解直角三角形全章导学案

1、241锐角三角函数（1）锐角的正弦年级：九年级 科目：数学 设计者：邓发全 审计者：张运前【学习目标】 : 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 : 能根据正弦概念正确进行计算【学习重点】理解正弦（sinA）概念，能用它进行简单计算【学习难点】领悟正弦的概念。【学习过程】一、创设问题情境.如图在RtABC中，C=90°，A=30°，BC=10m，求AB二、自主学习与合作交流：问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30

2、6;，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？ ；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在RtABC中，C=90°，A=45°，A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 思考 3：当A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画RtABC和RtABC，使得C=C=90°，A=A=a，那么有什么关系你能解释一下吗？ 结论

3、：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比 正弦函数概念：规定：在RtBC中，C=90，A的对边记作a，B的对边记作b，C的对边记作c在RtABC中，C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即sinA= = sinA例如，当A=30°时，我们有sinA=sin30°= ；当A=45°时，我们有sinA=sin45°= 三、巩固与拓展： 如图，在RtABC中，C=90°，求sinA和sinB的值 四、当堂检测1. RtABC中，C=90，°A=60&#

4、176;，sinA=_2AE、CF是锐角ABC的两条高，如果 AE:CF=3:2,则sinA： sinC等于（ ） A 3:2 B 2:3 C 9:4 D 4:93.ABC中，AC:BC:AB=3:4:5,求证： sinA+ sinB=4（超越自我）.如图，在ABD中，AC是BD边上的高D=45°，sinB= 求BD长五、小结与反思：在RtABC中，C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的 ，记作 ，2 .sin30°= sin45°= sin60° 241锐角三角函数（2）锐角的余弦和正切年级：九年级 科目：数学 设计者：邓发全 审计

5、者：张运前【学习目标】1.掌握和理解余弦、正切函数的概念，能够运用cosA、 tanA表示直角三角形两边的比2.进一步体会锐角三角函数的定义，从而掌握锐角三种三角函数的变化规律重点：难点：【学习重点】理解锐角三角函数的意义，能用它们进行简单的计算【学习难点】一函数的角度理解正弦、余弦、正切【学习过程】一、创设情境：1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？2、如图，在RtABC中，ACB90°，CDAB于点D。已知AC=，BC=2，那么sinACD（ ）ABCD3、在RtABC中，C=90°，当锐角A确定时，A的对边与斜边的比是 ，现在我们要问：A的邻边与斜边的比呢？

6、 A的对边与邻边的比呢？为什么？二、自主学习与合作交流：1.探究：一般地，当A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：RtABC与RtABC，C=C =90o，B=B=，那么与有什么关系？2、教师点拨：类似于正弦的情况，如图在RtBC中，C=90°，当锐角A的大小确定时，A的邻边与斜边的比、A的对边与邻边的比也分别是确定的我们把A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即cosA=；把A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即tanA=3.例如，当A=30°时，我们有cosA=cos30°= ；当A=45°时，我们有

7、tanA=tan45°= 三、当堂检测1.在RtABC中，C=90°，BC=6，AB=10，求两锐角的三角函数值2. 在RtABC中，C=90°如果个边长度扩大到原来的2倍，那么A的正弦、余弦、正切有变化吗？说明理由四、巩固拓展1.在中，C90°，a，b，c分别是A、B、C的对边，则有（） ABCD 本题主要考查锐解三角函数的定义，同学们只要依据的图形，不难写出，从而可判断C正确.2. 在中，C90°，如果cos A=那么的值为（） ABCD分析? 本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。其思路是：依据条件，可求出；再由，可求出，从而，故应选D

8、.3、如图：P是的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4）， 则cos_. 4.（超越自我）在等腰中C90°，AC=6，D是AC上一点，若tanDBA=，求AD的长五、小结与反思：在RtBC中，C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即sinA=_ sinA_把A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作 ，即 把A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作 ，即 241锐角三角函数（3）特殊角的三角函数值年级：九年级 科目：数学 设计者：邓发全 审计者：张运前【学习目标】: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据

9、这些值说出对应锐角度数。: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能用它们进行计算【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程【学习过程】一、创设情境：一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？ 二、自主学习与合作探究：(一)自学提纲：两块三角尺中有几个不同的锐角？ 是多少度？ 你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？ （二）、自学检测：1 计算：+2sin60°=

10、_ 2计算：sin30º·cos30ºtan30º （结果保留根号）3在ABC中，A、B都是锐角，且sinA=，cosB=，则ABC的形状是（ ） A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D不能确定（三）、知识点归纳30°45°60°siaAcosAtanA三、巩固与拓展1：求下列各式的值 （1）cos260°+sin260° （2）-tan45°2：（1）如图（1），在RtABC中，C=90，AB=，BC=，求A的度数 （2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a四、当堂

11、检测1已知：RtABC中，C=90°，cosA=，AB=15，则AC的长是（ ） A3 B6 C9 D122下列各式中不正确的是（ ） Asin260°+cos260°=1 Bsin30°+cos30°=1 Csin35°=cos55° Dtan45°>sin45°3若（tanA-3）2+2cosB-=0，则ABC（ ） A是直角三角形 B是等边三角形 C是含有60°的任意三角形 D是顶角为钝角的等腰三角形4已知，等腰ABC的腰长为4，底为30°，则底边上的高为_，周长为_5设、

12、均为锐角，且sin-cos=0，则+=_6计算：（1） （2）7.(超越自我)如图，在ABC中，C=45°、B=30°，AC=2，求AB,BC五、小结与反思：本节课我的收获: 。281锐角三角函数（4）圆与三角函数九年级 科目：数学 设计者：邓发全 审计者：张运前OCBA一、选择题1.如图所示，点A,B,C在O上，<ACB=30°则sin<AOB的值是（ ）A .B .C .D. 2.如图是以ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上，过C作CDAB交AB于D，已知cos<ACD=0.6,BC=4,则AC的长为（ ）A.1 B. C. 3 D

13、. 3在ABC中，ACAB5，sinB=0.8,O过B、C两点，且半径r=,则O A( )A3或5 B. 5 C. 4或5 D 44如图，在半径为6cm的O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且,<D=30°,下列四个结论：OABC BC=6cm sin<AOB=四边形ABOC是菱形。其中正确的是（ ）A. B. C. D 二、填空题5.如图，AB是_O的直径，AB=15，AC=9，则tan<ADC=_6.如图，直线MN与_O相切于点M,ME=EF且EFMN,则cosE=_7,如图，在半径为5的O，弦AB=6，点C是优弧 上的一点,则cosC的值为_8.如图，在

14、直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BCP分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B,与AB交于点F,已知A(2，0),B(1，2),则tan<FDE=_9如图，AB是O的直径，CD是圆上的两点（不与A、B重合），已知BC2，tanADC，则AB_三、解答题10.如图，RTABC中,<C=90°,AC=,tanB=0.5,半径为2C,分别交AC,BC于点D,E,得到弧DE(1)求证：AB为C的切线（2）求图中阴影部分的面积。ABCOP(第11题图)11,如图，AB是O的直径，<ABT=45。AT=AB(1)求证：AT是O的切线（2）连接OT交O于点C,连接AC,求

15、tan<TAC的值12，如图AB是O的直径，CD与O相切于点C,与AB的延长线交于点D,DEAD且与AC的延长线交于点E(1)求证：DC=DE(2若tan<CAB=0.5,AB=3. 求BD的长12，如图，等腰三角形ABC中,AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作O交AB于点D,交AC于点G,DFAC于F,交CB的延长线于点E(1)求证：直线EF是O的切线（2）求cos<E13,如图，AB是O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDOA,交弦于点E,交O于点F,且CE=CB(1)求证：BC是O的切线（2）连接AF,BF，求<ABF(3)如果CD=15，BE=10，si

16、nA=求O的半径242解直角三角形（1）年级：九年级 科目：数学 设计者：金开芬 审计者：张运前【学习目标】: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯【学习重点】直角三角形的解法【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用【导学过程】一创设情境：1在三角形中共有几个元素？  2直角三角形ABC中，C=90°，a、b、c、A、B这五个元素间有哪些等

17、量关系呢？(1)边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.(2)三边之间关系  (3)锐角之间关系A+B=90° a2 +b2 =c2 (勾股定理)  以上三点正是解直角三角形的依据二、自主学习与合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子 三、教师点

18、拨：例1在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个三角形例2在RtABC中， B =35o，b=20，解这个三角形四、学生展示：补充题 1根据直角三角形的_元素（至少有一个边），求出_其它所有元素的过程，即解直角三角形2、在RtABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形3、 在ABC中，C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。 4、RtABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_，tanB=_5、在ABC中，C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=_6、在ABC中，C=90°，sinA=，则c

19、osA的值是（ ） A B C五、课堂小结：小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”六、作业设置：课本 复习巩固第1题、第2题七、自我反思：本节课我的收获: 。 课题：242解直角三角形（2） 年级：九年级 科目：数学 设计者：邓发全 审计者：张运前【学习目标】: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲

20、：1解直角三角形指什么？ 2解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：  (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：   tanA= 二、合作交流：仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6

21、400 km，结果精确到0. 1 km)例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本练习 第1 、2题五、课堂小结：六、自我反思：本节课我的收获: 。 年级 班级 姓名_ uuuuuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuu四中先学后教、当堂达标数学导学案年级：九年级 课 型：新授课 课题：242解直角三角形（3） 年级：九年级 科目：数学 设计者：邓发全 审计者：张

22、运前【学习目标】: 使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法: 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角叫做坡角结合图形思考，坡度i与坡角之间具有什么关系？  这一关系在实际问题中经常用到。二、教师点拨：例5如图，一艘海轮

23、位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求斜坡AB的坡面角，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本91页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=_；_，坡角_度2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)

24、，已知渠道内坡度为11.5，渠道底面宽BC为0.5米，求： 横断面(等腰梯形)ABCD的面积； 修一条长为100米的渠道要挖去的土方数  五、课堂小结：六、作业设置：课本 习题242复习巩固第5、6、7题七、自我反思：本节课我的收获: 。 年级 班级 姓名_ uuuuuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuu四中先学后教、当堂达标数学导学案年级：九年级 课 型：新授课 课题：锐角三角函数定义检测 ： 年级：九年级 科目：数学 设计者：邓发全 审计者：张运前学习要求理解一个锐角的

25、正弦、余弦、正切的定义能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值课堂学习检测一、填空题1如图所示，B、B是MAN的AN边上的任意两点，BCAM于C点，BCAM于C点，则B'AC_，从而，又可得_，即在RtABC中(C90°)，当A确定时，它的_与_的比是一个_值；_，即在RtABC中(C90°)，当A确定时，它的_与_的比也是一个_；_，即在RtABC中(C90°)，当A确定时，它的_与_的比还是一个_第1题图2如图所示，在RtABC中，C90°第2题图_，_；_，_；_，_3因为对于锐角a 的每一个确定的值，sina 、cosa 、tan

26、a 分别都有_与它_，所以sina 、cosa 、tana 都是_又称为a 的_4在RtABC中，C90°，若a9，b12，则c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_5在RtABC中，C90°，若a1，b3，则c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_6在RtABC中，B90°，若a16，c30，则b_，sinA_，cosA_，tanA_，sinC_，cosC_，tanC_7在RtABC中，C90°，若A30°，则B_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB

27、_，tanB_二、解答题8已知：如图，RtTNM中，TMN90°，MRTN于R点，TN4，MN3求：sinTMR、cosTMR、tanTMR9已知RtABC中，求AC、AB和cosB综合、运用、诊断10已知：如图，RtABC中，C90°D是AC边上一点，DEAB于E点DEAE12求：sinB、cosB、tanB11已知：如图，ABC中，AC12cm，AB16cm，(1)求AB边上的高CD；(2)求ABC的面积S；(3)求tanB12已知：如图，ABC中，AB9，BC6，ABC的面积等于9，求sinB拓展、探究、思考13已知：如图，RtABC中，C90°，按要求填空

28、：(1)_；(2)b_，c_；(3)a_，b_；(4)_，_；(5) _，_；(6)3，_，_ 学后反思 年级 班级 姓名_ uuuuuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuu四中学先学后教、当堂达标数学导学案年级：九年级 课 型：新授课课题：特殊锐角三角函数定义检测 年级：九年级 科目：数学 设计者：邓发全 审计者：张运前 学习要求1掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角2初步了解锐角三

29、角函数的一些性质课堂学习检测一、填空题1填表锐角a30°45°60°sinacosatana二、解答题2求下列各式的值(1)(2)tan30°sin60°·sin30°(3)cos45°3tan30°cos30°2sin60°2tan45°(4)3求适合下列条件的锐角a (1)(2)(3)(4)4用计算器求三角函数值(精确到0.001)(1)sin23°_；(2)tan54°5340_5用计算器求锐角a (精确到1)(1)若cosa 0.6536，则a _

30、；(2)若tan(2a 10°317)1.7515，则a _综合、运用、诊断6已知：如图，在菱形ABCD中，DEAB于E，BE16cm，求此菱形的周长7已知：如图，在ABC中，BAC120°，AB10，AC5求：sinACB的值8已知：如图，RtABC中，C90°，BAC30°，延长CA至D点，使ADAB求：(1)D及DBC；(2)tanD及tanDBC；(3)请用类似的方法，求tan22.5°9已知：如图，RtABC中，C90°，作DAC30°，AD交CB于D点，求：(1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD和tanB

31、AD10已知：如图ABC中，D为BC中点，且BAD90°，求：sinCAD、cosCAD、tanCAD11已知：如图，AOB90°，AOOB，C、D是上的两点，AODAOC，求证：(1)0sinAOCsinAOD1；(2)1cosAOCcosAOD0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而_；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而_12已知：如图，CAAO，E、F是AC上的两点，AOFAOE(1)求证：tanAOFtanAOE；(2)锐角的值随角度的增大而_13已知：如图，RtABC中，C90°，求证：(1)sin2Acos2A1；(2) 年级 班级 姓名_ uuuu

32、uuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuu四中先学后教、当堂达标数学导学案年级：九年 课 型：新授课 课题：解直角三角形(一)检测 年级：九年级 科目：数学 设计者：邓发全 审计者：张运前 学习要求理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型课堂学习检测一、填空题1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在RtABC中，C90°，ACb，BCa，ABc，第1题图三边之间的等量关系：_两锐角之间的关系：_边与角之间的关系：_；_；_；_直角三角形中成比例的线段(如图所示

33、)第小题图在RtABC中，C90°，CDAB于DCD2_；AC2_；BC2_；AC·BC_直角三角形的主要线段(如图所示)第小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的_，斜边的中点是_若r是RtABC(C90°)的内切圆半径，则r_直角三角形的面积公式在RtABC中，C90°，SABC_(答案不唯一)2关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_(其中至少_)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_或斜边和_)及已知一边和一个锐角(_和一个锐角或_和一个锐角)3填写下表：已知条件解法一

34、条边和斜边c和锐角AB_，a_，b_一个锐角直角边a和锐角AB_，b_，c_两条边两条直角边a和bc_，由_求A，B_直角边a和斜边cb_，由_求A，B_二、解答题4在RtABC中，C90°(1)已知：a35，求A、B，b；(2)已知：，求A、B，c；(3)已知：，求a、b；(4)已知：求a、c；(5)已知：A60°，ABC的面积求a、b、c及B综合、运用、诊断6如图所示，图中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图中AB、BC两段)，其中CCBB3.2m结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留

35、到0.1m)(参考数据：sin30°0.50，cos30°0.87，sin35°0.57，cos35°0.82)7如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)拓展、探究、思考8如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米

36、?(保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?9王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离?10已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)、 年级 班级 姓名_ uuuuuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuu四中先学后教、当堂达标数学导学案年级：九年级 课 型：新授课课题：解直角三角形(二)检测 年级：九年级 科目：数学 设计者：邓发全 审计者：