最新重点小学的奥数同余问题

1、同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在 时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是 24小时， 5224 = 24,也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7 时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放 在余数上了。1 .同余的表达式和特殊符号37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”，37、44对于模 7同余。记作：37 =44 （mod7“三”读作同余。一般地，两个整数a和b,除以大于1的自然数m所得的余数相同，就 称a、b对于模m同余，记作：口三6（mod2 .同余的性质（1）a三。（

2、mod制）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）（2）若"b（mQd冲，那么（这称作同余的对称性）（3）若口三NmodM,方三贝口三4mod冲（这称为同余的 传递性）（4）若白三b（modM,。三d（mod冲，则口±。三狂d（mod然）（这称 为同余的可加性、可减性）口"三bxdgod/）（称为同余的可乘性）（5）若。三b（mod,则/三始（mod耀），n为正整数，同余还有一个 非常有趣的现象：如果一工：.那么制。一团(白-A的差一定能被k整除) 这是为什么呢？&a = 2>(mod t)a = +aA , 仇二弓)b = 33 +qa-b =

3、 kqx +/i T 用口 +r2)二树i 十八一化矽一弓=孙一皿= kgqjk也就是幼、口的公约数，所以有 雄(90)H T)下面我们应用同余的这些性质解题。【例题分析】例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然 数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以0(412-电，码412-257), 口|(257-陶,说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。(155, 124, 279) = 31所以a最大是31。例2. 249x3懦*234除以19,余数是几？分析与解答:

4、如果把三个数相乘的积求出来再除以19,就太麻烦了，利用同余思想解 决就容易了。249 = 2(mod 19)383 = 8(mod 19)234 三 6(mod 19)234x 388x249 6 x8x 2(modl9)6x8x2 = l(modl9)所以- 2-4 】二：此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。2222 .一 #例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2, 1997个2 这个数除以13,商 的第100位是几？最后余数是几？分析与解答：2222 S / 1997个2这个数除以13,商是有规律的。2222访? -1M70940170940商是170940六个数循环，那么 100

5、+6 = 164 ,即 1QQ 三4(mod6), 我们从左向右数“ 170940”的第4个数就是我们找的那个数“ 9”，所以商的第 100位是9。余数是几呢？2222w 9972 方=170940170940皿1996-6 = 332.4则11:-二：,”所以商的个位数字应是“ 170940”中白第4个，商应是9,相应的余数 是5。【模拟试题】(答题时间：20分钟)1.求下列算式中的余数。1111222,2X-¥、1/(1) 1997个 1 r(2) 1997个 2 门3333S /(3) 1997个 3 M3(4)44441997个4 M32 . 6254与37的积除以7,余数是

6、几？3 .如果某数除482, 992, 1094都余74,这个数是几？同余问题(二)【例题分析】例1. 1997.除以7,余数是几？分析与解答：01997+7= 2852A 1997= 2(mod7)1997100 = 2m(mod7)性质 521 = 2(mod7)2a - 4(mod7)23 三 l(mod7)1997100 = 23 x23 x23 xx23x21s 1 x 1 x 1 x * *- x 2=2 (mod 7).1997UB=2(mod7)例2. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余1,这个自然数最小是几？分析：假设这个自然数为a那么 ，； "a 三 3(

7、mod5)a£l(mod7)这道题考虑的困难是它们的余数不相同。如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了, 先看下面一道题：一个自然数除以3余2,除以5余2,除以7余2,那么，这个自然数若减去2,便同时是3, 5, 7的倍数，这样的自然数有：105, 210, 315,分别被3, 5, 7除余2的数是2, 107, 212, 317,最小的自然数是2。回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？稍加变式，可以写成：a = 5 8(mod3)a = 8(mod5)aE3(mod7)这样同时是3, 5, 7倍数的数有105, 210, 315,那么同时被

8、3, 5, 7余8的数有：8, 113, 218, 323,其中最小的自然数为8。例3.在求51173526被7除的余数时，小明这样做：511 乃526T51126 今 2126 T5所以余数是5刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗?分析与解答：看了下面的算式，你就会明白的。51173526= 51100026 + 70000 + 3500=49000000 + 2100026+70000 + 3500=49000000 + 2100000 +70000 + 3500 + 21+5=7的倍数+5小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于 用几除的余

9、数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分， 简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。例4. 1 + 22 +33+寸+53 +7'+直+承除以3的余数是几?为什么？分析与解答：在上式的加项中，3% 6、产显然可以被3整除，因此只须计算1 +于+4* + 5$ +7 +即被3除余数是几。由于 二口卜5三 8三 2(mod3)因此/=1* = l(mod3)7,三三l(mod3)5$ 三 23mod3)83 = 2® (mod 3)由此可知，只须计算1 + 2°+1 + 25+1+28被3除的余数，它又等于23。(1+2?+2")被3除

10、的余数。由于2、如眼,所以22x3+23 + 2%lx(l+2+l)l(mod3J所以余数是1【模拟试题】1 .今天是星期日，再过365涮天又是星期几？2 .求2002抽除以3所得的余数。3 .某数除680, 970和1521,余数相同，这个数最大是几？4 .有一列数排成一行，其中第一个数是 3,第二个数是7,从第三个数开始，每 个数恰好是前两个数的和，那么，第 1997个数被3除，余数是几？5 .若将一批货物共3承千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？若每 箱装17千克，最后还余多少千克？6、1309被一个质数相除，余数是 21,求这个质数。7、1796被一个质数相除，余数是 24,

11、求这个质数。8、求2001 X 2000除以7的余数。9、求 123X 345+234X456 除以 11 的余数。10、有一个大于1的整数，它除1000、1975、2001者B得到相同的余数，那么这个整数是多 少？11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。12、两个自然数相除，商 15,余3,被除数、除数、商、余数的和是853,求被除数。8、两数相除商40余7,被除数、除数、余数和商的和是710,求被除数。13、有一个数除以 3余1,除以4余2,问这个数除以12,余数是几?14、一个数除以5余1,除以6余3,除以7余4,这个数最小是几?15、386

12、7X4253= 1644D351,求口里的数。4937 X 6845= 3379口 765,求口里的数。16、两个自然数相除，商 8余16,被除数、除数、商与余数的和为265,求除数是多少?17、写出除以8所得的商和余数（不为 0）相同的所有的数。18、2002X2002-2001除以9的余数是多少?19、当2002和1781除以某一个自然数，余数分别是2和1,那么这个数最大是多少?20、一个数除以17的余数是5,被除数扩大2倍，余数是多少?21、有一个数，除以 3余数是1,除以4余数是3 。这个数除以12,余数是多少。22、570被一个两位数除，余数是 15,这个两位数是多少?23、有一个数

13、加上 22的和被9除余3,这个数加上35的和被9被余几？B组24、有一个整数，用它去除 45, 53, 143得到的3个伤痕的和是20,这个数是多少?25、有一个数用它去除 100,余数是1,用它去除50,余数是6,求这个数。26、把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个每份4个余3个。这堆苹果共有多少个？27、有一个数被5和11整除均余4,被3正好整除，这个数最小是几?28、求被4除余2,被6除余2,被9除余5的两位数。29、一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余7,这个数最小是几?30、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱， 第一组6.3元，第二组

14、7.7元，第三组6.3元，第四组9.1元，又知道每本练习本价格都超过 1角，求数学学习 小组共有多少人？（提示：练习本单价是总价的公约数。）31、五年级两个班的学生一起排队出操， 如果8人排一行，多出一个人；如果 11人排一行， 同样多出一个人。这两个班最小共有多少人？（提示：如果减去一人那么人数就能被8和11整除了。）32、一个数被4除余3,被5除余4,被6除余5,这样的数中最小的是几？（提示：余数 与除数有什么关系？）33、一筐苹果，如果按 5个一堆放，最后多出 3个；如果按6个一堆放，最后多出 4个；如 果按7个一堆放，还多出1个；这筐苹果至少有多少个？（提示：先满足被 7除余1,再从

15、中找出被6除余4）竞赛题精选1、若2836, 4582, 5164, 6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为（）。（2001小学数学奥林匹克试题决赛B卷）2、一个自然数除以 3余2,除以5余2,除以7余5,除以9余5,除以11余4,则满足这些条件的最小自然数是（）。（1996年我爱数学少年冬令营试题）3、某数除以11余8,除以13余10,除以17余12,那么这个数的最小可能值是（1998年小学数学奥林匹克试题预赛A卷）。（1998 年小4、一个小于200的数，它除以11余8,除以13余10,那么这个数是（学数学奥林匹克试题预赛B卷）5、在一道有余数的除

16、法算式中，被除数、除数，商和余数的和是599,已知商是15,余数是12,请问，题目中的除数是多少？（厦门实小2000-2001学年第二学期数学科竞赛卷 B组）提高训练同余问题-1、求437X309X1993被7除的余数。2、求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位数.3、分别求满足下列条件的最小自然数(1)用3除余1,用5除余1,用7除余1(2)用3除余2,用5除余1,用7除余1(3)用3除余1,用5除余2,用7除余24、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数.这个整数是几？5、今天是星期四，过14389天后是星期几?6 .试一试：粮库有771千克大米，用每袋50千克的袋子装

17、，最后余下多少千克?n.7、数2001, 2232除以整数n,得到相同的余数，而且这个余数是合数，求8、用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.9、若2836, 4582, 5146, 6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且 为两位数，除数和余数的和为多少？10、有三个不同的三位数，它们分别除以 a ,得到的余数相同而且是最大二位 偶数，当a为两位数时，这三个数最小的和是多少？11、某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一 列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人 结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？12、希望小学六年级和五年级去春游， 每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩 下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年 级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍 36张.全部学生照相完 毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？13、甲、乙、丙、丁四个学校分别有 69人