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文档简介

1、 下边是一些常用的基数为 C 的集合 定理 2 任何区间 (a, b, a, b, (a, b, (0, ¥, 0, ¥ 均具有连续基数 C。 定理 3 设 A1 , A2 , L, An ,L 是一列互不相交的集合，它们的基数都是 C， 则 UA n =1 ¥ n 的基数也是 C。 即：可列 C 并还是 C 证明思路：基数为 C 的集合可用区间代替， 用区间的关系来做这个证明。 定理 4 实数列全体E¥ 的基数是 C。 证明：用伯恩斯坦定理来证明。 (1 (2 E¥ B , B (0,1 定理 5 R ( n = c （n 维欧氏空间） R

2、( n = x x = ( x1 , x2 , x3 , L , xn ) n 维欧氏空间的元素也叫点，由 n 个坐标组成。 推论 设有 C 个集的并集，若每个集合的基数都是 C，则并的基数也是 C。 c×c = c 证明思路：C 个 C 可理解为： 坐标平面由一族平行于 X 轴的直线构成。 定理 6 设 M 是任意的一个集合，它的所有子集所成的新的集合 m ， 则m > M （证明略） 定理 6 说明，不存在基数最大的集合 （至少有一个所有子集所成的集合比它大） 。 *基数为 a 的集合和基数为 c 的集合的关系： 例1 2a = c （其中2 为基数为a 的集合 A 的所有

3、子集所成的集族的基数） a 证明 令 A=N 则 A= A0 U A¥ , A0 I A¥ = f (A 的有限子集和无限子集 只需证明 A¥ = c 基数比较的一个有效方法： 如果存在 A 到 B 中的一一对应，则A £ B , 如果存在 A 到 B 上的对应，则 A ³ B , 例 2 设 A，B 为两个集合，如果 A U B = C , 则 A = C , 或B = C 证明 设 A U B = R ，Q R = C 2 显然 A £ A U B = C , B £ A U B = C * 令 A = x Î R 存在y Î R, 使( x, y Î A ， B* = y Î R 存在x Î R, 使( x, y Î B * 显然 A Ì R, B* Ì R * 如果 A < C且 B < C ，则 A ¹ R 且 B* ¹ R : * 2 取 x Î R A ,h Î R B* ，则 (x ,h Î R = A U B. 另一方面， (x ,h ÎA 且

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