2017年上海春考数学试卷

1、2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1 .设集合 A = 1,2,3,集合 B =松4,则 AU B =.2 .不等式x-1 <3的解集为。3 .若复数z满足2Z1 =3+6i （ i是虚数单位），则z=。4 .若 cosa =1 贝 1）$耐0（-±=。3'25 .若关于x、y的方程组,x+2y=4无解，则实数a =。§x + ay = 66 .若等差数列aj的前5项的和为25,则a#a5=。7 .若P、Q是圆x2十y2-2x+

2、4y+4 = 0上的动点，则PQ的最大值为。8 .已知数列Q 的通项公式a。=3n,则lim a1 fa3 +an =° -ann9 .若x + 2 ）的二项展开式的各项系数之和为 729,则该展开式中常数I x）项的值为。210 .设椭圆上+y2 =1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在该椭圆上，2则使得此尸2P是等腰三角形的点P的个数是。11 .设ai,a2,，a6为1,2,3,4,5,6的一个排列,则满足a -a2 + a3 -a4| +岛-a6 =3的不同排列的个数为。12 .设a, bwR,函数f(x) =x+a+b在区间(1,2)上有两个不同的零点, x则f (1)的取值

3、范围为。二、选择题13 .函数f(x)=(x12的单调递增区间是()。(A) 0,二(B) 1,二(C) 一二,0(D) 一二114 .设awR, “ a>0” 是 7 A0” 的()。a(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件15 .过正方体中心(即到正方体的八个顶点距离相等的点)的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是()。(A)三角形(B)长方形(C)对角线不相等的菱形(D)六边形16 .如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2 .若P为该正八边形上的动点，则AA3 AP的取值范围为()(A) 0,8 6,2 1(B)

4、1-2、2,8 6、21(C) 1-8 -6 2,2 21(D) 1-8-6 2,8 6.21三、解答题17 .如图，长方体ABCD - A1B1C1D1中，ABAB =BC =2, AA =3.(1)求四棱锥A-ABCD的体积；(2)求异面直线AC与DDi所成角的大小.18 .设 aw R ,函数 f (x)=2a.2x 1(1)求a的值，使得f(x)为奇函数；(2)若f(xka12对任意xwr成立，求a的取值范围.219 .某景区欲建造两条圆形观景步道 MM2 (宽度忽略不计)，如图 所示，已知 AB_LAC, AB=AC=AD=60 (单位：米)，要求圆M1与AB、 AD分别相切于点B、

5、D,圆M2与AC、AD分别相切于点C、D.(1)若/BAD =60二，圆M1和圆M2的半径(结果精确到0.1米)；(2)若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元。如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？(结 果精确到0.1千元)。220 .已知双曲线： x2-4=1 (b>0),直线 l: y = kx + m (km#0), bl与交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点 N 0,n .(1)若点(2,0)是r的一个焦点，求r的渐近线方程；(2)若b=1,点P的坐标为(-1,0 ),且市=日而，求k的值；

6、(3)若m = 2,求n关于b的表达式。21 .已知函数 f(x)=log21x1 -x(1)解方程 f(x)=1 ;（2）设 xw（1,1 ）, aw0,十 s）,证明：ax二1w"1,1）且a - xf ax）=_f 匚：；<a -x J ''la J（3）设数列中，X11-1,1）, Xn书文一寸中3, nWN*,求的取值 3 -Xn范围，使得x3 之xn对任意nW N*成立.2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1 .设集合

7、A = 1,2,3,集合 B =乜4,则 AU B =.【知识点】集合的运算【解】AUB = 1,2,3W电4 = 1,2,3,4,故 AU B = 1,2,3,4.2 .不等式x-1| <3的解集为。【知识点】绝对值不等式的解法【解】x-1|<3u -3<x-1 <3 -2<x<4,故原不等式的解集为（-2,4）。3 .若复数z满足2Z-1 =3+6i （ i是虚数单位），则z=。【知识点】复数的基本概念、运算【解】2Z=4+6i, Z = 2+3i ,故 z = 2 3i。4 .若 cosa =1贝!J sin 1 a -二二。3'2【知识点】诱

8、导公式【解】=cosct =-,故 sin Q3'5.若关于x、y的方程组i；二:：6无解，则实数a =。【知识点】线性方程组解的判定【解】方程组,x 2,无解 u 直线 11 : x +2y = 4 与直线 l2 ： 3x + ay = 6、3x+ay=6互相平行，所以3=l，6,解得a=6。6 .若等差数列Q的前5项的和为25,则a-a5 =【知识点】等差数列的前n项和，等差中项【解】由 S5 = 5a3 = 25 得 a3 = 5 ,所以 a1 +a5 =2a3 =10 ,故 a1 +a5 =10.7 .若P、Q是圆x2+y2 -2x+4y+4 = 0上的动点，则|PQ的最大值为

9、。【知识点】圆的一般方程，圆的性质【解】由 x2 +y2 -2x+4y +4=0得(x-1 2 +(y +2 f = 1，所以半径 r =1 ,故 PQ的最大值为2.8.已知数列Q的通项公式an =3n,则ima1 "a3 +an=。an【知识点】等比数列的前n项和，数列极限【解】由an =30得首项al =3 ,公比q =3#1 ,所以小an=),-3n -1故nmyt1叱2丁1陛旧1-/ 三227一 一一一 ，一一一一、一 ,，、一一， 一，9.若x+2 i的二项展开式的各项系数之和为 729,则该展开式中常数< x,"项的值为。【知识点】二项式定理 一“ -J

10、2 M- 【解】令x=1 ,则x +- =3 =729 ,解得n = 6 ；I x)所以,x+2展开式的通项Td=C；x6=C62r x6'< x J'x)令r=3,则T4 =C323 = 160，故所求的常数项为160.210.设椭圆七十y2 =1的左、右焦点分别为Fi、F2,点P在该椭圆上，2则使得什干2P是等腰三角形的点P的个数是。【知识点】椭圆的标准方程及其性质，分类讨论思想2【解】由 + y2 =1 得 a2=2,b2 =1 ,所以c = a2-b2 =1,故 F1F2 =2c = 2且F1 -1,。下2 1,0 .(1)若点P位于椭圆的短轴的端点处，奸尸2P是

11、等腰三角形，此时点P有两个； 若点 P在椭圆上，则 |PF2max=V2+1； |PF2|minr5-1.,所以我-1<由2|<衣+1,故以怛同,讦2为两腰、|PF2为底边构成等腰三角形，此时点p有两个；同理以|pf2 , F1F2为两腰、|pf1为 底边构成等腰三角形，此时点P有两个；综上(1) (2)满足条件的点P的个数为6个。11 .设a1,a2,，a6为1,2,3,4,5,6的一个排列，则满足a -a2 + a3 a4 +a5 -a6 =3的不同排列的个数为。【知识点】排列、组合【解】根据题意可知，若i =123,4,5,6; j =1,2,3,4,5,6,且i#j,贝Ua

12、 a/w ”2,345即aaj|的最小值为1,当 a1 a2 + a3 - a4 + a5 - a6 3 日寸，只有 a1 a? = a3 -a41 = a5-a61 =1 ,所以在(1,2 白(2,1)中选出一个，在(3,4)与(4,3 )中选出一个，在(5,6)与(6,5 )中选出一个，然后将选出的三个元素全排列，故不同排列的总数为c2 c2 c2 P3 = 48.12 .设a, bwR,函数f(x) =x+a+b在区间(1,2)上有两个不同的零点， x则f(1 )的取值范围为。【知识点】函数性质的综合，不等式的基本性质【解】方法1令函数f(x)=x+a + b在区间(1,2 )上有两个不

13、同的零点分 x别为X、x2,且 x1/x2,所以 1<x1c2、1<x2<2,故 0<%-1父1、0<x2-1<1 (*)令 f(x)=0,贝 Ux+a+b = 0,即 x2 + bx+a = 0 (x#0) (* )x故 x1、x2是(* )的解，所以 x2+bx + a = (x-x1)(x-x2 )= 0 于是 f (1) = (1 一 x1)(1 - x2)= (x -1)(x2 -1)由(*)可知 0<(x11)(x21) <1 ,即 0<f(1)<1。方法 2f 1 =a b 1由于函数f (x) =x+a + b在区间(

14、1,2 )上有两个不同的零点，则必 x有 a >0。且1<、；£<2,即1<a<4,此Mx+a227a (当且仅当x = Q时，等号成 x立)令 x + a+b=0,即 x+a=bxx记g(x)=x+9, y = 4,则函数g(x)=x+9在区间(1,2 )上与函数 xxy = 4的图像有两个不同的交点。由于 g(1) =1+a, g(2)=2 + a ,再令 1 + 22=_1=0得2 = 2(1)若 1<a<2,贝！11+2<2+：,贝！J 23 <b <1 + a1 <a <2可行域为也<-2石，其端

15、点分别为03)、(2,成龙卜(1,-2.所以b > -a -1当 a=2,b = 3或 a=1,b = 2 时，a + b + 1 = 0 ;当 a=2,b = 2,Q 时,a+b+1=3242。止匕时 0 < f <32、万；(2)若 a=2,贝 U1+a=2 + a=3,贝 U 2a/2 < b < 3 ,即一3<b<26,所以 0<1+a+bc3-2”，此时 0< f(1)<3-2v,2 ;(3)若 2<a<4,则 1+2：>2+1,则 2.<七<:2+:,r1 < a < 2可行域为也

16、<-2d其端点分别为(2,3卜(4T)、(2,272)b > 2 L 2当 a=2,b = _3 时，a+b+1=0；当 a=4,b = _4 时，a + b+1=1；当a =2,b = -2x2 时，a +b +1 =3-2<2 .止匕时，0 < f (1) <1 ;综上(1) (3)可得,0<f(1)<1,即f(1)的取值范围是(0,1).方法 3令 f(x)=x+a+b=0,贝Ux2+bx+a = 0 x故“函数f(x)=x+b在区间(1,2)上有两个不同的零点”等价于 x“关于x的方程x2+bx+a=0在区间(1,2)上有两个不同的根。”记g(

17、x) = x2 +bx+a ,对称轴为x = -b，则其图像在区间(1,2)上与x2 A0一1-，2 轴有两个不同的交点，需满足条件：1<一2<2 =g>01g(2)A0b2 4a > 0-4< b< -21 b a 04 2b a 0二可行域端点为(-3,2 卜(2,1)、(一4,4),故当 b = 3,a=2 或 b = 2,a = 1 时，f(1) =a +b +1 =0 ;当 b = 4,a = 4 时，f (1) = a +b +1 ,所以 0 < f (1) < 1 ,即 f (1)的取值范围是0,1 .方法4要使得函数f(x)=x+

18、b在区间(1,2)上有两个不同的零点，必 x有a>0, b<0,否则不成立。还需满足如下条件：1 < Va < 2 f(1)>0 =f Wa )< 0/(2)>01 < a < 41+a +b >02<a +b<0_ a _2 + +b >02,以下解法同上。二、选择题13.函数f(x)=(x-12的单调递增区间是()。(A) 0,二(B) 1,二(C) -二,0(D) -二1【知识点】函数的单调性【解】函数f(x)=(x-1f图像的对称轴为直线x = 1,且该抛物线的开口 向上，所以该函数的单调递增区间为1,也)，

19、故正确选项为B.14 .设 a / , “ a>0” 是“a0” 的()。a(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件【知识点】分式不等式的解法，充要条件【解】1>0u a>0,所以a>0是1 A0成立的充要条件.故正确选项为 aaC.15 .过正方体中心(即到正方体的八个顶点距离相等的点)的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是()。(A)三角形(B)长方形(C)对角线不相等的菱形(D)六边形【知识点】平面的性质、截面【解】不可能是三角形，故正确选项为A16 .如图所示，正八边形AiA2A3A4A5A6A7A8的边长为2 .若P

20、为该正八边形上的动点，则AA3 AP的取值范围为()/、(A) 0,8+6721(B) L2<'2,8+6<2 (C)匚8 _6衣,2721(D) 8-6<2,8+6721【知识点】平面向量的数量积. 一'【解】AA3=AA2+AA3,当点p在A8处，AA3 ,AP取最小值，此时AP = AA8 AA3 AP=(AA2 +AA3)，AA8 = 2 父2M (cos135二+cos90')=-2<2 ;当点p在A4处，AX'AP取最大值，AP=AA2+A2A3+京= 8422 2 = 8 6 2. 2所以AA3 ,AP的取值范围是L2J5,

21、8+66,故正确答案为B三、解答题17 .如图，长方体ABCD ABCQi中，AB =BC =2, AA1 = 3.(1)求四棱锥A1 -ABCD的体积；(2)求异面直线A1c与DDi所成角的大小.【知识点】椎体的体积，异面直线所成的角【解】(1)四棱锥A-ABCD的底面为正方形ABCD,其面积S =4；由于AA_L底面ABCD,所以A1A是四棱锥A1 - ABCD的高，故 h = 3 ,于是 VA _ABCD = Sh4M 3 = 4 .133(2)由于A1A/D1D ,所以/AAQ或其补角即为异面直线AC与DD1所成 角。在三角形 AA1c 中，A1A=3,AC=2V2, AC = $2

22、+22 +32 =417由余弦定理可得，cos/AAC = 9+17；8=%”>0,所以2 31717cosjAA1c =3 1717f即NAA1c =arccos3卫，故异面直线AC与DD1所成角的大小为 173 17arccos.17、“ox18.设 aw R ,函数 f (x)= Ja2x 1(1)求a的值，使得f(x)为奇函数；(2)若f (x )亘22对任意xw R成立，求a的取值范围.【知识点】函数的奇偶性，指数函数的性质，分类讨论思想.x【解】（1）函数f（x）=K的定义域为R21由于f（x）为奇函数，所以对于任意实数X,均有f（_x） = _f（x）成立_xxxx即j2a

23、=一 手对于任意实数x都成立，所以上a!_=一二21211 21 2于是 1 +a 2x = 2x a ,即（1 +a R +2x b0 ,所以 a = 1.x（2） f（x）<a2 2r且<,，由于 2x+1>0,故 a2xAa22212若a=0,则0>-2,不等式恒成立；若a>0,则2x,因为y = 2x>0,所以史必30,解得0<aW2;aa若a<0,则2x<",此时不等式不是恒成立。 a综上所述，实数a的取值范围是b,2】。19 .某景区欲建造两条圆形观景步道 MM2 （宽度忽略不计），如图所示，已知 AB_LAC, AB

24、=AC=AD=60 （单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D,圆M2与AC、AD分别相切于点C、D.（1）若NBAD=60,，求圆M1和圆M2的半径（结果精确到0.1米）；（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元。如何设计圆MM2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结 果精确到0.1千元）【解】（1）已知NBAD=60：得圆M1的半径为晨 34.6 （米）。AB【知识点】三角比，建立函数关系式，基本不等式1AB tan . BAD =60 tan30 2又/CAD =90'-6030 ；得圆M2的半径为AC，tan.ig/ACD )=60

25、xtan15l6.1 (米)。(2)设圆M1和圆M2的半径分别为1和2, t = tanI/BAD i2由于 0 /BAD <90：得 071/BAD <45口，故 0 ct <12r1 =60 tan/BAD= 60t , r2 =60 4an 145 =-1ZBAD=60黑3 ,1 2，221 t ,因此，观景步道的总造价为=12冗 8(1+t )+ 工一171之 12n(271417 片84n为 263.9 (千元)当且仅当t=1时等号成立 此时半径x =30/2=20 2答：当观景步道M1和M2的半径分别设计为30米和20米时，总造价最低，且最低总造价约为263.9千

26、元。220 .已知双曲线： x2-_y2=1 (b>0),直线 l: y = kx + m (km#0), bl与交于P、Q两点，p'为P关于y轴的对称点，直线p'q与y轴交于点 N 0,n .(1)若点(2,0)是的一个焦点，求的渐近线方程；(2)若b=1,点P的坐标为(-1,0 ),且市=0PQ ,求k的值; 2(3)若m = 2,求n关于b的表达式。【知识点】双曲线的标准方程及其基本性质，直线与双曲线的位置关系【解】（1）根据已知条件，可得c = 2,a=1,所以b2=3,故的方程为2x2.L=1,其渐近线方程为y=±V3x.3(2)当 b=1 时，r的方

27、程为 x2 y2 =1 ,点 P'(1,0)设 Q(s,t),由 NP=3PQ 得,(1,n)=±(s 1,t),解得 s = 223又由点q在r上，解得t = ±J 故直线i的斜率k=上± =±.3s-(-1)2(3)当 m = 2 时，直线 l 的方程为 y =kx+2 ,设 P(x1, y1)Q(X1,y) .2 22 _ .2由x y 得，(b2-k2 x2-4kx _(b2+4 )=0 y =kx+2由已知可得，b2 -k2 ,0且 A=16k2 +4(b2 -k2 b2 +4)>0'4 4kx1 + x2 =T21T2所

28、以 b2(*)，又P(f1,y1),b2 4x1 x2 = 一 下 2 b -k故直线P'Q的方程为y -y1 = y2 f (x + x1) x2 X由点N(0,n在直线P'Q上，得x1kx2 2 x2 kxi 22kxix2x1又2xx2+ 2 (* )将（*）代入（*)得,n = -2k + 2,即 n = -4k221 .已知函数人六血虫1 -x（1）解方程 f（x）=1 ;(2)设 xw(-1,1 ), aw(1,+ s),证明：丝/«-1,1)且 a -x, ax T 1 " t 1J1 'i-f(x h-f - I；<a -x Jla Jnw N*,求xi的取值(3)设数列=中，xq.1,1), 4 卅=(一1* 范围，使得