《经济数学基础》学案导学

1、经济数学基础学案导学第二编 一元函数积分学一、学习目标：1、理解原函数、不定积分概念，了解定积分概念，会求变上限定积分。2、熟练掌握积分基本公式和直接积分法，掌握第一换元积分法和分部积分法。3、掌握用不定积分和定积分求总成本、总收入和利润或其增量的方法；会求平面图形的面积。4、了解微分方程的有关概念，掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法。二、主要学习内容：主要概念：原函数 不定积分 定积分 无穷限积分 微分方程 方程的阶 解 齐次、非齐次方程主要公式：基本积分公式主要定理：定理4.1（不定积分的第一换元积分法）定理4.2（不定积分的分部积分法）定理4.3（定积分的换元积分法）主要性

2、质：不定积分性质线性性质、与导数（微分的关系）定积分性质（积分区间的可加性、线性性质）主要方法：求函数不定积分的方法求函数定积分的方法判断无穷积分的敛散性求解一阶可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的方法求解积分在经济分析中应用问题的方法用定积分求简单平面曲线围成的图形的面积的方法三、学习重点：积分概念与计算。四、学习难点：积分的计算与应用。五、典型例题分析：（一）、积分计算    熟记积分基本公式和下列积分计算方法l         直接积分法l   

3、      第一换元积分法l         分部积分法     注意积分运算中的技巧和常见手法，由公式将定积分与不定积分的计算相联系。例1 计算下列积分（1）      （2）（3）          （4）解 （1）直接积分法。先利用幂函数的运算性质化简，再利用积分基本性质和积分基本公式求积分。

4、   （2）第一换元积分法。   =（3）第一换元积分法。第一换元积分是积分计算的重点，也是难点。换元的目的是使容易求出原函数，并在计算中，记住常用的凑微分形式，多做练习掌握方法。（4）分部积分法。令则                          （二）、求解微分方程形如为可分离变量的微分方程，求解方法是初等积分

5、法。形如为一阶线性微分方程，通解公式为              例7   （1）求微分方程的通解（2）求微分方程满足的特解解 （1）此方程为可分离变量的微分方程，求解时先将变量分离，再积分求解。经计算得（2），   由已知条件，于是方程的特解为。(三)、求解经济应用题熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。例8 生产某产品的边际成本为 (万元/百台)，边际收入为（万元/百台），其中x为产量，

6、若固定成本为10万元，问（1） 产量为多少时，利润最大？（2） 从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解 （1）边际利润 令 ，得 （百台）又是的唯一驻点，根据问题的实际意义可知存在最大值，故是的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大。（2）利润的变化 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。 六、自我检测： （一）、单项选择题 1已知，则（ ） A B C D 2=（ ） A B C D 3若存在且连续，则（ ） A B C D 4. （ ） A B C D 5若，则=（ ） A B C D 6下列积分值为0的是（ ） A B C D 7若为定义在-a，a上的连

7、续奇函数，且时，则由，及x轴所围图形面积S =（ ）为不正确A. B. C. D. 8=（） A B Ce D. 9.微分方程的阶是（ ）. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10下列各微分方程中为一阶线性方程的是（） A B C D. （二）、填空题 11若则 12= 13 14= 15微分方程的通解为 （三）、解答题161718. 计算积分19已知，且，求的值20求微分方程的通解21求微分方程满足 的特解（四）、应用题 22生产某产品的边际成本为(万元/百台)，边际收入为（万元/百台），其中x为产量，问： (1) 产量为多少时，利润最大？(2) 从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？（五）、证明题 23试证： 七、自我检测答案:（一）、单项选择题1B 2. C 3. D 4. B 5. B 6C 7. A 8. A 9. C 10. D（二）、填空题11. 12 13. 14. 15（三）、解答题16解 = = 17解 = =18 解 19解 因为 于是 ，即 所以 20 解 在微分方程中，由通解公式= 21解 分离变量，两边求积分，得 通解为： 由，得 所以，满足初始条件的解为： （四）、应用题 22. 解 （1） 令 得 （百台）又是