大跨度桥梁的稳定理论-3

1、( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 肖 汝 诚 (同济大学桥梁工程系)( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 本节以解析法来阐述拱桥的第一类稳定计算。与数值本节以解析法来阐述拱桥的第一类稳定计算。与数值法相比，虽然解析法引入了一些近似假定，应用也受到一法相比，虽然解析法引入了一些近似假定，应用也受到一定的限制，但通过解析法，可以直接将结构的临界荷载用定的限制，但通过解析法，可以直接将结构的临界荷载用结构设计参数来表达， 这对于直观研究设计参数与结构稳结构设计参数来表达， 这对于直观研究设计参数与结构稳定性的关系，优化结构稳定性，估

2、算结构稳定安全系数，定性的关系，优化结构稳定性，估算结构稳定安全系数，验证数值分析结果的正确性等都具有十分重要的意义。验证数值分析结果的正确性等都具有十分重要的意义。 研究拱桥屈曲问题可用静力平衡法研究拱桥屈曲问题可用静力平衡法( (EularEular 方法方法) )、能、能量法量法( (TimoshenkoTimoshenko 方法方法) )、缺陷法和振动法。为方便讨论，、缺陷法和振动法。为方便讨论，常将拱桥的稳定问题分解成面内稳定和侧向稳定两类问常将拱桥的稳定问题分解成面内稳定和侧向稳定两类问题来分别研究。题来分别研究。( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) )

3、 圆圆弧弧拱拱的的屈屈曲曲易易于于获获得得解解析析解解，我我们们可可以以利利用用它它来来分分析析端端支支承承情情况况和和矢矢跨跨比比对对拱拱桥桥临临界界荷荷载载值值的的影影响响。图图 1 12 2. .2 2 均均布布径径向向荷荷载载作作用用下下的的圆圆弧弧拱拱 如如图图 1 12 2. .2 2 所所示示的的圆圆弧弧拱拱，在在均均布布径径向向荷荷载载 q q 作作用用下下，开开始始只只有有沿沿拱拱轴轴方方向向的的弹弹性性压压缩缩变变形形。若若忽忽略略轴轴向向变变形形的的影影响响，拱拱轴轴线线与与压压力力线线完完全全吻吻合合，拱拱处处于于无无弯弯矩矩状状态态。( (同济大学博士、硕士研究生课程

4、同济大学博士、硕士研究生课程) ) 当荷载达到临界值时，拱发生微小的弯曲变形当荷载达到临界值时，拱发生微小的弯曲变形 v v，且在截，且在截面上存在弯矩面上存在弯矩 M M，在这一变形状态下可以导出它的屈曲微分方，在这一变形状态下可以导出它的屈曲微分方程为：程为： xEIMRvdsvd222 (12 (129 9) )或：或： xEIMRvdvd222 (1210)( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 下下面面以以双双铰铰拱拱为为例例，讨讨论论受受均均布布径径向向荷荷载载的的等等截截面面圆圆弧弧拱拱的的屈屈曲曲临临界界力力的的计计算算。 双双铰铰圆圆弧弧拱拱在在

5、径径向向荷荷载载 q q 作作用用下下( (图图 1 12 2. .3 3) )，其其拱拱截截面面弯弯矩矩图图 1 12 2. .3 3 受受均均布布径径向向荷荷载载的的等等截截面面双双铰铰圆圆弧弧拱拱 MNvqRv ( (1 12 21 11 1) ) 代代入入式式( (1 12 29 9) )，即即得得 d vdk v2220 ( (1 12 21 12 2) ) ( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 边界条件边界条件: : 00,v 得得 c20 20,v 得得 ck120sinc c1 1不能为零，则必须有不能为零，则必须有 sin20k (12 (12

6、1515) ) 由此得到由此得到 21 2 3knn,(, , ,.) 由于拱的两端不能移动，圆弧拱轴也假定不发生伸缩。因此由于拱的两端不能移动，圆弧拱轴也假定不发生伸缩。因此n=1n=1 相应的失稳模态是没有意义的。要求最小特征值时相应的失稳模态是没有意义的。要求最小特征值时 n=2n=2，拱，拱的屈曲模态为的屈曲模态为: : sin)(1cv (12 (121616) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 临界荷载值为：临界荷载值为： qEIRKEIRcrXx322131() (12 (121717) ) 式中式中 K1221 (12(121818) )

7、K K1 1称为拱的临界荷载系数称为拱的临界荷载系数( (或稳定系数或稳定系数) )，与夹角有关。，与夹角有关。 式式(12(121717) )也可写成中心受压直杆的欧拉公式的标准形式也可写成中心受压直杆的欧拉公式的标准形式 20 x22222X2crcrsEI)1 (REIRqN (12(121919) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 平面拱轴侧倾后是一条空间曲线，其位移与几何关系用曲线坐标来描述。平面拱轴侧倾后是一条空间曲线，其位移与几何关系用曲线坐标来描述。 图图 12 12.4.4 侧倾变形后的拱侧倾变形后的拱 拱侧倾变形后拱侧倾变形后( (图图

8、 12.412.4) )，任意截面，任意截面 s s 在垂直于拱平面在垂直于拱平面 x x 轴，指向拱轴法向的轴，指向拱轴法向的y y 轴和同拱轴切线重合的轴和同拱轴切线重合的 z z 轴三个方向分别发生了线位移轴三个方向分别发生了线位移 u u、v v、w,w,并绕这三个轴并绕这三个轴发生了转角位移、。截面主轴发生了转角位移、。截面主轴 x x、y y、z z 也随着拱的侧倾产生了变位。研也随着拱的侧倾产生了变位。研究相距究相距 dsds 截面的变形，可得拱绕截面的变形，可得拱绕 y y、z z 轴转动的曲率关系：轴转动的曲率关系：( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课

9、程) ) ( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 结构势能为：结构势能为： DTBVVV (12 (122 25)5) 设失稳模态为：设失稳模态为： )2cos1 ()2cos1 (LSBLSAuaa (12 (122 26 6) )将式将式(12(122121) ) (12(122424) )、(12(122626) )代入式代入式(12(122525) )，由，由 AB00 (12 (122727) ) 易得：易得：qEIRcry322222244() (12 (122828) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 其中：其中

10、：EIGJy 为弯、扭刚度比例系数。为弯、扭刚度比例系数。 当式当式(12(122828) )确定的确定的 q qcrcr比相应面内失稳临界荷载比相应面内失稳临界荷载为小时，圆拱先出现侧倾失稳。为小时，圆拱先出现侧倾失稳。 对于宽跨比较小的拱桥， 侧向刚度相对较小和单承对于宽跨比较小的拱桥， 侧向刚度相对较小和单承重面拱桥， 都有可能发生侧倾弯扭失稳， 在设计时必须重面拱桥， 都有可能发生侧倾弯扭失稳， 在设计时必须对这类结构进行侧稳验算。对这类结构进行侧稳验算。( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 1 1) )拱拱桥桥的的稳稳定定问问题题 前前面面讨讨论论的的

11、是是拱拱圈圈的的稳稳定定问问题题，实实际际拱拱桥桥都都带带有有拱拱上上建建筑筑，拱拱圈圈轴轴线线形形状状各各异异，都都受受有有竖竖向向荷荷载载，研研究究拱拱桥桥的的稳稳定定问问题题可可以以抓抓住住以以下下三三点点： a a) ) 确确定定拱拱轴轴线线时时，都都力力求求拱拱肋肋受受力力以以轴轴向向受受压压为为主主，因因此此，可可以以将将各各类类拱拱肋肋的的稳稳定定问问题题通通过过一一定定的的等等代代关关系系转转换换成成圆圆拱拱的的稳稳定定问问题题来来研研究究。 b b) ) 拱拱上上建建筑筑多多以以连连续续梁梁为为主主，梁梁的的刚刚度度增增加加了了拱拱的的稳稳定定性性，用用能能量量法法计计算算这

12、这类类结结构构的的稳稳定定性性比比较较方方便便。 c c) ) 用用解解析析法法计计算算拱拱桥桥稳稳定定问问题题比比较较复复杂杂，一一般般都都采采用用数数值值计计算算，可可以以从从大大量量数数值值计计算算结结果果的的规规律律中中总总结结出出常常用用拱拱桥桥的的稳稳定定计计算算近近似似公公式式。( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 比比如如拱拱桥桥的的立立柱柱刚刚度度远远比比拱拱圈圈和和梁梁的的刚刚度度小小，为为简简化化计计算算，可可以以假假定定各各立立柱柱上上下下端端均均系系铰铰结结。通通过过数数值值计计算算，可可把把这这种种简简化化结结构构的的临临界界荷荷载载

13、近近似似地地写写成成： ab23acrIIlflf7 . 095. 01KKlEIKq ( (1 12 22 29 9) )式式中中： K K为为只只有有拱拱肋肋时时的的临临界界荷荷载载系系数数； I Ib b加加劲劲梁梁的的抗抗弯弯刚刚度度； I Ia a拱拱平平面面抗抗弯弯刚刚度度。( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 2 2) )非保向力效应非保向力效应 研究拱桥的稳定问题，立柱、吊杆等传力构件的工作状态对稳定的影响不研究拱桥的稳定问题，立柱、吊杆等传力构件的工作状态对稳定的影响不容忽略。考察图容忽略。考察图 1 12 2.5.5 情况，图情况，图 12.

14、512.5a)a)是上承式拱桥的面内失稳，由于桥面抗弯是上承式拱桥的面内失稳，由于桥面抗弯刚度较小，当拱发生失稳时，立柱受到梁施加的水平约束而变成倾斜，有加速刚度较小，当拱发生失稳时，立柱受到梁施加的水平约束而变成倾斜，有加速拱肋失稳的趋势。上承式拱桥侧倾失稳时，立柱受到梁施加的侧向约束而变成拱肋失稳的趋势。上承式拱桥侧倾失稳时，立柱受到梁施加的侧向约束而变成倾斜，产生的水平分力有加速其侧倾的趋势。图倾斜，产生的水平分力有加速其侧倾的趋势。图 1 12 2.5.5b)b)是系杆拱侧倾失稳时，是系杆拱侧倾失稳时，吊杆受到梁施加的水平约束而变成倾斜，产生的水平分力有减缓其发生失稳的吊杆受到梁施加的

15、水平约束而变成倾斜，产生的水平分力有减缓其发生失稳的趋势。趋势。 图图 12.512.5 非保向力系对拱稳定的影响非保向力系对拱稳定的影响( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 以以 上上 情情 况况 ，有有 一一 个个 共共 同同 点点 ，那那 就就 是是 传传 力力 构构 件件随随 着着 结结 构构 的的 失失 稳稳 而而 改改 变变 其其 传传 力力 方方 向向 ，进进 而而 对对 结结 构构的的 稳稳 定定 性性 产产 生生 影影 响响 ，若若 将将 拱拱 肋肋 作作 为为 研研 究究 对对 象象 ，传传力力 构构 件件 的的 作作 用用 就就 成成 了了

16、 外外 力力 系系 ，它它 们们 跟跟 随随 结结 构构 变变 形形而而 改改 变变 其其 方方 向向 ，这这 种种 力力 系系 称称 为为 非非 保保 向向 力力 系系 。非非 保保向向 力力 系系 对对 结结 构构 稳稳 定定 性性 有有 正正 面面 效效 应应 ， 也也 有有 负负 面面 效效应应 。 下下 面面 以以 单单 承承 重重 面面 系系 杆杆 拱拱 为为 例例 来来 讨讨 论论 非非 保保 向向力力 系系 对对 其其 侧侧 向向 稳稳 定定 的的 影影 响响 。图图 1 12 2. .6 6 所所 示示 单单 承承 重重 面面 系系 杆杆 拱拱 ， 作作 用用 了了 均均 布

17、布荷荷 载载 q q， 设设 吊吊 杆杆 的的 布布 置置 满满 足足 膜膜 张张 力力 假假 定定 ， 则则 吊吊 杆杆拉拉 力力 为为 ： T T q qa a ( (1 12 2 3 31 1) )式式 中中 ： a a 吊吊 杆杆 间间 距距 。 ( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 拱拱肋肋侧侧倾倾后后，吊吊杆杆发发生生倾倾斜斜，其其拉拉力力 T T 对对桥桥面面产产生生了了一一个个向向外外的的水水平平分分力力，使使之之发发生生侧侧向向弯弯曲曲变变形形 u ub b( (x x) )，而而对对拱拱肋肋产产生生了了一一个个向向内内的的水水平平分分力力 H

18、 H( (x x) )，这这个个恢恢复复力力就就是是非非保保向向力力效效应应，相相当当于于一一个个侧侧向向水水平平弹弹簧簧支支承承效效应应。由由图图 1 12 2. .6 6 易易得得： abau)x(k)x(yuuT)x(H ( (1 12 23 32 2) ) 式式中中： abauuu)x(yqa)x(k ( (1 12 23 33 3) ) 考考虑虑到到桥桥面面侧侧向向刚刚度度相相对对于于拱拱肋肋要要大大得得多多， 近近似似地地取取 E EI Ib by y= = ， 则则式式( (1 12 23 33 3) )简简化化成成 )()(xyqaxk ( (1 12 23 34 4) )(

19、(同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 当系杆拱发生侧倾时，其总势能除了前面式当系杆拱发生侧倾时，其总势能除了前面式(12(122222) ) (12(122424) )列出的三项列出的三项外，还增加了考虑非保向力效应的虚拟弹簧支承变形能外，还增加了考虑非保向力效应的虚拟弹簧支承变形能 V Vk k： 222)(21LLakdsuaxkV (12 (123535) ) 将式将式(12(123535) )增添到式增添到式(12(122 25)5)中，由能量驻值原理可得系杆拱侧倾临界中，由能量驻值原理可得系杆拱侧倾临界荷载：荷载： crcrcraqCqq11 (12 (1

20、23636) ) 式中：式中： 非保向力效应系数非保向力效应系数, ,crq由式由式(12-28)(12-28)给出。给出。 CVVkD (12 (123 37 7) ) 对圆弧拱，偏安全地取对圆弧拱，偏安全地取 y(x)=fy(x)=f，则，则 C C 的下限为：的下限为： CRf342() (12 (123838) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 根据不同的矢跨比根据不同的矢跨比 f/lf/l，可算得，可算得 c c 和和 值，列于表值，列于表 12121 1。表。表 12121 1 表明说表明说明非保向力效应系数一般在明非保向力效应系数一般在 2 2. .5 5 3.53.5 之间。之间。 不同矢跨比不同矢跨比 f/lf/l 时的时的 c c 和和 值值 表表 121