紧致Hausdorff空间上连续函数环的极大理想

1、紧致Hausdorff空间上连续函数环的极大理想中山大学04级数学与应用数学专业 谢浊清 2005.9摘要 我们知道,希尔伯特零点定理给出了一个多元多项式方程组有公解的充分必要条件.本文要讨论一类特殊的拓扑空间上的连续函数的零点定理,以及零点的唯一性(命题1,推论)由此出发,证明每个紧致Hausdorff空间与它的连续函数环的极大谱同胚(命题4),从而导出:两个紧Hausdorff空间的连续函数环同构,则这两个空间同胚,即“环同构”推出“拓扑同胚”(推论5),最后,讨论拓扑空间与其极大谱同胚的一个必要条件,由此得到拓扑空间是紧Hausdorff空间的一个充分必要条件(命题6).下面先引入一些定

2、义与记号.设是的子集,以表示的闭包,表示的补集.定义1设为一拓扑空间, 到实数集的全体连续函数对通常的函数加法、函数乘法构成环,称为上的连续函数环, 以表示:.定义2设为一拓扑空间,对的任一理想,称集合为的公解(零点).讨论1. 是闭集.若,则显然.若,则故存在的开邻域,使得,从而是开集,即是闭集.2.定义3设为一拓扑空间,称集合为的极大谱.在讨论中,我们不加区分地以“”表示(环)同构,拓扑同胚,其含义可由上下文看出.命题1 设是紧Hausdorff空间,则,是单点集.证明 存在性.若,即,则存在的开邻域,.由此构造的一个开覆盖, 紧致,存在有限子覆盖.设,其中为的复共轭,则;且,.从而在中可

3、逆,矛盾.唯一性.假设有两个零点,且.首先证明:,若,则.否则,但,矛盾.其次,由于,是闭集,满足公理:中任何两个互不相交的闭集有不相交的开邻域;因此,由Urysohn引理: 又不是的零点,矛盾. 推论 若是紧空间,则对的任一理想,证明 必要性是显然的充分性:对的任一理想,若,则,由命题的存在性证明,又,但 下面讨论上的拓扑,为此,再引入一些定义,以及它们的性质定义4设是拓扑空间,对任一非空子集,称集合为的理想.显然,是的理想,简记为,从而有:命题2 设是一个拓扑空间:() ,有()设是的一个非空子集,则()设是的两个非空子集,若,则()设是的一个理想,若,则,特别地,若,则证明 只证(1),

4、其余皆显然.设是自然投影, ,有,令,则,故而在中可逆,是域. 命题3 设是拓扑空间,对的任一理想,定义 则:()()()对任意指标集,.(). 因此,令为的闭集,以上(),(),()保证了是拓扑空间证明 (1)显然.另一方面,若满足，则. .显然.另一方面,若,则,故.(2)若,则显然.若,则.(3) 由(2):.另一方面,若,则显然有.若,则.即,故. (4)由(2):.另一方面,若，则显然有.若,且,则是素理想,但.这样:. 命题4 设是紧致Hausdorff空间,则与的极大谱同胚: .证明 (1) 定义,则由命题1及命题2的(4), 可逆: .下面证明和是闭映射,从而是同胚.(2)是闭

5、映射.设是非空闭集,.由命题2的(3), .另一方面,.否则,由Urysohn引理: ,使得在取值为1, 在取值为0, , 但,矛盾.故,设,由命题2的(4): ,.从而是闭集.(3) 是闭映射,设,下面证明.1.,由命题2的(4), ,而2. 由此导出:推论5 对于任意两个紧Hausdorff空间,与同胚的充分必要条件是与同构: . 最后讨论一个相反的问题: 若拓扑空间同胚于, 那么具有什么样的拓扑结构呢?命题6 设为拓扑空间, 若, 则是紧致Hausdorff空间.证明的思路 由的拓扑导出是型紧致空间, 从而紧致,再由命题1的推论: .从而构造连续函数, 再由Urysohn引理证明满足公理

6、, 从而是Hausdorff空间, 因而也是紧致Hausdorff空间.证明 仅需证明是紧致Hausdorff空间.(1)是紧致的, 从而紧致.若,则由命题3的(1): .这样, 也就从反面证明了:中的每个具有有限交性质的闭集族都有非空的交, 从而紧致.(2)由命题的推论: .由命题2的(4),设.定义. 显然, 是满同态, .设是自然投影: .,考虑的等价类: .在中有且仅有一个常数函数在中有且仅有一个常数函数.定义, 则.从而是与的选取无关的, 记为.,定义, 则,.(3)下面证明连续,不妨设,其中为的非空闭集.则. 下面证明,由此推出是闭集.即.2. .下面证明,从而,故.若, 则,由U

7、rysohn引理: 存在连续函数且. 从而, 但,矛盾.(4)在的拓扑下,单点集是闭集,满足公理: 任何两个不同的点, 与, 有邻域不含, 有邻域不含.(5)由于Urysohn引理是,满足公理的充分必要条件, 于是, 对中任意两个非空的不相交的闭集,寻找Urysohn引理中所说的连续函数.在取值为0.在取值为1. (6)所以, 满足公理、公理, 即是Hausdorff空间. 讨论 结合命题4, 知是紧致Hausdorff空间的充分必要条件是,并且,此时是一个同胚. 最后需要说明的是, 前面的讨论均是以实值连续函数为中心的, 但完全类似的方法亦可用于证明复值连续函数的情形.将推论5应用于,我们立即得到两个紧致集是否同胚的一个判定定理.(同胚也即是说存在双射,及连续).例如,的紧集若有,则.又比如,闭区间与球面是不同胚的(即它们不可视为一样的), 这可通过它们连续函数环不同构来判定.将命题6应用于,可知的子集紧致当且仅