一线三角一线三直角

1、-一线三角三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。例1：如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，EDF=60°CADBEF（1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE。变式：如图，在ABC中，是边上的一个动点，点在边上，且ABCDE(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果，求与的函

2、数解析式，并写出自变量的定义域；(3) 当点是的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由例2：如图，等腰ABC中，AB=AC，D是BC中点，EDF=B，CDEABF求证：BDEDFE变式：已知：如图，在ABC中，点D在边AB上，点E在边BC上又点F在边AC上，且(1) 求证：FCEEBD；(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的长如果不可能请说明理由ABCDEF例3：如图，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使APM=B；ABPCM（1）求证：ABPPCM；（2）设BP=x，CM=

3、y求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域（3）当APM为等腰三角形时， 求PB的长变式：如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。（1）求证BPDCEP（2）是否存在这样的位置，PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。CPEABD-压轴题突破-一线三角例1：在中，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.若点在线段上（如图），且，求线段的长；ABC若，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；1.与等腰三角形底角相等的角

4、的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。2.此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。变式：正方形的边长为（如图），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，写出线段的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.ABCD例2：已知在梯形ABCD中，

5、ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长（不必写出解题过程）CDABP第一问因为是等腰三角形，且满足BPCA,很容易找到一线三角模型，寻找相似，列比例等式，求出AP的长。第二问题目要分类讨论，注意题目里面给的一些提示，直线，射线，线段，这经常是给出要分类讨论的一些信息变式：已知在等腰三角形中，是

6、的中点， 是上的动点（不与、重合），连结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于点.（1）求证：；（2）设.用含的代数式表示；求关于的函数解析式，并写出的定义域.例3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点 （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；当时，求BP的长EDCBA（备用图）EDCBAP（图）1.第（2）小

7、题都是用常规的三等角型相似的方法。2.第二问题目要分类讨论，注意题目里面给的一些提示，直线，射线，线段，这经常是给出要分类讨论的一些信息变式：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=BC=4，AD=2点M为边BC的中点，以M为顶点作EMF=B，射线ME交边AB于点E，射线MF交边CD于点F，连结EF（1）指出图中所有与BEM相似的三角形，并加以证明；（2）设BE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；ABCDMEF-压轴题突破-一线三直角三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上

8、移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。例1、已知：如图，ABBC，AD / BC， AB = 3，AD = 2点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C设线段AP的长为x（1）当AP = AD时，求线段PC的长；（2）设PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当APDDPC时，求线段BC的长ABCDPABCD（备用图）本题重点在于：过点C作CEAD，交AD的延长线于点E(构造一线三角，出现相似三角形，

9、进行求解)变式：如图1，已知，点是射线上的一个动点（点与点不重合），点是线段上的一个动点（点与点、不重合），联结，过点作的垂线，交射线于点，联结设，（1）当时，求关于的函数关系式，并写出它的定义域；（2）在（1）的条件下，取线段的中点，联结，若，求的长；（3）如果动点、在运动时，始终满足条件，那么请探究：的周长是否随着动点、的运动而发生变化？请说明理由 图1 图2例2、如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB=2，AD=4，tanC=，ADC=DAB=90度，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQAP交CD于点Q（图1）（1） 求BC的长与梯形ABCD的面积；（2） 当PQ=DQ时，求BP

10、的长；（图2）（3） 设BP=x，CQ=y,试求出y关于x的函数解析式，并写出定义域。第3问添加了辅助线MN，得到一线三角基本模型，得到解题突破口，出现相似，顺利得到答案。变式：如图，在中，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F（1）求AC和BC的长；（2分）（2）当时，求的长；（5分）（3）联结，当和相似时，求的长（7分）ACFEDBACB（备用图）ACB（备用图）例3、如图，在中，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且.（1）当时，联结,求的余切值；（2）当点在线段上时，设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）联结，若为等腰三角形，求的长.CAB备用图2CAB备用图1DABFECC1.第2问添加辅助线EH，得到三直角型相似，得到结果；2.第3问等腰三角形的分类讨论，要注意严格按照三种情况进行讨论，在解答过程中，要时刻牢记等腰三角形三线合一这一