北京市西城区2019届高三4月第一次模拟考试数学理

1、-1 北京市西城区 2019 年高三一模试卷高三数学(理科)2(第I卷(选择题共 4040 分)一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题 5 5 分，共 4040 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项.1 1 已知全集U =R，集合A二x|0 :：x :：2,B =x|x -10，那么Af euB二(A A)x|0：x：1(B B)x|0：x 1(C C)x|1：x：2(D)x|1乞x：2a + i2 2.若复数-的实部与虚部相等，则实数a二2i(A A)-1( B B)1( C C)-2( D D)23 3 执行如图所示的程序框图若输出y一 -，则输入角八(A(A) )(

2、B(B) )(C(C)(D(D) )4 4从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A,B,C,D四项不同的工作，每人承担 一项.若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有(A A)60种(B B)72种(C C)84种(D D)96种/输人角弗|圳号)/-2 5 5某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（A A）6、.3（B B）12、.3（C C）12 2,3（D D）24 2、36 6.等比数列an中，ai0，则“ai. a3” 是“a：a6”的（A A）充分而不必要条件（B B）必要而不充分条件I*1 H-3 （C C）充分必要条

3、件（D D ）既不充分也不必要条件7 7.已知函数f （x） =log2X -2log2（x c），其中c 0.若对于任意的f （X） -1，则c的取值范围1（A）（咛（B B）I1,：）41（C）%& &如图，正方体ABCD - AB1CP中，P为底面ABCD上的动点，PE AC于E，且PA二PE，则点P的轨迹是（A A）线段（B B）圆弧（C C）椭圆的一部分（D）-4 第H卷(非选择题共 110110 分)二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题 5 5 分，共 3030 分.x =2COSG小9 9已知曲线C的参数方程为(为参数)，则曲线C的直角坐标方程为 _y =1

4、 +2si n a1010.设等差数列an的公差不为0，其前n项和是Sn若S2= S3，Sk= 0，则k =_1111.如图，正六边形ABCDEF的边长为1,贝U AC DB二1212如图，已知AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PC切圆O于点C,CD_OP于D若CD =6,CP =10,则圆O的半径长为_；BP =_.且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0=_1414 记实数X1,X2,IH,Xn中的最大数为maxx1,X2,IH,焉，最小数为min 洛兀1(, x*. .设厶ABC的三边边长分别为a,b,c，且abc，定义ABC的倾斜度为t =max- ,b,- min -, bCa

5、bbCCa(门若厶ABC为等腰三角形，则t=_ ;(ii)设a =1，则t的取值范围是_1313 在直角坐标系xOy中，点B与点A(-1,0)关于原点O对称点2P(x0,y0)在抛物线y -4x上,-5 A三、解答题：本大题共 6 6 小题，共 8080 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.15.(本小题满分 1313 分)n已知函数f(x) =si nx-acosx的一个零点是 一.4(I)求实数a的值；(n)设g(x f (x) f ( -x) 2x3sinxcosx，求g(x)的单调递增区间.16.16.(本小题满分 1313 分)某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如

6、下:组别乙男32*52现采用分层抽样的方法 (层内采用简单随机抽样) 从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测.(I)求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；(n)记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.17.17.(本小题满分 1414 分)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形， 面ABCD为等腰梯形，AB/CD,AB-2BC,ABC -60,AC _ FB.(I)求证：AC_平面FBC;(n)求BC与平面EAC所成角的正弦值； 6 (川)线段ED上是否存在点Q，使平面EAC_平面QBC?证明你的结论.18.18.(本小题满分 1313 分)已知函数f(x)

7、二ax-lnx，g(x)=eax3x，其中a R.(I)求f(x)的极值；(n)若存在区间M，使f (x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围.19.19.(本小题满分 1414 分)2 2x y如图，椭圆 牙=1(a b 0)的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A,B两点.当直a b线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60.(I)求该椭圆的离心率;(n)设线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点.记GFD的面积为S, OED(O为原点)的面积为S2，求的取值范围.S220.20.(本小题满分 1313 分) 7 已知集合Sn=X |X =(X1,X2,

8、 |l|,Xn),XjN*,i =1,2,川，(n -2).对于A=佝,丨1(),B = (b1, b2,|l(,bn) Sn,定义AB = (bi -ab2-a2,lH,bn -an)；n-8 ，a?, |(,an) =( a“ a?, a“)(R);A与B之间的距离为d(A, B) =、.：- b |-i=1(I)当n=5时，设A =(1,2,1,2,a5),B =(2,4,2,1,3)若d(A,B) =7，求a；(n) (i)证明：若A,B,C Sn, 且0，使頂BT，则d(A,B) d(BC) d#AC)T T(ii)设A,B,C Sn，且d(AB) d(BC) d(AC)是否一定 0

9、，使A3 = BC?说明理由；(川)记I = (1,1,11(,1) Sn若A,BSn,且d(l, A)二d(l, B)二p，求d(A,B)的最大值.北京市西城区 2019 年高三一模试卷2019.42019.4三、解答题：本大题共 6 6 小题，共 8080 分. .若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分1515.（本小题满分 1313 分）解：依题意，得f( )=0.1分4nn 2,2a即sin - a cos=-0,.3分4422解得a =1.5分解：由（I）得f (x) =sin x - cosx.6分9 9.x2y2-2y -3 =0;1010.5;11.11.1212.

10、15只,5;1313.1 .2;14142注:1212、1414 题第一问 2 2 分，第二问3 3 分. .6 6 小题，每小题 5 5 分,本大题共共3030 分. .-r -二、填空题:高三数学（理科）参考答案及评分标准、选择题: 本大题共8 8 小题，每小题 5 5 分,4040 分. .1 1. B B;3 3. D D ;4 4. B B ;5 5. C C;6 6. B B ;7 7. D D;n-9 g(x)二f (x) f (-x) 2 3 sin xcos x-10= (sin x cosx)( sin x cosx)：.：3sin 2x= (cos2x-sin2x). 3

11、 sin2x = cos2x、.3sin 2xn-2sin(2x) .1010 分6nnn由2kn2x 2kn262nn得kn x乞kn,k Z. . 1212 分36所以g(x)的单调递增区间为kn 上飞冗+冷,Z . 1313 分361616.(本小题满分 1313 分)(I)解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为(3 5): (2 2) = 2 :1 ,.1 1 分2所以，从甲组抽取的学生人数为兰3=2；3则啥=普唔，28(n)解：随机变量X的所有取值为Q.1,2,3.所以，随机变量X的分布列为：X0123P52825569283561111 分从乙组抽取的学生人数为-3h.3设“从甲组

12、抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为15C2C25P(xCh4莎，111 2 1P(X=1)=C3C5C2亘C42556P(x讣nCCCCP(X = 3) = C3G1010 分(川)解：线段ED上不存在点Q，使平面EAC_平面QBC证明如下:1010 分-11 31所以心庁二，1)，CA3,0,0),CBW).设平面EAC的法向量为n = (x,y,z)，则有CE =0,n CA=0.*31nxy亠z = 0,所以22取z = 1，得n n= (0, 2,1).、3x = 0.设BC与平面EAC所成的角为二，贝U si_| cos CB,n | =

13、|CB| n |525EX=0 -5 .1 25 .2 A .32856285641717.(本小题满分 1414 分)(I)证明：因为AB二2BC,. ABC =60,在厶ABC中，由余弦定理可得所以AC _ BC.又因为AC _ FB,所以AC_平面FBC.(n)解：因为AC_平面FBC，所以AC _ FC.因为CD _ FC，所以FC_平面ABCD.所以CA, CF ,CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C -xyz.6 6 分在等腰梯形ABCD中，可得CB =CD.设BC=1,所以C (0,0,0), AC，3,0,0), B(0,1,0), D(f1,3，2)，E(T1-丁).

14、AC = _ 3BC,n |12所以BC与平面EAC所成角的正弦值为5(川)解：线段ED上不存在点Q，使平面EAC_平面QBC证明如下:1010 分-13 当a乞0时，f (x)：0，故f (x)在(0, ：)上单调递减.从而f (x)没有极大值，也没有极小值.1当a 0时，令f (x) = 0,得x.af (x)和f (x)的情况如下：x x1 1(0(0，) ) a a1 1 a a(丄，代)a af f (x)(x)0+ +f(x)f(x)/ /假设线段ED上存在点Q，设Q(2t)(0土D，所以CQ=(f冷设平面QBC的法向量为m =(a,b,c)，则有J CBm CQ = 0.=0,b

15、 =0,I2所以彳1取c = 1,得m = (t,0,1)a b tc=0.32 21212 分要使平面EAC_平面QBC，只需m n = 0,1313 分It 00 2 1 1=0,此方程无解.、3所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC_平面QBC1414 分18.18.(本小题满分 1313 分)(I)解：f(x)的定义域为(0,：),f (x) =axax -1x1411故f(x)的单调减区间为(0,1;单调增区间为(丄，：).aa(川)解：线段ED上不存在点Q，使平面EAC_平面QBC证明如下:1010 分-15 1从而f(x)的极小值为f()=11 na；没有极大值.5 5 分a(n

16、)解：g(x)的定义域为R，且g (x aeax3.6 6 分3当a 0时，显然g (x)0,从而g(x)在R上单调递增.1由(I)得，此时f(x)在(一，：)上单调递增，符合题意. 8 8 分a4当a=0时，g(x)在R上单调递增，f(x)在(0,=)上单调递减，不合题意.9 9 分135当a : 0时，令g (x) =0,得x0= In(-).aag(x)和g (x)的情况如下表：x x( (- -0000, ,XQ)XQ(心+旳)g gr r(x)(x)0+g(x)g(x)/当-3二a：0时，x0辽0，此时g(x)在(x0,：)上单调递增，由于f (x)在(0,：)上单调递减，不合题意.

17、1111 分当a：-3时，X。7,此时g(x)在(-上单调递减，由于f(x)在(0,上单调递减， 符合题意.综上，a的取值范围是(：，-3)U(0, 7).1919.(本小题满分 1414 分)1313 分16依题意，当直线AB经过椭圆的顶点(0,b)时，其倾斜角为60.(I)解:F(-c,0),=tan 60 = . 3 c解得a = 2c.所以椭(n)解：由(I)，椭圆的方程可设为2x4 c22乂1213c2a-17设A(Xi,yJ,B(X2,y2)依题意，直线AB不能与x, y轴垂直，故设直线AB的方程为y =k（x c），将其代入2 2 2 2 2 2 2 2 23x 4y =12 c

18、，整理得(4k3)x 8ck x 4k c -12c 02020 （本小题满分 1313 分）5(I)解：当n=5时，由d(A,B)八，向-b| =7,im得|1 -2|2 -4|1 -2| |2 -1| 低-3| = 7，即& -3| =2由a N，得a5=1，或a5= 5.因为所以因为所以所以-8ck24k23GD _ AB,G(Vck24k233ck)4k23)3ck4k：3_ k = _1,-4ck22xD4k23DGFD OED,5152(-4ck2|GD |2(2二|OD |2ck24k23-ck2、23ck )22 2丿(2丿(3ck2)2(3ck)29c2k49c2k2

19、(ck2)2c2k4=9I99的取值范围是（9,=） S28 8 分9 9 分1111 分1313 分1414 分-18(n) (i)证明：设A =，a2,lI(,a.),B - (b1,b2 JH,bn),C = (G,C2I(,Cn)因为0，使AB = BC,-19所以二.:.-0，使得(0 ai, b2 a2 Jit 0 an ) =，(G D,C? 2 j ) ( , C* ), 即0， 使得bi (G-b)，其中i =1,2JI|,n.所以$ -耳与q -b (i =12 IH，n)同为非负数或同为负数.nn所以d(代B) d(B,C)=為旧-bi|一|iji z!n八(|b y|

20、g-bil)i 4 n八|Ci y|=d(A,C)i 4(ii)解：设A,B,CSn，且d(A,B) d(B,C) =d( AC)，此时不一定0,使得AB Y；BC反例如下：取A =(1,1,1川,1),B =(1,2,1,1山1),C(2,2,2,1,1J|，1),则d(A,B)=1,d(B,C)=2,d(A,C) =3，显然d(A,B) d(B,Cd(代C)n(川)解法一：因为d(A, B) =|bi- a |,设bi-ai(i =1,2|, n)中有m (m _ n)项为非负数，n-m项为负数.不妨设i=1,2|l,m时b -a0；i=m+1,m+2|l, n时，biq v0.n所以d(A, B)=送| b alim珂(bb2|l( bm)-(印a2川am)(am1am 21丨1 an)-(bm1bm2川bn)因为d(l, A)二d(l,B)二p,nnnn所以二佝一1)二v(bi-1),整理得二4二bi