北师大版九年级数学下册第二章-二次函数-压轴题强化训练试题

1、精选优质文档-倾情为你奉上北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题强化训练试题1如图，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OAOB，点C的坐标为（1，0），OA：OC3：1，抛物线yax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D（1）求a、b、c的值；（2）若直线yx+n与x轴交于点E，与y轴交于点F当n1时，求BAFBAD的值；若直线EF上有点H，使AHC90°，求n的取值范围2已知二次函数y2x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，1），其对称轴为直线x1（1）求该二次函数的表达式；（2）点P（0，n）在y轴上，若n1，过点P作x轴的平行线与该二次函数的图象交于E，

2、F两点，当n取某一范围内的任意实数时，|FPEP|的值始终是一个定值d，求此时n的范围及定值d（3）是否存在两个不等实数s，t（st），当sxt时，恰好有116ty116s若存在，求出这样的实数s，t；若不存在，请说明理由3定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），当xm时，Q点坐标为（x，y）；当xm时，Q点坐标为（x，y+2），则称点Q为点P的m分变换点（其中m为常数）例如：（2，3）的0分变换点坐标为（2，1）（1）点（5，7）的1分变换点坐标为；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y图象上，则k；若点（a1，5）的1分变换点在直线yx+2上，则a（2）若点P在二次函数yx

3、22x3的图象上，点Q为点P的3分变换点直接写出点Q所在函数的解析式；求点Q所在函数的图象与直线y5交点坐标；当4xt时，点Q所在函数的函数值5y6，直接写出t的取值范围（3）点A（3，1），B（2，1），若点P在二次函数yx2mx+2的图象上，点Q为点P的m分变换点当点Q所在的函数图象与线段AB有两个公共点时，直接写出m的取值范围4如图，已知二次函数y+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（3，0），对称轴是直线x（1）求该二次函数的表达式；（2）如图1，连接AC，若点P是该抛物线上一点，且PABACO，求点P的坐标；（3）如图2，点P是该抛物线上一点，点Q为

4、射线CB上一点，且P、Q两点均在第四象限内，线段AQ与BP交于点M，当PBQAQB，且ABM与PQM的面积相等时，请问线段PQ的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由5如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴相交于A（1，0）、B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B、C（1）若a1，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C'的面积为40时，求m的值；（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得

5、四边形BCB'C'为菱形？请说明理由6如图，一次函数ykx+b的图象与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点A，与二次函数yax2的图象在第一象限内交于点C（3，3）（1）求此一次函数与二次函数的表达式；（2）若点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，ADOOED，求点D坐标7如图，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数yax22ax+c（a、c是常数，a0）的图象经过点M（1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点（1）当a1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否发生变

6、化？请说明理由；（3）如图，E是x轴上位于点B右侧的点，BC2BE，DE交抛物线于点F若FBFE，求此时的二次函数表达式8如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当PAB面积最大时，求点P的坐标及PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标9二次函数y

7、ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当CEQ的面积为12时，求点P的坐标10如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+4（a0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AMOB于点M，将RtOMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N解答下列问题：（1）抛物线的解析

8、式为，顶点坐标为；（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中RtOMA沿着OB平移后，得到RtDEF若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积11已知抛物线ya（x2）2+c经过点A（2，0）和点C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且DEFDAB，DEEF，直接写出线段BE的长12如图，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（3，0），C（0，3），交x轴于另一点B，其顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上一点

9、，直线CP交x轴于点E，若CAE与OCD相似，求P点坐标；（3）如果点F在y轴上，点M在直线AC上，那么在抛物线上是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由13已知点A（1，0）是抛物线yax2+bx+m（a，b，m为常数，a0，m0）与x轴的一个交点（）当a1，m3时，求该抛物线的顶点坐标；（）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF2当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AEEF时，求点F的坐标；取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？1

10、4若一次函数y3x3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数yax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CDx轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分DBE求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，SBFPmSBAF当m时，求点P的坐标；求m的最大值15如图，抛物线ya（x22mx3m2）（a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，3），顶点为F，CDAB交抛物线于点D（1）当a1时，求点D的坐标（2）若点

11、E是第一象限抛物线上的点，过点E作EMx轴于点M，当OM2CD时，求证：EABADC（3）在（2）的条件下，试探究：在x轴上是否存在点P，使得以PF，AD，AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由16如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax22x+c与直线ykx+b都经过A（0，3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点

12、M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当PAB面积最大时，试求出点P的坐标，并求出PAB面积的最大值17如图，二次函数yax2+x+c的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）（1）求二次函数的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PMx轴于点M交直线BC于点Q，过点C作CNPM于点N连接PC；若PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标18在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2

13、）（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记BDE的面积为S1，ABE的面积为S2，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线lBC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使PQBCAB若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由19已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tanCBD，如图所示（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点过点P作x轴的平行线交线

14、段BC于点E，过点E作EFPE交抛物线于点F，连结FB、FC，求BCF的面积的最大值；连结PB，求PC+PB的最小值20如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线yax2+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点（0，2）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，y轴上有点C（0，），连接PC，设点P到直线l的距离为d，PCt童威在探究dt的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算dt的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想dt是一个定值请你直接写出这个定值，并证明；（3）如图2，点P在第二象限，分别连接PA、PB，并延长交直线l于M、N两点若M、N两点的横坐标分

15、别为m、n，试探究m、n之间的数量关系参考答案1如图，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OAOB，点C的坐标为（1，0），OA：OC3：1，抛物线yax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D（1）求a、b、c的值；（2）若直线yx+n与x轴交于点E，与y轴交于点F当n1时，求BAFBAD的值；若直线EF上有点H，使AHC90°，求n的取值范围【解答】解：（1）点C的坐标为（1，0），OA：OC3：1，A（3，0），OAOB，B（0，3），把A、B、C三点都代入二次函数的解析式得，解得，；（2）n1，yx+nx1，F（0，1）OF1，由（1）知，抛物线的解析式为yx2+2x+3（

16、x1）2+4，D（1，4），A（3，0），B（0，3），OA3，AB3，BD，AD2，BD2+AB2AD2，ABDAOF90°，OAFBAD，OAFBAD，OAOB3，AOB90°，OAB45°，BAFBADOAB+OAFBAD45°；直线EF上有点H，使AHC90°，则以AC为直径的圆G与直线EF有公共点，如图，当直线EF在x下方与G相切时，则EGKEFO，A（3，0），C（1，0），GKAC2，G（1，0），直线yx+n与x轴交于点E，与y轴交于点FE（3n，0），F（0，n），n0，OFn，EFn，解得，n；如图，当直线EF在x下方与G相

17、切时，则EGKEFO，A（3，0），C（1，0），GKAC2，G（1，0），直线yx+n与x轴交于点E，与y轴交于点FE（3n，0），F（0，n），n0，OFn，EFn，解得，n；若直线EF上有点H，使AHC90°，则n的取值范围n2已知二次函数y2x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，1），其对称轴为直线x1（1）求该二次函数的表达式；（2）点P（0，n）在y轴上，若n1，过点P作x轴的平行线与该二次函数的图象交于E，F两点，当n取某一范围内的任意实数时，|FPEP|的值始终是一个定值d，求此时n的范围及定值d（3）是否存在两个不等实数s，t（st），当sxt时，恰好有1

18、16ty116s若存在，求出这样的实数s，t；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意：，解得，y2x2+4x1（2）如图，观察图象可知n1，|FPEP|的值始终是一个定值d，d2（3）由（1）知y2x2+4x1，对称轴为x1，当sxt1时，y随x的增大而增大，当xs时，y取最小值2s2+4s1，xt时，y取最大值2t2+4t1，当sxt时，恰好有116ty116s，2s2+4s1116t，2t2+4t1116s，s+t1，将st1代入2t2+4t1116s中，2t2+4t1116（t1），即t2+t+90，124×1×9350，方程无解，当sxt1，不满足sxt时，恰

19、好有：116ty116s当s1t时，当x1时，y取最大值2+411，当sxt时，恰好有116ty116s，1116s，s1与s1矛盾，当s1t，不满足sxt时，恰好有116ty116s当1sxt时，y随x的增大而减小，当xs时，y取最大值2s2+4s1，xt时，y取最小值2t2+4t1，当sxt时，恰好有116ty116s，解得s2或3，t2或3，st，s2，t3综上所述，满足条件的s，t的值为s2，t33定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），当xm时，Q点坐标为（x，y）；当xm时，Q点坐标为（x，y+2），则称点Q为点P的m分变换点（其中m为常数）例如：（2，3）的0分变

20、换点坐标为（2，1）（1）点（5，7）的1分变换点坐标为（5，7）；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y图象上，则k4；若点（a1，5）的1分变换点在直线yx+2上，则a8或6（2）若点P在二次函数yx22x3的图象上，点Q为点P的3分变换点直接写出点Q所在函数的解析式；求点Q所在函数的图象与直线y5交点坐标；当4xt时，点Q所在函数的函数值5y6，直接写出t的取值范围（3）点A（3，1），B（2，1），若点P在二次函数yx2mx+2的图象上，点Q为点P的m分变换点当点Q所在的函数图象与线段AB有两个公共点时，直接写出m的取值范围【解答】解：（1）51，点（5，7）的1分变换点坐标为（5，7

21、）；11，点（1，6）的1分变换点为（1，4），点（1，6）的1分变换点在反比例函数y图象上，k1×（4）4；当a11，即a2时，点（a1，5）的1分变换点为（1a，5），点（a1，5）的1分变换点在直线yx+2上，51a+2，a8，当a11，即a2时，点（a1，5）的1分变换点为（1a，3），点（a1，5）的1分变换点在直线yx+2上，31a+2，a6，故答案为：（5，7）；4；8或6；（2）设P（x，x22x3），点Q为点P的3分变换点，当x3时，Q（x，x2+2x+3），点Q所在函数的解析式为yx2+2x+3（x3）；当x3时，Q（x，x2+2x+5），点Q所在函数的解析式为y

22、x2+2x+5（x3）；故点Q所在函数的解析式为yx2+2x+3（x3）或yx2+2x+5（x3）；把y5代入yx2+2x+3（x3）得x2+2x+35，解得，x2（舍去），或x4；把y5代入yx2+2x+5（x3）得，x2+2x+55，解得，x1，或x1+（舍），综上，点Q所在函数的图象与直线y5交点坐标为（4，5）或（1，5）；yx2+2x+3（x1）2+4（x3），y的最大值为46，且当x3时，y随x的增大而减小，令y5，得yx2+2x+35（x3），解得，x2（舍），x4，当3t4时，点Q所在函数的函数值5y6；yx2+2x+5（x1）2+6（x3），y的最大值为6，当1x3时，y随x

23、的增大而减小，当x1时，y随x的增大而增大，令y5时，得x2+2x+55，解得，x1+（舍），x1，而x3时，y4+62，当1t3时，点Q所在函数的函数值5y6；综上，当4xt时，点Q所在函数的函数值5y6，其t的取值范围是1t4；（3）设P（x，x2mx+2），当xm时，则Q（x，x2+mx+2），点Q所在的函数的解析式为：yx2+mx+2，顶点坐标为（，+2），点A（3，1），B（2，1），点Q所在的函数图象与线段AB有两个公共点，解得，2m2，或2+m24如图，已知二次函数y+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（3，0），对称轴是直线x（1）求该二次函数

24、的表达式；（2）如图1，连接AC，若点P是该抛物线上一点，且PABACO，求点P的坐标；（3）如图2，点P是该抛物线上一点，点Q为射线CB上一点，且P、Q两点均在第四象限内，线段AQ与BP交于点M，当PBQAQB，且ABM与PQM的面积相等时，请问线段PQ的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【解答】解：（1）由题意可得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2）设P（x，），已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，4），OC4，点A的坐标为（3，0），OA3，AC5，如图，在y轴上取点D，使CDCA，连接AD，CADA

25、DC，DO9，ACOCAD+ADC2ADO，PABACO，ADOPAB，tanADOtanPAB，x13，x25P（3，2）或（5，）；（3）线段PQ的长是定值，PQ7如图2，过点A作AEBC于E，过点P作PFBC于F，点B的坐标为（4，0），点A的坐标为（3，0），AB7，ABM与PQM的面积相等，ABQ与PQB的面积相等，×BQ×AE×BQ×PF，AEPF，又PBQAQB，AEQPFB90°，AEQPFB（AAS），EQBF，BEQF，AEPF，AEBPFQ90°，BEQF，AEBPFQ（SAS），ABPQ75如图，在平面直角坐标

26、系xOy中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴相交于A（1，0）、B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B、C（1）若a1，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C'的面积为40时，求m的值；（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由【解答】解：（1）由题意得：，解得，原抛物线的函数表达式为：yx22x3；（2）连接CC、BB，延长BC，与y轴交于点E，二次函数yx22x3的顶点为（1，

27、4），C（1，4），B（3，0），直线BC的解析式为：y2x6E（0，6），抛物线绕点M旋转180°，MBMB，MCMC，四边形BCBC是平行四边形，SBCM×4010，SBCMSMBESMCE×（31）×MEME，ME10，m4或m16；（3）如图，过点C作CDy轴于点D，当平行四边形BCB'C为菱形时，应有MBMC，故点M在O、D之间，当MBMC时，MOBCDM，即MOMDBOCD二次函数ya（x+1）（x3）的顶点为（1，4a），M（0，m），B（3，0），CD1，MOm，MDm+4a，OB3，m（m+4a）3，m2+4am+30，16a2

28、120，a0，a所以a时，存在点M，使得四边形BCB'C为菱形6如图，一次函数ykx+b的图象与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点A，与二次函数yax2的图象在第一象限内交于点C（3，3）（1）求此一次函数与二次函数的表达式；（2）若点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，ADOOED，求点D坐标【解答】解：（1）二次函数yax2的图象过点C（3，3），39a，a，二次函数的表达式为yx2，一次函数ykx+b的图象经过点B（6，0）点C（3，3），解得：，一次函数的表达式为yx+6；（2）一次函数的表达式为yx+6与y轴交于点A；点A（0，6），OA6，设点D

29、（m，m+6），则点E（m，m2），DEm+6m2，DEy轴AODODE，又ADOOED，ODADEO，OD2OADE，m2+（m+6）26×（m+6m2）m0（不合题意）或m，点D坐标为（，）7如图，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数yax22ax+c（a、c是常数，a0）的图象经过点M（1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点（1）当a1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图，E是x轴上位于点B右侧的点，BC2BE，DE交抛物线于点F若FBFE，求此时的二次

30、函数表达式【解答】解：（1）分别过点M、N作MECD于点E，NFDC于点F，MEFNx轴，DMEDAC，DCBDFN，a1，则yx2+2x+c，将M（1，1）代入上式并解得：c4，抛物线的表达式为：yx2+2x+4，则点D（1，5），N（4，4），则ME2，DE4，DC5，FN3，DF9，解得：AC，BC，；（2）不变，理由：yax22ax+c过点M（1，1），则a+2a+c1，解得：c13a，yax22ax+（13a），点D（1，14a），N（4，1+5a），ME2，DE4a，由（1）的结论得：AC，BC，；（3）过点F作FHx轴于点H，则FHl，则FHEDCE，FBFE，FHBE，BHHE

31、，BC2BE，则CE6HE，CD14a，FH，BC，CH×，F（+1，a），将点F的坐标代入yax22ax+（13a）a（x+1）（x3）+1得：aa（+1+1）（+13）+1，解得：a或（舍弃），经检验a，故yx2+x+8如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当PAB面积最大时，求点P的坐标及PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同

32、时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标【解答】解：（1）设抛物线的解析式为yax2+bx+c（a0），A（0，1），B（，0），设直线AB的解析式为ykx+m，解得，直线AB的解析式为yx+1，点F的横坐标为，F点纵坐标为+1，F点的坐标为（，），又点A在抛物线上，c1，对称轴为：x，b2a，解析式化为：yax22ax+1，四边形DBFE为平行四边形BDEF，3a+1a8a+1（），解得a1，抛物线的解析式为yx2+2x+1；（2）设P（n，n2+2n+1），作PP'x轴交AC于点P'，则P'（n，n+1），

33、PP'n2+n，SABPOBPP'n+，当n时，ABP的面积最大为，此时P（，）（3），x0或x，C（，），设Q（，m），当AQ为对角线时，R（），R在抛物线y+4上，m+4，解得m，Q，R；当AR为对角线时，R（），R在抛物线y+4上，m+4，解得m10，Q（，10），R（）综上所述，Q，R；或Q（，10），R（）9二次函数yax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图，P是该二

34、次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当CEQ的面积为12时，求点P的坐标【解答】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入yax2+bx+3，得，解得二次函数的解析式为y2x+3y1，E（4，1）（2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CBCD设D（4，m），C（0，3），由勾股定理可得：42+（m3）262+32解得m3±满足条件的点D的坐标为（4，3+）或（3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P（n，2n+3），则Q（），设直线CQ的解析式为ykx+3，则nk+3解得k，于是CQ：y（）x+3，当x4时，

35、y4（）+3n5，M（4，n5），MEn4SCQESCEM+SQEMn24n600，解得n10或n6，当n10时，P（10，8），当n6时，P（6，24）综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（6，24）10如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+4（a0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AMOB于点M，将RtOMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N解答下列问题：（1）抛物线的解析式为yx2+x+4，顶点坐标为（4，）；（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中RtOMA沿着OB平移后，得到

36、RtDEF若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+4（a0）与x轴交于点C（2，0），且经过点B（8，4），解得：，抛物线解析式为：yx2+x+4，：yx2+x+4（x4）2+，顶点坐标为（4，）故答案为：yx2+x+4，（4，）；（2）点N在直线AC上，理由如下：抛物线yx2+x+4与y轴交于点A，点A（0，4），即OA4，点B（8，4），ABx轴，AB8，ABAO，OAB90°，OAM+BAM90°，AMOB，BAM+B90°，BOAM，tanBtanOAM，将RtOMA沿y轴翻折，NAOO

37、AM，tanNAOtanOAM，OC2，OA4，tanCAO，tanCAOtanNAO，CAONAO，AN，AC共线，点N在直线AC上；（3）点B（8，4），点O（0，0），直线OB解析式为yx，RtOMA沿着OB平移后，得到RtDEF，AFOB，直线AF的解析式为：yx+4，联立方程组：解得：或点F（，），RtOMA沿着OB平移后，得到RtDEF，RtOMARtDEF，OADF，OADFSOMASDEF，四边形OAFD是平行四边形，四边形AMEF的面积S四边形AMDF+SDEFS四边形AMDF+SOAMS四边形OAFD，四边形AMEF的面积S四边形OAFD4×2211已知抛物线ya

38、（x2）2+c经过点A（2，0）和点C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且DEFDAB，DEEF，直接写出线段BE的长【解答】解：（1）将点A（2，0），C（0，）代入 ya（x2）2 +c，得：，解得：，抛物线的解析式为y（x2）2+3，即yx2+x+；顶点D的坐标为（2，3）；（2）当y0时，（x2）2+30，解得：x12，x26，A（2，0），B（6，0），DEBDEF+BEFDAB+ADE，DEFDAB，ADEBEF，AD5，BD5，ADBD，DAEEBF，DEEF，AD

39、EBEF（AAS），BEAD512如图，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（3，0），C（0，3），交x轴于另一点B，其顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若CAE与OCD相似，求P点坐标；（3）如果点F在y轴上，点M在直线AC上，那么在抛物线上是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过点A（3，0），C（0，3），解得故此抛物线解析式为：yx22x+3；（2）yx22x+3（x+1）2+4，顶点D（1，4）A（3，0），C（0，3），D（1，4）

40、，AC，OAOC3，CD，OCDCAE135°，点E只能在A点左边若CAEDCO，则，AE9，OE12，E（12，0）C（0，3），联立，解得，（舍去），P；若CAEOCD，则，AE2，OE5，E（5，0）C（0，3），联立，解得，（舍去），P因此，P或；（3）在抛物线上存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形若CF为对角线，则CF与NM互相垂直平分时，四边形CNFM为菱形，NCFFCMACO45°，NCM90°，CNCM，四边形CNFM为正方形，N点与顶点D重合，D（1，4），N（1，4），CN，菱形CNFM的周长为；若CF为菱形的一边，则MNCF，C

41、MFN，NMNF时，四边形CNFM为菱形过F作FHNM于H，设直线NM交x轴于G，N（m，m22m+3），则M（m，m+3），G（m，0）NM|m+3（m22m+3）|m2+3m|NF，CMFN，ACO45°，NFHFNH45°，NFFH，又FHOG|m|，|m2+3m|m|，m3或m3+，NF，或NF，菱形周长为或因此，存在菱形，其周长为或或13已知点A（1，0）是抛物线yax2+bx+m（a，b，m为常数，a0，m0）与x轴的一个交点（）当a1，m3时，求该抛物线的顶点坐标；（）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直

42、线l上的动点，F是y轴上的动点，EF2当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AEEF时，求点F的坐标；取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？【解答】解：（）当a1，m3时，抛物线的解析式为yx2+bx3抛物线经过点A（1，0），01+b3，解得b2，抛物线的解析式为yx2+2x3yx2+2x3（x+1）24，抛物线的顶点坐标为（1，4）（）抛物线yax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m0，0a+b+m，0am2+bm+m，即am+b+10a1，bm1抛物线的解析式为yx2（m+1）x+m根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），过点A作AHl于点H，由点A（1，0）

43、，得点H（1，m）在RtEAH中，EH1（m+1）m，HA0mm，AEm，AEEF2，m2，解得m2此时，点E（1，2），点C（0，2），有EC1点F在y轴上，在RtEFC中，CF点F的坐标为（0，2）或（0，2+）由N是EF的中点，连接CN，CM，得CNEF根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上，由点M（m，0），点C（0，m），得MOm，COm，在RtMCO中，MCm当MC，即m1时，满足条件的点N在线段MC上MN的最小值为MCNCm，解得m；当MC，即1m0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NCMC（m），解得m当m的值为或时，MN的最小值是14若一次函数y3x

44、3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数yax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CDx轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分DBE求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，SBFPmSBAF当m时，求点P的坐标；求m的最大值【解答】解：（1）一次函数y3x3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：yx22x

45、3；（2）设直线BE交y轴于点M，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x1，CDx轴交抛物线于点D，故点D（2，3），由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即MCBDCB45°，BC恰好平分DBE，故MBCDBC，而BCBC，故BCDBCM（AAS），CMCD2，故OM321，故点M（0，1），设直线BE的表达式为：ykx+b，则，解得，故直线BE的表达式为：yx1；（3）过点P作PNx轴交BC于点N，则PFNAFB，则，而SBFPmSBAF，则，解得：mPN，当m时，则PN2，设点P（t，t22t3），由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：yx3，当xt2时，

46、yt5，故点N（t2，t5），故t5t22t3，解得：t1或2，故点P（2，3）或（1，4）；mPNt（t22t）（t）2+，0，故m的最大值为15如图，抛物线ya（x22mx3m2）（a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，3），顶点为F，CDAB交抛物线于点D（1）当a1时，求点D的坐标（2）若点E是第一象限抛物线上的点，过点E作EMx轴于点M，当OM2CD时，求证：EABADC（3）在（2）的条件下，试探究：在x轴上是否存在点P，使得以PF，AD，AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由【解答】

47、解：（1）当a1时，ya（x22mx3m2）x22mx3m2，与y轴交于点C（0，3），3m23，解得：m±1，m0，m1，抛物线解析式为：yx22x3（x1）24，CDAB，C，D关于直线x1对称，D点坐标为：（2，3）；（2）如图，过点A作ANCD交CD的延长线于N，对于ya（x22mx3m2），当y0，则0a（x22mx3m2），解得：x1m，x23m，当x0，y3am2，可得：A（m，0），B（3m，0），C（0，3am2），点C，点D关于对称轴直线xm对称，点D（2m，3am2）CD2m，OM2CD4m，点E横坐标为4m，点E坐标（4m，5am2），A（m，0），B（3m，

48、0），C（0，3am2），点E坐标（4m，5am2），点D（2m，3am2），AM5m，EM5am2，DN3m，AN3am2，tanEABam，tanADCam，tanEABtanADCEABADC；（3）存在，理由：当xm时，ya（m22m23m2）4am2，F（m，4am2），A（m，0），点E的坐标为（4m，5am2），点D的坐标为（2m，3am2），设P（b，0），PF2（mb）2+16（am2）2，AD29m2+9（am2）2，AE225m2+25（am2）2，（mb）2+9m225m2，解得：b13m，b25mP（3m，0）或（5m，0）16如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax22x+c与直线ykx+b都经过A（0，3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当PAB面