCD的面积的最大值为36；（3）如图3，过点D作DKAB于点K，连接CD，在ADM中，DKADsinA1×，同理AK，则KMAMAK2，则tanDMKDMK30°，故ADM为直角三角形，同理CMB为直角三角形，在RtADM中，DM，DMC180°DMACMB60°ADBM，AMBC，AB60°，RtADMRtBMC（SAS），DMCM，CDM为等边三角形；设所在的圆的圆

23、心为R，连接DR、CR、MR，DMCM，RMRM，DRCR，DRMCRM（SSS），DMRCMRDMC30°，在DMR中，DR1，DMR30°，DMCM，过点R作RHDM于点H，则RM1RD，故D、P、C、M四点共圆，DPC120°，如图4，连接MP，在PM上取PPPC，CDM为等边三角形，CDM60°CPM，PPC为等边三角形，则PPPCPC，PMCPDC，CPM180°PPC120°DPC，CDCM，PDCPMC（AAS），PDPM，PD+PCPP+PDPP+PMPM，故当PM是直径时，PD+PC最大值为2；四边形DMCP的周长D

24、M+CM+PC+PD2+PD+PC，而PD+PC最大值为2；故四边形DMCP的周长的最大值为：2+2，即四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大为2+27（1）证明：OQAP，EOCOAP，POQAPO，又OPOA，APOOAP，又BOQEOAOAP，POQBOQ，在BOQ与POQ中，POQBOQ（SAS），OPQOBQ90°，点P在O上，PQ是O的切线；（2）解：POQBOQ，OBQOPQ90°，当BOP90°，四边形OPQB为矩形，而OBOP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PEPOAB2；PEAB，当OCAC，PCEC，四边形AEO

25、P为菱形，OCOA1，PC，PE2PC2故答案为：2；28解：（1）AB是O的直径，DA为O的切线，切点为A，DAAB，DAB90°，DC为O的切线，切点为C，DCDA，CDAB，D+DAB180°，D90°，ACDDAC45°；（2）AB是O的直径，DA为O的切线，切点为A，DAAB，DAB90°，DEAEAB，ADC90°，EAD30°，DEA60°，EAB60°，BCE120°，AB是O的直径，BCA90°，ACD30°，DAC60°9解：（）如图，连接OC，

26、BC，AB为O的直径，ACB90°，DC与O相切，OCD90°，OBBD，BCODOBBD，BCOBOC，OBC是等边三角形，OBCOCBCOB60°，BCDOCA30°，DA30°；（）如图，连接BE，AB为O的直径，AEB90°，AFCD，AFC90°，ACF是圆内接四边形ACEB的外角，ACFABE，FACEAB18°，答：FAC的大小为18°10解：（1）连接OM，PE为O的切线，OMPC，ACPC，OMAC，CAMAMO，OAOM，OAMAMO，CAMOAM，即AM平分CAB；（2）APE30&

27、#176;，MOPOMPAPE90°30°60°，AB4，OB2，的长为11（1）证明：AB是O的直径，CA切O于A，C+AOC90°；又OCAD，OFA90°，AOC+BAD90°，CBAD又BEDBAD，CBED（2）解：由（1）知CBAD，tanBED，tanC，tanC，且OAAB6，解得AC8，10，OCAFOAAC，12（1）证明：PA与O相切于点P，BPAPOPD+DPA90°，OAP+AOP90°OAPDPAOPDAOPODPDPOODPOPD（2）连接PC，PB为O的直径BCP90°PO

28、PDODAOP60°设O的半径为x，则PB2x，tan60°PAxABxBPABCP90°，BBBAPBPCAC7x4xxO的半径为13证明：（1）连接OC，（1）证明：连接OCCF是O的切线，OCCF，OCF90°，OCB+DCF90°，OCOB，OCBOBC，PDAB，BPD90°，OBC+BDP90°，BDPDCF，BDPCDF，DCFCDF，FCFD；（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形理由如下：AB是直径，ACB90°，BAC60°，BOC120

29、6;，点E是的中点，BOECOE60°，OBOEOC，BOE，OCE均为等边三角形，OBBECEOC四边形BOCE是菱形；，设AC3k，BC4k（k0），由勾股定理得AC2+BC2AB2，即（3k）2+（4k）2302，解得k6，AC18，BC24，点E是的中点，OEBC，BHCH12，SOBEOE×BHOB×PE，即15×1215PE，解得：PE12，由勾股定理得OP9故答案为：914解：（1）过点E作EHAF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：ACB90°，AB10，AC8，BC6，设运动时间为t，则AE5t，AF8t，AHEACB90

30、°，EAHBAC，EAHBAC，即：，AH4t，FHAFAH8t4t4t，AHFH，EHAF，AEF是等腰三角形，E为的中点，EAFEFA，AHFH，OHAC，E、H、O三点共线，OAF+AOE90°，AB平分DAM，DAEEAFEFA，AOE2EFA，AOEDAE+EAFDAF，DAF+OAF90°DAO，即OAAD，OA为O的半径，AD与O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：由（1）知：EHAC，EN与O相切，OEN90°，ACB90°，四边形EHCN为矩形，EHNC，在RtAHE中，

31、EH3t，NC3t，点N为BC的中点，BC2NC6t，BC6，6t6，t1，AH4，EH3，设O的半径为x，则OHx3，在RtAOH中，由勾股定理得：OA2OH2+AH2，即x2（x3）2+42，解得：x，O的半径为，OH，tanAOH，AOH74°，AOH60°时，AOE是等边三角形，AEOA，74°60°，AEOA，劣弧长度的大于半径；（3）当点E运动到B点时，t10÷52，AF2×816，AEEFAB10，此时AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，AEF的内心运动的路径长为AG，作GPAE于P，GQEF于Q，连接A

32、G、GF，则CGPGNQ，如图3所示：SAEFAFBC×16×648，设CGPGNQa，则SAEFSAGF+SAEB+SFEGAFCG+AEPG+EFNQ×（16+10+10）a48，解得：a，在RtAGC中，AC2+CG2AG2，即82+（）2AG，AG，故答案为：；（4）分别讨论两种极限位置，当EN与O相切时，由（2）知，t1；当N在O上，即ON为O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OKBC于K，如图4所示：则四边形OKCH为矩形，OAOEON，OHCK，AH4t，EH3t，设O的半径为x，则在RtAOH中，AH2+OH2OA2，即（4t）

33、2+（x3t）2x2，解得：xt，OHCKt3tt，在RtOKN中，OK2+KN2ON2，即（84t）2+（3+t）2（t）2，解得：t，线段EN与O有两个公共点时，t的取值范围为：1t，故答案为：1t15解：（1）连接OE，则OCEOEC，FEFG，FGEFEG，H是AB的中点，CHAB，GCH+CGH+90°，FEOFEG+CEO+90°，EF是O的切线；（2）CHAB，CBACEB，EFBC，CBAF，故FCEB，FBEGBE，FEBEGB，BE2BGBF；（3）如图2，过点F作FRCE于点R，设CBACEBGFE，则tan，EFBC，FECBCG，故BCG为等腰三角

34、形，则BGBC5，在RtBCH中，BC5，tanCBHtan，则sin，cos，CHBCsin5×3，同理HB4；设圆的半径为r，则OB2OH2+BH2，即r2（r3）2+（4）2，解得：r；GHBGBH54，tanGCH，则cosGCH，则tanCGH3tan，则cos，连接DE，则CED90°，在RtCDE中cosGCH，解得：CE，在FEG中，cos，解得：FG；FHFG+GH，HMFHtanF×；CMHM+CH，MDCMCDCM2r16（1）证明：连接OD、BD，AB为圆O的直径，BDA90°，BDC180°90°90

35、6;，E为BC的中点，DEBCBE，EBDEDB，ODOB，OBDODB，EBD+DBO90°，EDB+ODB90°，ODE90°，DE是圆O的切线（2）证明：如图，连接BD由（1）知，ODEADB90°，BDACE是BC的中点，O是AB的中点，OE是ABC的中位线，OEAC，OEBDOEAC，12又1A，A2即在ADB与ODE中，ADBODE，A2，ADBODE，即r2ADOE；（3）AB为O的直径，ADBBDC90°，点E为BC的中点，BC2DE8，sinC，设AB3x，AC5x，根据勾股定理得：（3x）2+82（5x）2，解得x2则AC1

36、0由切割线定理可知：82（10AD）×10，解得，AD3.617解：（1）如答图1，当CDAB或点D是AB的中点是，CD2ADBD；（2）作AEBC于点E，由，可设AE4x，则BE3x，CE6x，BC9x9，x1，BE3，CE6，AE4，设DEa，如答图2，若点D在点E左侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2BDCD，a2+42（3a）（6+a），即2a2+3a20，解得，a22（舍去），如答图3，若点D在点E右侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2BDCD，a2+42（3+a）（6a），即2a23a20，解得a12，（舍去）BD3+a3+25或5（5）CHABHD，ACHDBHAHCDHB，即AHBHCHDH，OHAB，AHBH，BH2CHDH点H是BCD中CD边上的“好点”理由如下：如答图4，连接AD，BD，ABD90°，AD是直径，AD18又OHAB，OHBD点O是线段AD的中点，OH是ABD的中位线，BD2OH12在直角ABD中，由