高中物理常用的数学工具(一)

1、高中物理常用的數學工具(一)主題一 三角函數一、 銳角三角函數1. 定義：右圖的直角三角形中，Y為角度的對邊長，X為角度的鄰邊長，R為斜邊長。則定義角度(0 o 90 o)的六個三角函數如下：(為自變數)2. 特殊角度的三角函數常見的特殊角有30 o、37 o、45 o、53 o、60 o，從下面三個直角三角形的邊長關係可求出它們的三角函數練習一：1.(1)sin30 o = (2)cos37 o = (3)tan45 o = (4)cot53 o = (5)sec60 o = (6)scs30 o = (7)sin45 o = (8)tan53 o = 2.(1) (2) (3) (4) (

2、5) (空格填的角度在大於0 o，小於90 o範圍之間)3. 應用V例：右圖中， 註：(1) 分量是量值，不是向量(2)練習二：1.右圖中，為在切線方向的分量，為在法線方向的分量，則 = = 。2.一小球由斜坡上面滾落，斜坡長度20公尺，與水平面夾角30O，請問小球下降的高度為何？3.右圖中銅球重量為W，懸於光滑鉛直牆上，求(1)繩上的張力大小= (2)牆對球的作用力大小= 。4. 一質子在半徑200公尺的加速器中作等速率圓周運動，週期為0.06秒，請問在0.02秒的時間間隔內，質子的位移大小為何？5. 一單擺，擺錘質量200公克，擺繩長度30公分，上端固定，將擺錘向一邊移動至擺繩與鉛垂方向夾

3、角為53o處，由靜止釋放至最低點瞬間。(1)高度降低多少公分？(2)減少之重力位能為多少焦耳？(重力加速度約為9.8 m/s2)4. 反三角函數(1) 反正弦函數：(2) 反餘弦函數：(3) 反正切函數：註：在解物理題目時，若遇到不是特殊角度，可以反三角函數的形式來表示。練習三：1.(1) sin=0.4，則= (2) cos=0.7則= 。2.一物體向東位移4公尺，再向南位移6公尺，則此物體總位移為 公尺，方向為東偏南 (填角度)。二、 廣義角三角函數1. 定義右圖中，單位圓的圓心位於直角座標系的原點，以X軸之正向單位長線段為始邊作一廣義角。設線段交單位圓於座標(X，Y)，則定義角度的六個三

4、角函數如下：(為自變數)，2. 特殊角的三角函數(物理常用者)練習四：1.sin0 o = 。2.cos0 o = 。3.sin90 o = 。4.cos90 o = 。5.sin127 o = 。6.cos143 o = 。7.sin180 o = 。8.cos180 o = 。三、 和角與差角公式練習五：1.sin(30 o +45 o) = 。 2.sin(60 o -37 o) = 。3.cos(53 o -37 o) = 。主題二 向量一、 向量的表示法1. 向量的符號表示：以帶有“”符號的英文字母表示。例如：速度用表示，加速度用表示，力用表示。2. 向量的圖形表示。以帶有箭頭的線段

5、表示。線段的長度代表向量的大小；箭頭的方向代表向量的方向。例如：速度向量可表示如右圖。 註：向量大小的符號表示： 二、 向量的運算1. 向量的加法(圖形表示)2. 向量的減法(圖形表示)註：或3. 向量的分解(圖形表示)註：向量可以有無限多種分解的結果，在高中物理應用上最常見的是分解成互相垂直的兩個分向量。練習一：( )1. 已知為，為，+之方向大約為何？A)(B)(C)(D)。( )2. 承上題，-約略方向為何？3. 某人在一直線道路上運動，04秒間位移為 +12 m，46秒間位移為 -4 m，610秒間位移為 -10 m，則010秒間之位移為何？4. 甲、乙合力拖動一箱子，甲向東方水平施力

6、15kgw，乙向南水平施力20kgw，則箱子受甲、乙作用之合力大小及方向為何？5. 一個質量200公克小球由高空落下的過程中同時受到由東向西的風吹襲，已知風對小球的作用力為4牛頓之定力，且重力加速度為約為10m/s2，請問小球加速度之大小及方向為何？(不計空氣阻力之影響)O0V0xy6. 右圖中，一質點作斜拋運動，其初速度大小為V0，拋射角為0，求初速度的(1)水平分量V0x= ，(2)鉛直分量V0y= 。37o7. 如右圖所示，某人以斜向下37o角方向施力100牛頓推動一行李箱，請問(1)此人作用在行李箱推力的向前分量有多少牛頓？(2)推力向下分量有多少牛頓？4. 其他常用向量運算法則(1)

7、純量與向量的乘積： (2)分配律： (3)結合律：5. 三個向量和為0時之特性(1)向量和之圖示，三個箭號恰可繞成一封閉三角形例如：右圖為一方形物體，以A、B兩繩懸掛於天花板和牆上而呈靜止狀態，此時作用於方形物體上的力總合為0。即：， 以向量圖表示作用力，恰可圍成一個三角形(2)任意兩向量和必與第三個向量大小相同、方向相反。(3)拉密定理：每一個向量與其對角正弦函數之比值相等6. 求數個向量之和，可先分解再合成。(高中物理常用的方法)(1)步驟一：先將每一個向量分解成平行(運動方向)分量和垂直(運動方向)分量，或分解成水平分量和鉛直分量。(2)步驟二：分別求所有平行分量之向量和及所有垂直分量之

8、向量和。(3)步驟三：將平行分量和與垂直分量和以畢氏定理求向量總和之大小，從平行分量和與垂直分量和之比判斷角度。例如：某物體同時受到A、B、C、D四個力作用，其大小及方向如右向量圖所示。此四個力的合力F為何？(先以作圖法分析，再配合實際數值計算)解：(1)步驟一：先將每一個向量分解成水平分量和垂直分量。(2)步驟二：分別求所有水平分量之向量和及所有垂直分量之向量和。(3)步驟三：將水平分量和與垂直分量和以畢氏定理求向量總和之大小，從垂直分量和與水平分量和之比值判斷角度。練習二：1. 甲、乙、丙三人同時施力於一物體上，合力恰為0，已知甲施力大小為100牛頓，乙施力大小為75牛頓，且甲、乙施力的方

9、向互相垂直。求(1)丙施力之大小為何？(2)乙、丙施力的方向夾角多少度？2. 某物體同時受到A、B、C、D四個力作用，其大小及方向如右向量圖所示。其中A作用力大小為40牛頓，與+x軸夾角120O；B作用力大小為35牛頓，與+x軸夾角53O；C作用力大小為40牛頓，與+x軸夾角-37O；D作用力大小為25牛頓，與+x軸夾角-90O。此四個力的合力F之大小及方向為何？(先以作圖法分析，再配合實際數值計算)主題一 三角函數 解答練習一：1.(1) 1/2 (2) 4/5 (3) 1 (4) 3/4 (5) 2 (6) 2 (7) 1/ (8) 4/32.(1) 37 o (2) 60 o (3) 60 o (4) 45 o (5) 37 o練習二：1. a cos ; a sin 2. 10公尺 3. Wsec ; Wtan 4. 5. (1) 12公分 (2) 0.2352焦耳練習三：1.(1) sin-10.4 (2) cos-10.7 2. 2 ； tan-1(3/2)練習四：1. 0 2. 1 3. 1 4. 0 5. 4/5 6. -4/5 7. 0 8. -1練習五：1.