基于Matlab的IIR数字滤波器设计(论文)

1、摘 要在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号分析都是基于滤波器而进行的，而数字滤波器是通过数值运算实现滤波，具有处理精度高、稳定、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR数字滤波器和有限长冲激响应(FIR数字滤波器。实现IIR 滤波器的阶次较低，所用的存储单元较少，效率高，精度高，而且能够保留一些模拟滤波器的优良特性，因此应用很广。Matlab 软件以矩阵运算为基础，把计算、可视化及程序设计有机融合到交互式工作环境中，并且为数字滤波的研究和应用提供了一个直观、高效、便

2、捷的利器。尤其是Matlab 中的信号处理工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究与工程应用。本文首先介绍了数字滤波器的概念，分类以及设计要求。接着利用MATLAB 函数语言编程，用信号处理图形界面FDATool 来设计滤波器以及Sptool 界面设计的方法，并用FDATool 模拟IIR 数字滤波器处理信号。重点设计Chebyshev I型和Chebyshev II型数字低通滤波器, 并介绍最优化设计。【关键字】 IIR 滤波器 FDATool Sptool SimulinkABSTRACTIn modern communication systems, Because ofte

3、n mixed with various signal complex components, So many signal analysis is based on filters, and the digital filter is realized through numerical computation, digital filters filter with high precision, stability and flexibility, don't exist, can realize the impedance matching simulating the spe

4、cial filter cannot achieve filter function. Digital filter according to its impulse response function and characteristics of the time can be divided into two kinds, namely the infinite impulse response (IIR digital filter and finite impulse response (FIR digital filters. The order of realizing IIR f

5、ilter is used, low and high efficiency less storage unit, high precision, and can keep some simulation characteristics of filter, so it is widely used. Matlab software based on matrix computation, the calculation, visualization and program design of organic integration to interactive environment for

6、 digital filter, and the research and application of provides an intuitive, efficient and convenient tool. Especially in the Matlab signal processing to all areas of research toolbox personnel can easily for scientific research and engineering application. This paper introduces the concept of digita

7、l filter, classification and design requirements. Then using MATLAB language programming, with functions of signal processing FDATool graphical interface design of interface design and Sptool filter, and FDATool analog signal processing IIR digital filter. Key design Chebyshev type I and II digital

8、Chebyshev lowpass filter, and introduces optimization design.【Keywords 】 IIR Filter FDATool Sptool Simulink目 录前 言. 第一章 数字滤波器. 第一节 数字滤波器的概念 . 第二节 数字滤波器的分类 . 第三节 数字滤波器的设计要求 . 第二章 IIR数字滤波器设计方法 . 第一节 IIR数字滤波器的设计步骤. 第二节 用脉冲相应不变法设计IIR 数字滤波器 . 一、设计原理. 二、脉冲响应不变法优缺点. 第三节 双线性变换法设计IIR 数字滤波器 . 一、设计原理. 二、双线性变换法优

9、缺点. 第三章 IIR滤波器的MATLAB 设计 . 第一节 IIR数字滤波器的典型设计法. 第二节 IIR数字滤波器的直接设计法. 第三节 FDATool介绍和界面设计. 第四节 FDATOOL设计IIR 数字滤波器. 第五节 SIMULINK 仿真IIR 滤波器 . 总 结. 致 谢. 参考文献. 结束语. 前 言随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域。目前数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。在数字信号处理中起着重要的作用并已获得广泛应用的是数字滤波器（DF ，Digital F

10、ilter），根据其单位冲激响应函数的时域特性可分为两类：无限冲激响应IIR （Infinite Impulse Response ）滤波器和有限冲激响应FIR （Finite Impulse Response）滤波器。与FIR 滤波器相比，IIR 的实现采用的是递归结构，极点须在单位圆内，在相同设计指标下，实现IIR 滤波器的阶次较低，即所用的存储单元少，从而经济效率高。MATLAB 是英文MATrix LABoratory(矩阵实验室 的缩写。它是美国的MathWorks 公司推出的一套用于科学计算和图形处理可视化、高性能语言与软件环境。MATLAB 的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领

11、域的专用工具箱，它的两个基本组成就是滤波器的设计与实现部分以及谱分析部分。工具箱提供了丰富而简便的设计，使原来繁琐的程序设计简化成函数的调用。只要以正确的指标参数调用相应的滤波器设计程序或工具箱函数，便可以得到正确的设计结果，使用非常方便。重庆邮电大学高教自考毕业设计（论文）第一章 数字滤波器第一节 数字滤波器的概念滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波器可以理解为是一个计算程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化为代表输出信号的数字时间序列，并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运

12、算处理。数字滤波器和模拟滤波器相比，因为信号的形式和实现滤波的方法不同，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配等优点。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性:Y (e j =X (e j H (e j （式1-1）其中Y (e j 、X (e j 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）, H (

13、e j 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱X (e j 经过滤波后X (e j H (e j , 因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择H (e j ，使得滤波后的X (e j H (e j 满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。第二节 数字滤波器的分类按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类：经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的。但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典

14、滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地回复信号，从而达到最佳滤波的目的。经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分为：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器。 图1-1 各种理想滤波器的幅频特性数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR数字滤波器和有限长冲激响应(FIR数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为：NNiy (

15、n =ai =0x (n -i +bi =1iy (n -i （式1-2）系统函数为：MbH (z =r =0NZ r-r（式1-3）i1+ak =1Z-k设计IIR 滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z，使其频率响应H(z满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。 第三节 数字滤波器的设计要求滤波器的指标常常在频域给出。数字滤波器的频响特性函数H (e jw 一般为复函数，所以通常表示为：H (e =H (z |z =e jw =H (e ejw jw j (w （式1-4）其中，|H (e jw |称为幅频特性函数，(w称

16、为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况，而相频特性反映各频率通过滤波器后在时间上的延时情况。一般IIR 数字滤波器，通常只用幅频响应函数|H (e jw |来描述设计指标，相频特性一般不作要求。IIR 滤波器指标参数如下图所示。图中，p 和s 分别为通带边界频率和阻带边界频率；1和2分别为通带波纹和阻带波纹；允许的衰减一般用dB 数表示，通带内所允许的最大衰减（dB ）和阻带内允许的最小衰减（dB ）分别为p 和s 表示：a p =-20lg1-11+1=20lg1+11-1（式1-5）a s =-20lg 2（式1-6）一般要求：当0p 时，-20lg H (ej

17、wa pjw；当时，a s -20lg H (e。 图1-2 低通滤波器的技术要求第二章 IIR 数字滤波器设计方法IIR 数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为MbH (Z =k =0Nkz-k=kr (z x (z （式2-1）1-ak =1z-k假设M N ，当M N 时, 系统函数可以看作一个IIR 的子系统和一个(M-N的FIR 子系统的级联。IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数a k 和b k ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S 平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z 平面上去逼近，就得到数字滤波器。第

18、一节 IIR 数字滤波器的设计步骤IIR 数字滤波器的设计一般有两种方法：一个是借助模拟滤波器的设计方法进行。其设计步骤是，先设计模拟滤波器，再按照某种方法转换成数字滤波器。这种方法比较容易一些，因为模拟滤波器的设计方法已经非常成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅；另外一种直接在频率或者时域内进行，由于需要解联立方程，设计时需要计算机做辅助设计。其设计步骤是：先设计过渡模拟滤波器得到系统函数H a (s ，然后将H a (s 按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H (z 。这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，不仅有完整设计公式，还有完善的图表和曲线供查阅；另外，还有一些典型的优

19、良滤波器类型可供我们使用。为了保证转换后的H (z 稳定且满足技术指标要求，对转换关系提出两点要求:(1因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2数字滤波器的频率相应模仿模拟滤波器的频响特性，s 平面的虚轴映射为z 平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。 利用模拟滤波器成熟的理论设计IIR 数字滤波器的过程是：(1确定数字低通滤波器的技术指标：通带边界频率p 、通带最大衰减p 、阻带截止频率s 、阻带最小衰减s 。(2将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。(3按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器。(4用所选的转换方法，将模拟滤波器H

20、a (s 转换成数字低通滤波器系统函数H (z 。IIR 数字滤波器的设计流程图如下：图2-1 IIR数字滤波器的设计步骤流程图成熟的模拟滤波器设计方法主要有脉冲响应不变法和双线性变换法。第二节 用脉冲相应不变法设计IIR 数字滤波器一、设计原理利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h (n 模仿模拟滤波器的冲激响应h a (t ，即将h a (t 进行等间隔采样，使h (n 正好等于h a (t 的采样值，满足h (n =h a (nT 式中, T 是采样周

21、期。如果令H a (s 是h a(t 的拉普拉斯变换，H (z 为h (n 的Z 变换，利用采样序列的Z 变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得 X (z |z -g xT =1Tk =-X a (s -jk s =1Tk =-2X a s -j k (式T 2-2则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S 平面变换成数字滤波器的Z 平面，这个从s 到z 的变换z =esT 是从S 平面变换到Z 平面的标准变换关系式。 S 平面图2-2 脉冲响应不变法的映射关系由（2-2）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为H (ej =1Tk =-2k H a j (式T 2-3这就是说，数

22、字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即H a (j =0T=s 2(式2-4才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即H (eej =H a j <T T 1(式2-5但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲

23、响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。 图2-3脉冲响应不变法中的频响混叠现象对某一模拟滤波器的单位冲激响应h a (t 进行采样，采样频率为f s ，若使f s增加，即令采样时间间隔（T =1/f s ）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。二、脉冲响应不变法优缺点从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系=T 。因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。脉冲响应不变法的最

24、大缺点是有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器 ，而且高频衰减越快，混叠效应越小。至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。 第三节 双线性变换法设计IIR 数字滤波器一、设计原理脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S 平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，

25、可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T /T 之间，再用z =esT 转换到Z 平面上。也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到S 1平面的-/T /T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系z =es 1T 将此横带变换到整个Z 平面上去。这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图2-3所示。 S 平面S 1平面 Z 平面图2-4双线性变换的映射关系为了将S 平面的整个虚轴j 压缩到S1平面j 1轴上的-/T 到/T 段上，可以通过以下的正切变换实现=T tan 1 （式T 222-6）式中, T 仍是

26、采样间隔。当1由-/T 经过0变化到/T 时，由-经过0变化到+，也即映射了整个j 轴。将式（2-6）写成j =2T e.ej 1T /2-e +ej T /2j 1T /2-j 1T /2（式2-7）将此关系解析延拓到整个S 平面和S1平面，令j =s ，j 1=s 1，则得2e i -e i 2s 1T 21-e 1s =. s T /2=tanh =. -s i T /2-s i T （式2-8） iT e T 2T +e 1+e s T /2-s T /2-s T再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面z =e 1sT（式2-9）从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为：s =

27、21-z T 1+z-1-1（式2-10）+s1+z =1-T T 2s s2=2T（式2-11）-s式（2-10）与式（2-11）是S 平面与Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换式（2-6）与式（2-10）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先, 把z =e，可得s =21-e T 1+e-j -j j =jtan =j （式2-12） T 22即S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆。 其次，将s =+j代入式（2-12），得2z =T 2T+j （式2-13）-j 因此22 +T 22 -+T 22z =（式2-14）由此看出，当<0

28、时，|z |<1；当>0时，|z |>1。也就是说，S 平面的左半平面映射到Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外，S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。二、双线性变换法优缺点双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S 平面与Z 平面是单值的一一对应关系。S 平面整个j 轴单值地对应于Z 平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（2-10）所示，重写如下：=tan T 22（式2-15）上式表明，S 平面上与Z 平面的成非线性的正

29、切关系，如图2-4所示。由图2-4看出，在零频率附近，模拟角频率与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当进一步增加时，增长得越来越慢，最后当时，终止在折叠频率=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。 图2-5双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（2-12）及图2-4所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数

30、型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图2-5所示。 图2-6双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。第三章 IIR 滤波器的MATLAB 设计MATLAB 是矩阵实验室（Matrix Laboratory ）之意。除具备卓越

31、的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。MATLAB 的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学, 工程中常用的形式十分相似, 故用MATLAB 来解算问题要比用C,FORTRAN 等语言完相同的事情简捷得多. 在新的版本中也加入了对C,FORTRAN,c+ ,JAVA 的支持. 可以直接调用, 用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB 函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB 爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用，非常的方便。模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有一些典型的模拟滤波器供我们选择，

32、如巴特沃斯(Butterworth 滤波器、切比雪夫(Chebyshev滤波器、椭圆(Cauer 滤波器、贝塞尔(Bessel 滤波器等，这些典型的滤波器各有特点。用MATLAB 进行数字滤波器的设计的步骤如下:（1） 将设计指标归一化处理。如果采用双线性变换法，还需进行预畸变。 （2） 根据归一化频率，确定最小阶数N 和频率参数Wn 。可供选用的阶数择函数有:buttord，cheblord ，cheb2ord ，ellipord 等。（3） 运用最小阶数N 设计模拟低通滤波器原型。模拟低通滤波器的创建函数有:buttap,cheblap, cheb2ap,ellipap 和besselap

33、 ，这些函数输出的是零极点式形式，还要用zp2tf 函数转换成分子分母多项式形式。如果想根据最小阶数直接设计模拟低通滤波器原型，可用butter,chebyl,cheby2,ellip,bessel 等函数，只是注意要将函数中的Wn 设为1。（4） 根据第2步的频率参数Wn ，模拟低通滤波原型转换模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，可用函数分别是：lp21p,lp2hp,lp2bp,lp2bs 。（5） 运用脉冲响应不变法或双线性变法把模滤波器转数字滤波器，调用的函数是impinvar 和bilinear 。脉冲响应不变法适用于采样频率大于4倍截止频率的锐截止低通带通滤波器，而双线性变换法适合于

34、相位特性要求不高的各型滤波器。（6） 根据输出的分子分母系数，调用函数buttord 计算N 和wc ，有系数向量可以写出数字滤波器系统函数Z, 再用freqz 函数验证设计结果。第一节 IIR 数字滤波器的典型设计法设计巴特沃斯数字低通滤波器和椭圆数字低通滤波器，要求通带边界频fp=2.1kHZ，通带最大衰减Rp=0.5dB；阻带边界频率fs=8kHZ，阻带最小衰减Rs=30dB,采样频率为Fs=20kHZ。低通巴特沃斯滤波器设计步骤如下： （1） 确定阶数N 。k sp =10100. 1R s 0. 1R p-1-1=112. 233sp =2f s 2fp=3. 8N =lg 112.

35、 233lg 3. 8=3. 35, 取N=4（2） 求极点p 0=e3j 5，p 1=e4j 5，p 2=ej ，p 3=e6j 5，p 4=e7j 5归一化低通原型系统函数为G a (p =14p k (p -k =0由N=4直接查表得到：极点：-0. 3827±j 0. 9239 -0. 9239±j 0. 3827归一化低通滤波器系统函数为G a (p =1p +b 3p +b 2p +b 1p +b 04321式中，b 0=0.0000, b 1=0.0999, b 2=0.1914, b 3=0.0252（3） 将G a (p 去归一化最终得到H a (s =c

36、43252314s +b 3c s +b 2s +b 1s +b 0c通过计算可以总结出过程太麻烦，而且容易出错，结果不直观。 下面用M 程序设计来实现用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯数字低通滤波器的M 程序如下： fp=2100; fs=8000; Fs=20000; Rp=0.5; Rs=30;T=1/Fs; %设计指标 W1p=fp/Fs*2;W1s=fs/Fs*2;%求归一化频率 N,Wn=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,'s' %确定butterworth 的最小介数N 和频率参数Wnz,p,k=buttap(N; %设计模拟低通原型的零极点增益参数 bp,

37、ap=zp2tf(z,p,k; %将零极点增益转换成分子分母参数 bs,as=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs;%将低通原型转换为模拟低通 bz,az=impinvar(bs,as,Fs; %用脉冲响应不变法进行模数变换 sys=tf(bz,az,T; %给出传输函数H(Z H,W=freqz(bz,az,512,Fs; %生成频率响应参数 subplot(2,1,1;plot(W,20*log10(abs(H; %绘制幅频响应 grid on; %加坐标网格 xlabel('频率/Hz' ylabel('振幅/dB' subplot(2,1,2;plo

38、t(W,abs(H; grid on; xlabel('频率/Hz' ylabel('振幅/H'运行后的波形如下： 图3-1 典型滤波器在Matlab 上运行波形运行结果： N =4bz = 0.0000 0.0999 0.1914 0.0252az= 1.0000 -1.4336 1.0984 -0.4115 0.0627 可以得出：只需编程，结果非常直观。 双线性变换法设计步骤如下：（1）首先写出该滤波器的系统函数H (s =a s +a, a =1RC（2）利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H 1(z 为H 1(z =H a (s |aT aT +

39、221-z-1=a 1(1+z 1+a 2z-1-1s =T 1+z -1a 1=, a 2=aT -2aT +2用双线性变换法设计椭圆数字低通滤波器的M 程序如下： fs=20000;wp=2*pi*2100/fs; ws=2*pi*8000/fs; Rp=0.5; Rs=30; Ts=1/fs;Wp=2/Ts*tan(wp/2;Ws=2/Ts*tan(ws/2; %按频率转换公式进行转换 N,Wn=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s' %计算模拟滤波器的最小阶数 z,p,k=ellipap(N,Rp,Rs;%设计模拟原型滤波器Bap,Aap=zp2tf(z,p,

40、k; %零点极点增益形式转换为传递函数形式 b,a=lp2lp(Bap,Aap,Wn; %低通转换为低通滤波器的频率转化bz,az=bilinear(b,a,fs; %运用双线性变换法得到数字滤波器传递函数 H,f=freqz(bz,az,512,fs; subplot(2,1,1;plot(f,20*log10(abs(H; title('N=2 频率响应' grid on;xlabel('频率/Hz' ylabel('振幅/dB' subplot(2,1,2;plot(f,abs(H; grid on; xlabel('频率/Hz&#

41、39; ylabel('振幅/H'图3-2 双线性变换法设计的椭圆数字低通滤波器运行波形运行结果：N=2bz= 0.1213 0.1662 0.1213az= 1.0000 -0.9889 0.4218第二节 IIR 数字滤波器的直接设计法除了典型设计以外，MATLAB 信号处理工具箱提供了几个直接设计IIR 数字滤波器的函数，直接调用就可以设计滤波器，这为设计通用滤波器提供了方便。主要有以下几种方法：1. 零极点累试法这种方法也称为零极点累试法。在确定零极点位置时要注意：(1极点必须位于z 平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳定；(2复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的

42、系数是实的。2. 在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR 数字滤波器3. 在时域直接设计IIR 数字滤波器 设计Butterworth 滤波器用函数butter(，可以设计低通、高通、带通和带阻的数字和模拟滤波器，其特性是通带内的幅度响应最大限度的平滑，但损失了截止频率处的下降斜度。设计Chebyshev I型滤波器用函数chebyl(。可以设计低通、高通、带通和带阻的数字和模拟Chebyshev I 型滤波器，其通带内为等波纹，阻带内为单调。Chebyshev I型滤波器的下降斜度比II 型大，但其代价目是通带内波纹较大。设计Chebyshev II 型滤波器用函数cheby2(。可以设

43、计低通、高通、带通和带阻的数字和模拟Chebyshev II 型滤波器，其通带内为单调，阻带内等波纹。Chebyshev II型滤波器的下降斜度比I 型小，但其阻带内波纹较大。设计椭圆滤波器用函数ellip(，与chebyl, cheby2类似，可以设计低通、高通、带通和带阻的数字和模拟滤波器。与Butterworth 和chebyshev 滤波器相比，ellip 函数可以得到下降斜度更大的滤波器，得通带和阻带均为等波纹。一般情况下，椭圆滤波器能以最低的阶实现指定的性能指标。在使用各类滤波器函数时应当注意以下重点:(1、阶数和固有频率的选择:N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs可得

44、到符合要求性质的滤波器的最小阶数N 以及数字Butterworth 滤波器的固有频率Wn(即3dB 。设计的要求是在通带内的衰减不超过Rp, 在阻带内的衰减不小于Rs ，通带和阻带有截止频率分别是Wp, Ws,它们是归一化的频率，范围是0, 1，对应弧度。(2、有关滤波器设计当中的频率归一化问题:信号处理工具箱中经常使用的频率是Nyquist 频率，它被定义为采样频率的一半，在滤波器的阶数选择和设计中的截止频率均使用Nyquist 频率进行归一化处理。例如对于一个采样频率为1000 Hz 的系统，400Hz 的归一化即为400/500=0.8。归一化频率的范围在0, 1之间。如果要将归一化频率

45、转换为角频率，则将归一化频率乘以; 如果要将归一化频率转换为Hz, 则将归一化频率乘以采样频率的一半。(3、设计一个N 阶的低通Butterworth 滤波器使用函数B,A=butter(N, Wn ，返回滤波器系数矩阵B,A。其中固有频率Wn 必须是归一化频率。它的最大值是采样频率的一半。Fs 缺省时默认为2Hz 。如果Wn=Wl,W2是一个两元素的向量，则函数将设计出一个2N 阶的带通滤波器，通带为W1,W2。设计Chebyshev I型和Chebyshev II型数字低通滤波器，要求通带边界频率fp=2.1kHZ，通带最大衰减Rp=0.5dB；阻带边界频率fs=8kHZ，阻带最小衰减Rs

46、=30dB,采样频率为Fs=20kHZ。Chebyshev I型的M 程序如下：Fs=20000;Fls=8000;Wp=2*Flp/Fs; %归一化的通带截止频率Ws=2*Fls/Fs;Rp=0.5;Rs=30; %归一化的阻带截止频率 %通带最大衰减（单位：dB ） %抽样频率20KHz Flp=2100; %阻带最小衰减（单位：dB ）N,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs; %返回最小阶数和截止频率b,a=cheby1(N,Rp,Wn; %返回H(z的分子分母系数hw,w=freqz(b,a;subplot(2,1,1;plot(w/pi,20*log10(abs(hw;g

47、rid on;xlabel('/'ylabel('幅度（dB ）'title('切比雪夫I 型幅频响应'subplot(2,1,2;plot(w/pi,abs(hw;grid on;xlabel('/'ylabel('幅度（H ）'运行后的波形如下： 图3-3 Chebyshev I型运行波形运行结果：N=2b= 0.1007 0.2014 0.1007a= 1.0000 -0.9872 0.4140Chebyshev II型M 程序如下：Fs=20000;Fls=8000;Wp=2*Flp/Fs; %归一化的通带

48、截止频率Ws=2*Fls/Fs; %归一化的阻带截止频率Rp=0.5;Rs=30; %通带最大衰减（单位：dB ） %抽样频率20KHz Flp=2100; %阻带最小衰减（单位：dB ）N,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs; %返回最小阶数和截止频率b,a=cheby2(N,Rs,Wn; %返回H(z的分子分母系数hw,w=freqz(b,a;subplot(2,1,1;plot(w/pi,20*log10(abs(hw;grid on;xlabel('/'ylabel('幅度（dB ）'title('切比雪夫II 型幅频响应's

49、ubplot(2,1,2;plot(w/pi,abs(hw;grid on;xlabel('/'ylabel('幅度（H ）'运行后的波形： 图3-4 Chebyshev II型运行波形运行结果：N=2b= 0.2357 0.4241 0.2357a= 1.0000 -0.2996 0.1950从频率响应图中可以看出:巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性，通带内平滑; 切比雪I 型滤波器的幅频特性在通带内有波动，阻带内单调;chebyshev II 型滤波器的幅频特性在阻带内有波动，通带内单调; 椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，下降斜度比较大，通带和阻带内

50、均为等波纹，同样的性能指标，椭圆滤波器可以最低的阶数来实现。这样根据不同的要求可以选用不同类波器。第三节 FDATool 介绍和界面设计FDATool(Filter Design&Analysis Tool是MATLAB 信号处理工具箱里专用的滤波器设计分析工具，MATLAB 6.O以上的版本还专门增加了滤波器设计工具箱(Filter Design Toolbox。FDATool 可以设计几乎所有的常规滤波器，包括FIR 和IIR 的各种设计方法。它操作简单，方便灵活。FDATool 。界面总共分两大部分，一部分是Design Filter。在界面的下半部，用来设置滤波器的设计参数；另

51、一部分则是特性区，在界面的上半部分，用来显示滤波器的各种特性。Design Filter部分主要分为：Filter Type(滤波器类型 选项，包括Lowpass(低通 、Highpass(高通 、Bandpass(带通 、Bandstop(带阻 和特殊的 FIR滤波器。Design Method(设计方法 选项，包括IIR 滤波器的Butterwotth(巴特沃思 法、Chebyshev Type I(切比雪夫I 型 法、Chebyshev Type II(切比雪夫II 型 法、Elliptic(椭圆滤波器 法和FIR 滤波器的Equiripple 法、Least-Squares(最小乘方

52、法、 Window(窗函数 法。Filter Order(滤波器阶数 选项，定义滤波器的阶数，包括Specify Order(指定阶数 和Minimum Order(最小阶数 。在Specify Order中填入所要设计的滤波器的阶数(N阶滤波器，Specify Order="N-1"。如果选择Minimum Order ，则MATLAB 根据所选择的滤波器类型自动使用最小阶数。Frequency Specifications选项，可以详细定义频带的各参数，包括采样频率和频带的截止频率。它的具体选项由Filter Type 选项和Design Method 选项决定。例如B

53、andpass(带通 滤波器需要定义Fstop1(下阻带截止频率 、Fpass1(通带下限截止频率 、Fpass2 (通带上限截止频率 、Fstop2(上阻带截止频率 ，而Lowpass(低通 滤波器只需要定义Fstop1、Fpass1。采用窗函数设计滤波器时，由于过渡带是由窗函数的类型和阶数所决定，所以只需定义通带截止频率，而不必定义阻带参数。Magnitude Specifications选项，可以定义幅值衰减的情况。例如设计带通滤波器时，可以定义Wstop1(频率Fstop1处的幅值衰减 、Wpass (通带范围内的幅值衰减 、Wstop2(频率Fstop2处的幅值衰减 。当采用窗函数设计时，通带截止频率处的幅值衰减固定为6db ，所以不必定义。Window Specifications 选项，当选取采用窗函数设计，该选项可定义，它包含了各种窗函数。基于MATLAB 函数的滤波器设计完成后，需要对已设计的滤波器的频率响应要进行校核。要得到幅频、相频响应特性，运算量也是很大的。而利用MATLAB 强大的信号处理界面工具进行计算机辅助设计，可以快速有效地设计数字滤波器，大大地简化了计算量。第四节 FDATOOL 设计IIR 数字滤波器我们将以一个IIR 滤波器的设计实例来具体说明使用MATLAB 工具箱的方便。要求设计Chebyshev1 型低通滤波器满足指