数学竞赛专题辅导中值定理上课用

1、数学竞赛专题辅导中值定理上课用2罗尔定理：罗尔定理：( , )a b ( )0f (1)() , fxC a b (2)()( , )f xD a b (3)( )( )f af b ( ) , f xC a b ( , )a b ( )( )( ),f bf afba ( )( , )f xD a b 拉格朗日定理：拉格朗日定理：柯西定理：柯西定理：1. 微分中值定理微分中值定理 (),() , F xf xC a b ( ),( )( , )F xf xD a b ( )( )( ),( )( )( )ff bf aFF bF a ( , )a b ( )0F x 且且一、一、 几个中值定

2、理几个中值定理3其中余项其中余项0() )no xx当当00 x 时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .(1)10( )( )()(1)!nnnfRxxxn ( )2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnfff xffxxxxn 200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn 0(xx 在在与与之之间间) )假设函假设函数数0( )()f xx 在在内具有内具有 n + 1 阶导数阶导数, 泰勒中值定理：泰勒中值定理：0()xx 则则当当时时，有有公公式式：4根本初等函数的麦克劳林公式根本初等函数的麦克劳林公式)(! 212nnxxo

3、nxxxe ! 5! 3sin53xxxx)()!12()1(2121nnnxoxn )()!2()1(! 4! 21cos12242 nnnxonxxxx )1(x 1 x 2xnx)(nxo !2 )1( ! n )1()1( n )1ln(x x 22x 33x nxn )(nxo 1)1( n5 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 ( )( )f af b 微分中值定理之间的相互关系微分中值定理之间的相互关系 罗尔定理罗尔定理 ( )0f xyoab)(xfy ( )( )( )( )( )( )f bf afF bF aF ( )( )( )f bf afba ( )( )( )F x

4、xf af b (1)110(1)!( )()nnnfxx 柯西中值定理柯西中值定理 ( )F xx xyoab)(xfy 泰勒中值定理泰勒中值定理 000( )()()()f xf xfxxx ()100!()()nnnfxxx 0n 62. 零点定理与介值定理零点定理与介值定理1)1)零点定理零点定理 ：( ) ,f xC a b 若若至少有一点至少有一点( ,),a b 且且使使( )0 .f ( ) ( )0f a f b 2)2)介值定理：介值定理：( ),( ),f xC a bf aA 设设且且( ),f bB AB那么对那么对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C ,(

5、,),( ).a bfC 使使推论推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值之间的任何值 .( ) ,( , ),( )f xC a bmCMa bfC 使使即即：( ) , ,( )f xC a bmCMa bfC 使使或或73. 费马定理费马定理00( )f xxx设设函函数数在在点点 处处, ,且且在在点点可可导导处处. 0)(0 xf取得极值取得极值4. 积分中值定理积分中值定理( ) , f xC a b 若若 , ( )d( )(,)baa bf xxfba 使使( )dbaf xx 积分中值定理积分中值定理( )(

6、)Fba ( )( )F bF a 微分中值定理微分中值定理( )()fba 注：注：牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式( )( )Fxf x 设设81. 证明恒等式证明恒等式.2. 证明不等式证明不等式.4. 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论.经历经历1:0( ),f xICx 欲欲证证时时0,xI且且00().f xC 使使( )0,Ifx 只只需需证证明明在在 上上二、中值定理的主要应用二、中值定理的主要应用利用中值定理证明不等式的步骤利用中值定理证明不等式的步骤:(3) 根据根据 a b 的关系的关系,证明出不等式证明出不等式.(2) 利用中值定理利用中值定理,(1) 设出

7、辅助函数和区间，设出辅助函数和区间，经历经历2：经历经历3: 欲证欲证( , )( )0.a b 使使(1)设函数设函数( )x ，(2)验证函数验证函数 在区间在区间 上满足罗尔定理上满足罗尔定理.( )x , a b3. 极限的计算极限的计算.91. 证明恒等式证明恒等式例例1. 证明等式证明等式arcsinarccos, 1,1.2xxx 证证: 设设( )arcsinarccos,f xxx ( 1,1) 则则在在上上( )fx 由推论可知由推论可知( )arcsinarccosf xxxC (常数常数) 令令 x = 0 , 得得.2C 又又( 1),2f 故所证等式在定义域故所证等

8、式在定义域 上成立上成立. 1, 1211x 211x 0 自证自证:(,)x arctanarccot,2xx 二、中值定理的主要应用二、中值定理的主要应用10例例1. 证明不等式证明不等式证证: 设设( )ln(1) ,f tt ( )0, f tx则则在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理即即因为因为所以所以ln(1)(0).1xxxxx ( )(0)f xf ln(1)x ,01xx 11xxxx ln(1)(0)1xxxxx ( )(0),0fxx 因此应有因此应有111x 11111x 练练习习：111ln(1)1111,2nnnn 证证明明: :对对任任意意正正整整数数

9、 , ,都都有有年年数数成成立立；1( )1ftt 由由于于11,0ba abababbaa1lnln222 例例2 证明：证明：理理利利用用拉拉格格日日朗朗日日中中值值定定在在证证明明,ln)(:baxxf ),(,1lnlnbaabab aabba2222 1lnln abab222baa axaxaxxg lnln)(令令0, 02)()(32 axaxaxxg0)(0)()()( bgagxgxg减减，ababab1lnln 即即12( )2,fx 例例3. 设函数设函数在在( )f x0,1上二阶可导上二阶可导,(0)(1),ff 且且证明证明( )1.fx 证证:0,1,x由泰勒公

10、式得由泰勒公式得(0)f(1)f两式相减得两式相减得2211220( )( )(1)( )fxfxfx ( )f x ( )fx x 212( )fx (01) 212( )( )(1)( )(1)(01)f xfxxfx 20000( )( )()()()()2!ff xf xfxxxxx 0(xx 在在与与之之间间) )221122( )( )(1)( )fxfxfx221122( ) (1)( )fxfx 22(1)xx 12 (1)xx 1,0,1x 13例例4. 设函数设函数 f (x)在在a，b可导，且可导，且,)(Mxf 证明证明f (x)在在a，b内有界内有界.证证: 取点取点

11、, ),(0bax 再取异于再取异于0 x的点的点, ),(bax对对xxxf,)(0在在以以为端点的区间上用拉氏中值定理为端点的区间上用拉氏中值定理, 得得)()()(00 xxfxfxf )(0之间与界于xx)()()(00 xxfxfxf 00)()(xxfxf )()(0abMxf K ( (定数定数) )可见对任意可见对任意, ),(bax,)(Kxf即得所证即得所证 .14)(2)()()2(!2121)(!4!21lim22242225420 xoxxxxxoxxxoxxx )1ln(coslim2202xxxexxx )(21)(4!21!41lim44440 xoxxoxx

12、61 例例13. 极限的计算极限的计算.154. 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论题型一题型一.( )0().fA 证证明明：使使或或常常数数保号性保号性 定理定理例例1. 设设( ) , ( )( )0,( )( )0,f xC a bf af bfa fb 且且试证：试证：(, ),( )0.a bf 使使证证: 不妨设不妨设( )0,( )0.fafb( )( )( )lim0 xaf xf ax afa 必有必有1( ,),2abxa 使使11()0f xxa ，故故1()0f x ( )( )( )lim0 xbf xf bx bfb 保号性保号性 定理定理必有必有2(,

13、 ),2abxb 使使22()0,f xxb 故故2()0f x 又在又在12, , xxa b 上上( )f x连续连续, 由零点定理知由零点定理知, 存在存在12(,)( , ),xxa b ( )0.f 使使 ab1x2x2ab x16例例2. 设设10( )0,1( )d0, ( )0,1f xCf xxg x 且且在在上上有有连连续续导导数数1120(0,1)( )0,( ) ( )d0,(0,1)g xf x g xx 在在内内又又，证证明明: : 不不同同:证证明明12()()0ff 使使0( )( )d ,xF xf tt 令令(, ,0,1,( )( )( )0)a b cF

14、 aF bF c欲欲证证结结论论, ,需需找找使使(0)0,(1)0,FF 由由已已知知( )( ),Fxf x 又又10( ) ( )d0f x g xx 由由已已知知知知10( ) ( )d0 ,Fx g xx 1100( ) ( )( )( )d0F x g xF x g xx 即即10( )( )d0F x g xx 10:(0,1)( ) ( )d( ) ( )(1 0)0F x g xxFg 由由积积分分中中值值定定理理得得使使 01 1710(0,1)( ) ( )d( ) ( )(1 0)0F x g xxFg 使使，( )0( )0g xF 由由已已知知 01 ( )0, F

15、 x 对对在在上上用用罗罗尔尔定定理理：111(0, )(0,1)()0()0.Ff 使使， 即即( ) ,1F x 对对在在上上用用罗罗尔尔定定理理：222( ,1)(0,1)()0()0.Ff 使使，即即0( )( )dxF xf tt 例例2. 设设10( )0,1( )d0, ( )0,1f xCf xxg x 且且在在上上有有连连续续导导数数1120(0,1)( )0,( ) ( )d0,(0,1)gxf x g xx 在在内内又又，证证明明: : 不不同同12()()0ff 使使18题型二题型二.( )0( )0.ff 证证明明：使使或或证证明明思思路路：1.( )0:f 使使2.

16、( )0:f 使使(1)( )f xx 验验证证在在处处取取得得极极值值，用用费费马马定定理理. .(2)( )f xx 验验证证在在包包含含的的闭闭区区间间上上满满足足罗罗尔尔定定理理. ., ,( )( )(0)a bf af b 这这里里关关键键 需需找找使使(1)( ),fx 对对用用费费马马定定理理 罗罗尔尔定定理理. .(2), , ,( )( )( ),()a b cf af bf cabc 需需找找三三个个点点使使1122( , )()0;( , )()0;a bfb cf 则则使使使使12( ),fx 对对在在上上用用罗罗尔尔定定理理即即得得结结论论. .常用的构造函数的几种

17、模型常用的构造函数的几种模型19例例4. 设设( ) , ( )( )0,f xD a bfa fb 且且( , )a b 证证明明: :( )0.f 使使保号性保号性 定理定理证证: 不妨设不妨设( )0,( )0.fafb( )( )( )lim0 xaf xf ax afa 必有必有1( ,),xa a ( )( )0f xf ax a 使使( )( )f xf a ( )( )( )lim0 xbf xf bx bfb 保号性保号性 定理定理必有必有2(, ),xbb ( )( )0f xf bx b 使使( )( )f xf b ( ),( )() , f af bf xa b即即都

18、都不不是是在在上上的的最最大大值值，( ) , f xC a b ( ) , f xa b在在上上必必有有最最大大值值与与最最小小值值，( ) , ( , )f xa ba b则则在在上上必必有有最最大大值值一一定定在在内内取取得得，( )max( )( , )axbff xa b 设设，( )f xx 在在处处可可导导，由由费费马马定定理理知知：( , )( )0.a bf 使使20例例5. 设设( )0,3,( )(0,3),(0)(1)(2)3,f xCf xDfff且且(3)1,(0,3)( )0.ff 证证明明: :使使03研研数数三三( )0,2,f xMm设设在在上上的的最最大大

19、值值为为与与最最小小值值为为 ，证证:(0),(1),(2)mfffM，(0)(1)(2)3fffmM1mM ，(0)(1)(2)0,2( )13ffff 由由介介值值定定理理得得：使使(3)1f 又又( ) ,3f x 在在上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件，( ,3)(0,3),( )0.f 所所以以: :使使 03 221例例6. 设设0( )( )lim0,(1)0,xf xf xfx 具具有有二二阶阶导导数数且且(0,1)( )0.f 证证明明: :使使0( )lim0 xf xx证证:(0)0,(0)0,ff (1)0,f 又又(0,1),( )0.f 得得：使使()0,1f

20、 x在在上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件，(0, )(0,1)( )0.f 所所以以: :使使()0, fx 在在上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件， 01 22例例7( )0,1,(0,1),:f x设在上连续 在内可导 证明2(0,1),(1)2( )( )fff使得证明：证明：2( )( ),( )0,1,(0,1)F xx f xF x令则在上连续 在内可导(0,1),(1)(0)( )FFF使得2(1)2( )( )fff2( )2( )( )Fxxf xx fx而23题型三题型三.( )( )0(2).nfA n证证明明：使使或或证证明明思思路路：若若已已知知高高阶阶

21、导导数数, ,则则要要考考虑虑用用泰泰勒勒公公式式. .例例7. 设设( ), f xa a 在在上上具具有有三三阶阶连连续续导导数数, ,且且满满足足20( )()d ,(0)0, ,xfxxtf xtt fa a 证证明明: :4( )12( )d .aaaff xx 使使常常与与其其它它中中值值定定理理, ,介介值值定定理理结结合合. .解：解：(1)( ), fxa a 在在上上连连续续( ), fxa a 在在上上连连续续. .412( )( )daaff xxa 所所证证的的等等式式为为：()A 常常数数( ), fxaAa 在在上上的的最最大大, ,最最小小需需证证介介于于值值之

22、之间间. .240(3)()dxtf xt t xtu 例例7. 设设( ), f xa a 在在上上具具有有三三阶阶连连续续导导数数, ,且且满满足足20( )()d ,(0)0, ,xfxxtf xtt fa a 证证明明: :4( )12( )d .aaaff xx 使使2300000011(2)( )()()()()()( )()26f xf xfxxxfxxxfxx 0() ( )( d )xxu f uu 00( )d( )dxxxf u uuf u u 200( )( )d( )d( )xxfxxxf u uuf u u 由由已已知知：(0)0,( )(0)0.ff 由由知知由由

23、已已知知：25例例7. 设设( ), f xa a 在在上上具具有有三三阶阶连连续续导导数数, ,且且满满足足20( )()d ,(0)0, ,xfxxtf xtt fa a 证证明明: :4( )12( )d .aaaff xx 使使( )( )fxx 两两边边对对 求求导导：2x 0( )dxf u u ( )xf x ( )xf x (0)0,f 00,x故故知知泰泰勒勒公公式式中中的的应应选选作作200( )( )d( )d( )xxfxxxf u uuf u u 由由已已知知：(0)0,( )(0)0.ff 由由知知由由已已知知：0(4)0 x 有有以以上上分分析析, ,代代入入泰泰

24、勒勒公公式式得得：2300000011( )()()()()()( )()26f xf xf xxxfxxxfxx 31( )( ),6f xfx 0.x 介介于于 ， 之之间间264, ,( )12( )d .aaa aaff xx 即即使使例例7. 设设( ), f xa a 在在上上具具有有三三阶阶连连续续导导数数, ,且且满满足足20( )()d ,(0)0, ,xfxxtf xtt fa a 证证明明: :4( )12( )d .aaaff xx 使使0(4)0 x 有有以以上上分分析析, ,代代入入泰泰勒勒公公式式得得：2300000011( )()()()()()( )()26f

25、 xf xf xxxfxxxfxx 31( )( ),6f xfx 0.x 介介于于 ， 之之间间( ), ,fxa aMm 设设在在上上的的最最大大值值, ,最最小小值值分分别别为为 ，则则31( )d( )d6aaaaf xxfxx 3d6aaMxx 412Ma 412( )d,aaf xxMa 412( )d,aaf xxma 类类似似的的，( ), fxa a 在在上上应应用用介介值值故故对对定定理理得得：412, ,( )( )daaa aff xxa 27题型四题型四.( ,( ),( ),( ),)0.Gfff 证证明明：使使证证明明思思路路：( )( )( ,( ),( ),(

26、 ),),F xFxG x f xfxfx 做做辅辅助助函函数数使使( ).F x然然后后验验证证满满足足罗罗尔尔定定理理( )-.F x辅辅助助函函数数的的构构造造法法原原函函数数法法 其其步步骤骤为为：( ,( ),(1),( )G x f xxfxxf 将将欲欲证证结结论论中中的的 换换为为 ，2)()( ),F x用用观观察察法法或或积积分分法法 或或解解微微分分方方程程法法 求求3),若若用用解解微微分分方方程程法法( ,( ),( ),( )0G x f xfxfx 先先求求出出微微分分方方程程，的的通通解解，( ),F xC 并并分分离离常常数数使使( ).F x则则就就是是所所

27、需需的的辅辅助助函函数数( )0F 28例例8. 设设在在( )f x0,1内可导内可导, 且且(1)0,f 证明至少存在一点证明至少存在一点2( )( )ff 使使(0,1) , 上连续上连续, 在在(0,1)分析分析: 问题转化为证：问题转化为证：( )2 ( )0.ff 证明：证明：设辅助函数设辅助函数2( )( )xx f x 显然显然( )0,1x 在在上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件，故至少故至少(0,1), 使使22( )( )0ff 即有即有( )f 2( )f 存在一点存在一点( )0 2( )2( )0ff 只只需需证证：2( )2( )0 x fxx f x 29

28、例例8.设设110( )0,1,( )(0,1)(1)( )d ,(1)xkf xCf xDfkxef xxk 且且证明：证明：1(0,1),( )(1) ( ).ff 使使( )11( )fxf xx 变变形形为为：设辅助函数设辅助函数( )( ).xF xxef x 只需验证：只需验证：( )0,1F x 在在上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件. .解解微微分分方方程程得得：分析分析:, x 1( )(1) ( ).fxf xx ( )1d1d ,( )fxxxf xx ln( )lnln,f xxxC 01研研数数三三分分离离常常数数：( ),xxef xC ( )( ).xF x

29、xef x ( )( )( )( ),xxxF xef xxef xxefx ( )0, ( )( )( )0Fefff 即即1( )(1) ( ).ff 30例例8.设设110( )0,1,( )(0,1)(1)( )d ,(1)xkf xCf xDfkxef xxk 且且证明：证明：1(0,1),( )(1) ( ).ff 使使01研研数数三三( )( )xF xxef x 证证明明：设设，11110(1)1(1)( )dxkFefe kxef xx 由由已已知知：111( )(0)e k efk ( ),ef 1(0)k ( )( )Fef 又又( ) ,1F x 在在上上满满足足罗罗尔

30、尔定定理理的的条条件件，( ,1)( )0.F 所所以以: :使使( ) ( )( )( ),xF xef xxf xxfx ( )0, ( )( )( )0Fefff 即即1( )(1) ( ).ff ( )(1),FF 01 31 d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP例例9.设设( ) , ,( )( , )( )( ),f xC a bf xD a bf af b 且且证明：证明：( , ),( )( ).a bff 使使设辅助函数：设辅助函数：只需验证：只需验证：( ) , F xa b在在上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件. .解解这这个个一一阶阶线线性性微微分分方方程

31、程得得：分析分析:, x ( )( ),fxf x ( )(),xxf xeeC 分分离离常常数数： ( ),xef xC ( ) ( )xF xef x ( ) ( )( ),xxF xef xe fx ( )0, ( )( )0efe fF 即即( )( ).ff 32题型五题型五.( ,( ),( ),( ),( ),( )0.Gffff af b 证证明明：使使证证明明思思路路：,1,a b 将将结结论论中中 与与分分离离在在等等式式两两边边 根根据据两两边边结结构构法法 ：用用观观察察法法().拉拉格格朗朗日日定定理理或或做做辅辅助助函函柯柯西西定定理理 不不易易观观察察数数用用2k

32、常常数数 值值法法法法 ：, ,其其步步骤骤为为：1),a b 将将结结论论中中 与与的的分分离离在在等等式式两两边边k 令令常常数数部部分分；2),akb 对对等等式式做做恒恒等等变变形形并并把把分分离离在在等等常常数数部部分分, ,式式两两端端；3)分分析析关关于于端端点点的的表表达达式式是是否否为为对对称称式式或或轮轮换换对对称称式式，()abx若若是是, ,只只要要把把或或改改为为 , ,则则替替换换后后的的一一端端的的表表达达式式就就是是所所求求的的辅辅助助函函数数, ,然然后后用用罗罗尔尔定定理理即即可可. .33例例10.设设( ) , ,( )( , ),:( , ),f xC

33、 a bf xD a ba b 证证明明( )( )( )( ).bf baf affba 使使1解解法法 ：( )( ) , F xxf xa b 经经观观察察知知：令令在在上上用用拉拉格格朗朗日日定定理理. .2k常常数数解解法法 ：值值法法. .分析分析:( )( )bf baf akba 令令( )( ),bf bkbaf aka 解解题题过过程程为为：( )( )( )=.)bf baf akF xxf xxbak 令令，其其中中( )( )F bF a ( )( )bf bkbaf aka 0 ( ) , F xa b在在上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件, ,( , ),(

34、 )0,a bF 使使( )( )( )F xf xxfxk ( , ),( )( ),a bffk 使使所所以以结结论论成成立立. .34题型六题型六.,( ,)0.G 证证明明：使使双双介介值值问问题题证证明明思思路路：1), 将将结结论论中中 , , 的的分分离离在在等等式式两两边边2),根根据据两两边边结结构构做做辅辅助助函函数数.拉拉格格朗朗日日定定理理或或柯柯需需用用两两次次西西定定理理要要例例11.( ) , (),0,f xa ba bab 设设在在上上连连续续， 在在， 内内可可导导 且且试证存在试证存在,( , ),( )( ).2aba bff 使使证证: 欲证欲证( )

35、( ),2ffab ( )( )( )(),( , )f bf afbaa b 则则2( ) , ,f xxa b又又因因及及在在上上满满足足柯柯西西定定理理条条件件22( )( )( ),( , )2f bf afa bba 将将代入代入 , 化简得化简得故有故有( )( ),2abff ,( , )a b 即要证即要证22( )()( ).2fbafba ( ) , f xa b因因在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的条条件件, ,35函数函数( )0,1,(0,1)f x 在在上上连连续续 在在内可导内可导, 且且证证: (1) 令令( )0,1g x则则在在上上连连续续

36、， 且且( )( )1,g xf xx (0)10,(1)10gg (0)0,(1)1,ff证证明明(1)(0,1),( )1f 存存在在使使得得(0,1) 故故( )( )1 0gf ，使使 即即( )1f (2005 考研数考研数1,2)01 (2),(0,1),( )( )1ff 存存在在两两个个不不同同的的点点使使得得(2) 根据拉格朗日中值定理根据拉格朗日中值定理, (0, )(0,1), ( )(0)( )0fff 1 ，使使(1)( )( )1fff 1 1( )( )11ff ( ,1)(0,1), 练习练习.36练习：练习：( ) , (),( )( )1,f xa ba b

37、f af b 设设在在上上连连续续， 在在， 内内可可导导 且且,( , ) , ( )( )1.a beff 证证明明：使使分析：分析：, 分分离离得得： ( )( ).effe ( ).xxef x .xxe 解：解：( )( )xF xef x 令令，( ) , ,F xa b在在上上用用拉拉格格朗朗日日定定理理( , ),( )( )( )()a bF bF aFba 使使，( )( ) ( )( )bae f bef aeffba 即即( )xG xe 令令，( ) , ,G xa b在在上上用用拉拉格格朗朗日日定定理理( , ),( )( )( )()a bG bG aGba 使使

38、，baeeeba 即即， ( )( )baeeeffba ,( , ) , ( )( )1.a beff 所所以以，使使37Cauchy中值定理中值定理 应用举例应用举例使使得得证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在若若),(:,),(,)(bababaxf )()()()( feeeafbfeabba 证明：证明：, 0)(,)( xgexgx则则令令babaabeeeafbfeeafbfefba )()()()()(),( 使使得得所以所以)()()()( feeeafbfeabba 中中值值定定理理的的条条件件满满足足cauchyxgxf)(),(38备用备用. 假假设设( )f x可

39、导可导, 试证在其两个零点间一定有试证在其两个零点间一定有( )( )f xfx 的零点的零点. 提示提示: 设设1212()()0,f xf xxx欲证欲证:12(,),xx 使使( )( )0ff 只要证只要证( )( )0ff e e 亦即亦即( )0 xxe f x 作辅助函数作辅助函数( )( ),xF xe f x 验证验证( )F x在在12,xx上满足上满足罗尔定理条件罗尔定理条件.39总之，总之， 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法: :利用逆向思维利用逆向思维 , 设辅助函数设辅助函数 . 一般一般解题方法解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等

40、式或根的存在 ,(2) 假设结论中涉及含中值的两个不同函数假设结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 假设结论中含两个或两个以上的中假设结论中含两个或两个以上的中值值 ,可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数 .多用多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用可考虑用柯柯西中值定理西中值定理 .必须屡次应用必须屡次应用中值定理中值定理 .(4) 假设条件中含高阶导数假设条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式多考虑用泰勒公式 ,有时也可考虑有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 .405、泰勒公式用于无穷小的阶的估计、泰勒公式用于无穷小的阶的估计 .,50sin)()()1(62baxxxbeaxxfx阶阶无无穷穷小小，求求的的时时为为当当，若若例例 )(!51!31)(2)(653442xoxxxxoxbbxbaxxf 解解：)(1203965)1(553xoxbaxbaxba ,61,65 ba例例141)()2(xf0)0( f)0()2()(fhbfhaf 0h 在的某邻域有一阶连续导数，且在在的某邻域有一阶连续导数，且在 x=0 处处若若在在时是时是h的高阶无穷小，试确定的高阶无穷小，试确定 a,b 的值的值)()0()0()0()2()(hohffafhbfhaf 解解：)0()(2)0()0(fhohffb )()0()2()0()1(hohfbafba ,