线段的定比分点公式及应用3

1、线段的定比分点公式及应用河北 史彩玉OabP P P图1向量代数中，关于线段的定比分点问题，具有严格的定义，定比分点公式实际上有三种形式，一个定义式；一个坐标式；一个向量式。教材中只给出了定义式和坐标式。其实，在解决一些几何问题时，向量式有时很方便。关于定比分点公式三种形式的简述如下：1、定义式：设P与P为直线l上的两点，点P为直线l上不同于P、P的任意一点，则存在一个实数，使得，叫做P分有向线段所成的比。当0时，P为内分点；当0时，P为外分点；特别地当=时，P为PP的中点。2、坐标式：若设P（x，y）、P（x，y）、P (x，y)，将坐标代入中得到定比分点公式。特例当=时， 。3、向量式：如

2、图1所示，若设=a，=b，由于，则=（）即a =（b），整理得定比分点公式a+b。典例剖析如下：一、定义式的运用例1 （1）已知点P分所成的比为，则点B分所成的比为_。（2）若|=3，点P在的延长线上，且=2，则点P分所成的比为_。（3）点P在所在直线上，且，则点P分所成的比为_。P(3) 甲PP21P(3) 乙PP21解析：作出示意，(2) PPP23PA(1) 13B解析：观察图形，根据定义得：（1）点B分所成的比为；（2）点P分所成的比为；（3）若点P为的内分点，则；若点P为的外分点，则=2。二、坐标式 “” 的运用例2（1）ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1）、B（4，5）、C（7，

3、3）则ABC的重心为_。（2）ABC三边的中点为（2，1）、（3，4）、（1，1）则ABC的重心为_。（3）ABC两个顶点的坐标分别为A（0，0）、B（4，0）其重心坐标为G(3，1)，则顶点C的坐标为_。分析：直接运用重心坐标公式求值。解析：（1）=3，=1，故重心为（3，1）。（2）设A（x，y）、B（x，y）C（x，y），由题意得：，三式相加得x+ x+ x=2，同理y +y+y=4，故重心为（，）。（3）设顶点C（x，y），由重心坐标公式得，解得x=5，y=3，故顶点C的坐标为（5，3）。例3 已知ABC的两顶点A（3，7）和B（2，5），求C点的坐标，使AC的中点在x轴上，BC的中点

4、在y轴上。分析：可用中点坐标公式求解，注意到中点在坐标轴上，可利用横坐标为0或纵坐标为0建立关系。解析：设C点的坐标为（x，y），根据中点坐标公式，可得AC的中点坐标为（，），中点在x轴上，=0，即y=7。同样可有BC的坐标为（，），中点在y轴上，=0，x=2，C点的坐标为（7，2）。三、向量式a+b应用例4、已知A（3，3）、B(1，5)一次函数的图像与线段AB有公共点，求实数k的取值范围。分析：设交点为P，则由定比分点公式知可用k表示定比。由于P是内分点，所以0，从而求出k的范围。解析：设P（x，y）为一次函数的图像与线段AB的交点，把P看作的定比分点，其定比为，则有0，另一方面，由定比分点公式有=，点P在函数的图像上，0，解得或。而P点与B点重合时，k=4，也适合，故或图（2）ABCDPQR例5 如图（2）所示，点P在线段AB上，且，Q在线段AD上，且，BQ与CP相交于R，求的值。分析：取两个基底，由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来，再求解。解析：设，。由题意有：，则，A、Q、D三点共线，于是=；P、R、C