第一 普通集合与模糊集合的关系

1、第一章 普通集合到模糊集合2.1普通集合与模糊集合的表达2.1.1普通集合与模糊集合的概念论域：在讨论某个问题，把考虑对象的所有元素的全体称为论域，或称为全域，全集。例如考虑温度使，论域就是从最低温度到最高温度。讨论人时，就包括地球上的所有人。论域一般用大写字母U，V等表示。元素：论域中的每个对象称为元素或元，通常用小写字母a,b,c等表示。集合：给定一个论域，具有某种共同属性的元素的全体，称为论域上的一个集合，常用大些字母A，B等表示。属于：元素是个体的概念，集合是整体的概念，它们之间只有属于和不属于的关系，如a属于A，记作，或a不属于A，记作。 属于具有排中的性质，即非此即彼，两者必居其一

2、，其只具其一，这是经典集合的基本出发点。空集：不含论域U中任何元素的集合称为空集，记为。全集：论域的全体元素构成的集合称为全集，记为。包含：设A，B是U上的两个集合，如果对 xX，都有xAxB，则称B包含A，记做，或A包含于B，记作。相等：如果，且，则称A和B相等，记作A=B。子集：若，则称B是A的子集，并且有。映射与函数：设两个集合X，Y，如果有一个对应关系f存在，即对于任一个xX，有唯一的yY与之对应，则称给出了一个由X至Y的映射，记作其中y称为x在f下的像，称x为y在f下的原像，若xi域yi一一对应，则称f为单值映射，简称单射， 当集合X，Y都是实数集的子集时，这种映射称为函数。特征函数

3、： 设A是U上的普通子集，若对任意xU，给定一个由U至0，1的映射A，即则映射称xA为A的特征函数，如图1所示。 xAA（x）10其中在xi的值为，称为xi对A的特征值，该特征值非0即1，当xi时1，当xi时0，即特征函数表示了元素x是否属于集合A。 显然任一个集合都有唯一的特征函数，任意一个特征函数都唯一对应一个集合，在这种意义上说集合A与特征函数是等价的，记作。模糊集合：设是论域U上的一个模糊子集。若对任意xU，给定一个由U至0,1的映射，即 即对于xU，当1，则认为x完全属于，若0，则认为x完全不属于。若0<<1，则认为x在的程度上属于。故而称为x对的隶属度，而称为模糊集的隶

4、属函数。例如图2表示了模糊集合“年轻”的隶属函数。100XA（x）10257550类似特征函数，一个隶属函数唯一确定一个模糊集合，一个模糊集合对应一个隶属函数，由于模糊集合比较抽象，所以以后常常采用隶属函数来表示模糊集合。表示元素x对应模糊集的隶属程度，当的取值只是闭区间0,1的两个值0，1时，模糊集便退化为普通集A，隶属函数也就成了特征函数。这就是说普通集合是模糊集合的特例。对于模糊集合也有类似普通集合的一些概念定义1：设和都是U上的模糊集，如果：，则称和相等，记作。定义2：设和都是U上的模糊集，如果：，则称包含，或是的子集，记作。定义3：设是U上的模糊集，如果：，称为空集，记作。定义4：设

5、是U上的模糊集，如果：，称为全集，记作。2.1.2普通集合与，模糊集合的表示方法1）列举法： 当一个集合所包含的元素个数有限时，该集合可表示为。例：设A为不大于5的自然数集合，A1，2，3，4，5。例：B为某个学习小组成员的集合，B小明，小强，小刚，小红对应模糊集合有两个列举的方法（1）向量法设论域，其中是5个小学生的体操成绩，分别为9.5，7，8.4，6.6，9.1，满分为10分，于是模糊集“成绩满意” 可写成：即只列出所有元素的隶属度（因为此时的论域是大家都知道的）（2）序偶法即把论域中的各元素及其对的隶属度以有序对一一列出，例如2）描述法：对于普通集合的描述法例如：A；对于模糊集合的描述

6、则十分困难。如无法描述清楚：“年轻人”，“学习好”，“技术高”，“长得好看”等模糊概念。3）zadeh表示法对于普通集合例如考虑某6名运动员，记为，其中，为男生，为女生，则在此论域中，集合A“男队员”表示为：集合B“女队员”表示为：对于模糊集合也可以采用类似的方法表示，如上面的“成绩满意” 可表示为因此对于一般的有限论域U，其模糊子集可以表示为为简单起见，当某个元素的隶属度为0时，相应的项可以省略不写。4）解析法普通集合的解析法表示就是采用其特征函数来表示例如论域为自然数，A为“不大于5的自然数”，其特征函数为如果隶属函数能写成解析式的，很自然可以用隶属函数的解析表达来表示模糊集。以年龄为论域

7、，取U0,200。如图，zadeh曾给出“年轻”和“年老”这两个模糊子集的隶属函数分别为：1年轻年老501000(x)2.2隶属函数的种类普通用特征函数来刻画，模糊集合用隶属函数来描述，特征函数的值域为0，1，隶属函数的值域为0,1，隶属函数是特征函数的扩展。在实际考试中，我们认为90分以上为“优秀”，90分以下为“不优秀”。这是普通集合的划分方法，该方法显然有缺陷，如果采用模糊集合表示“优秀”则更位妥当。100908001100908001普通优秀模糊优秀正确的确定隶属函数是运用模糊集合理论解决实际问题的基础，然而，目前确定隶属函数还没有一种成熟而有效的方法，一般是根据经验或模糊统计的方法来

8、确定。因而隶属函数的确定并不是唯一的。(a)三角模糊01(b)半三角模糊01在实际应用中，根据即能满足一般要求，又可简化计算的原则，普遍适用的隶属函数有三角型、半三角型、梯形、半梯形、钟型、Z型、S型等多种。(a)梯形模糊01(b)钟型0111(b)Z型00(a)S形模糊2.3两类集合的运算1）经典集合的运算并：设A，B是论域U上的两个集合，A，B的并集定义为 ABx|xA或xB交：设A，B是论域U上的两个集合，A，B的交集定义为ABx|xA且xB补：设A是论域U上的集合，A的补集定义为 根据经典集合交，并的定义，可到下列的真值表ABABABABABAB00000000001001101010

9、101011111111可以看出上面的逻辑运算如果按照特征函数正好满足如右表的规律故而满足如下的规律运算符号特征函数并CABC(x)= A(x)B(x)交CABC(x)= A(x)B(x)补CC(x)=1- A(x)2）模糊集合的运算如果把特征函数代之于隶属函数，则经典集合运算的概念就可以扩展到模糊集合中。设是论域U上的模糊子集，它们的隶属函数分别为，则。运算符号隶属函数图示并交补例：设论域A；B2.4广义模糊算子除了上面介绍的“取大取小”算子，由于不同问题的需要，人们提出了很多其它的算子。1.zadeh算子“”，“” abmin(a,b); abmax(a,b)2.概率算子“.”，“”abab; aba+bab3.有界算子“”，“”abmaxab-1,0; abmin a+b,1 2.5模糊集合与普通集合的联系1）截集模糊集合本身是一个没有确定边界的集合，但是如果约定，只有x对的隶属度达到或超过某个水平者，才算是的成员，那么模糊集合就变成了普通集合。定义:设AF(x),任取0,1,记称为的截集,其中为阈值或置信水平.图给出了1, 2,( 1> 2)对应的截集,以及相应的特征函数当=1时,得到的最小的水平截集称为模糊集的核,当=0+时得到的最大的水平截集称为的承集.记为supA=若的核非空,则称为正规模糊集,否则称为非正规模糊集,并将隶属函数为