专题一：等腰三角形地存在性问题

1、实用文档专题训练一等腰三角形的存在性问题专题攻略如果 ABC是等腰三角形，那么存在 AB=AC,BA= BC,CA = CB三种情况。已知腰长(两定一动)：分别以两腰的顶点为圆心，腰长为半径画圆；已知底边(两定一动：)画底边的垂直平分线。解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合， 可以使得解题又好又快。几何法一般分三步：分类、画图、计算。代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验。针对训练1、如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知点D在坐标为(3, 4),点P是x轴正半轴上的一个动点，如果 DOP是等腰三角形，求点 P的坐标。文案大全2、如图，直线y=3

2、x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C (3,0).(1)、求A B的坐标； (2)、求抛物线的解析式；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.3、如图，在矩形 ABCD中，AB=6, BC=8,动点P以2个单位/秒的速度从点 A出发，沿AC向点C移 动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点 C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点 时则停止运动。在 P、Q两点移动过程中，当 PQC为等腰三角形时，求 t的值。4、如图，直线y=2x+ 2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P

3、是x轴正半轴上的一个动点，直线 PQ 与直线AB垂直，交y轴于点Q,如果 APQ是等腰三角形，求点 P的坐标.5、如图所示，矩形 ABCD中，AB=4 , BC=4 73 ,点E是折线段重合)，点P是点A关于BE的对称点.在点 E运动的过程中，使 PCB为等腰三角形的点 E的位置共有()个。A、2 B、3 C、4 D、56、如图，在 ABC中，AB=AC=10, BC=16, DE = 4.动线段 DE (端点D从点B开始)沿BC以每秒1个单位长度的速度向点 C运动，当端点E到达点C时运动停止.过点E作EF/AC交AB于点F (当点E 与点C重合时，EF与CA重合)，联结DF ,设运动的时间为

4、t秒(t>0).(1)直接写出用含t的代数式表示线段 BE、EF的长；(2)在这个运动过程中， DEF能否为等腰三角形？若能，请求出 t的值；若不能，请说明理由；(3)设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积.7、如图，点 A在x轴上，OA=4,将线段OA绕点。顺时针旋转120°至OB的位置.(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在, 求点P的坐标；若不存在，请说明理由.5. （11湖州24）如图1,已知正方形 OABC的边长为2,顶点A

5、、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC 的中点.P（0,m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点 D.（1）求点D的坐标（用含 m的代数式表示）；（2）当 APD是等腰三角形时，求 m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与 x轴正半轴交于点 巳过点O作直线ME的垂线，垂足为H （如图2）.当 点P从。向C运动时，点H也随之运动.请直接写出点 H所经过的路长（不必写解答过程）.图1图26. (10南通27)如图，在矩形 ABCD中，AB=m ( m是大于0的常数)，BC=8, E为线段BC上的动点 (不与B、C重合).连结DE,作EF± DE, EF与射线BA交

6、于点F,设CE=x, BF=y.(1)求y关于x的函数关系式；(2)若m=8,求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？12(3)右y=，要使 DEF为等腰三角形，m的值应为多少?两年模拟7. (2012年福州市初中毕业班质量检查第21题)如图，在 ABC中，AB = AC=10, BC=16, DE = 4.动线段 DE (端点D从点B开始)沿 BC以每秒1 个单位长度的速度向点 C运动，当端点E到达点C时运动停止.过点 E作EF/AC交AB于点F (当点E 与点C重合时，EF与CA重合)，联结DF ,设运动的时间为t秒(t>0).(1)直接写出用含t的代数式表示线段 BE、EF的长；(

7、2)在这个运动过程中， DEF能否为等腰三角形？若能，请求出 t的值；若不能，请说明理由；(3)设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积.8 .(宁波七中2012届保送生推荐考试第 26题)如图，在平面直角坐标系 xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB =3,BC= 23 ,直线又一 23经过点C,交y轴于点G.(1)点C、D的坐标分别是C (), D ()；(2)求顶点在直线 y= *r3x -2<3上且经过点c、d的抛物线的解(3)将(2)中的抛物线沿直线 y=痴x-2、万平移，平移后的抛物F,顶点为点E (顶点在y轴右侧).平移后是否存在这样的抛物

8、线， 腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.自编原创析式；线交y轴于点使 EFG为等9 .如图，已知 ABC中，AB=AC=6, BC= 8,点D是BC边上的一个动点，点 E在AC边上，/ ADE =/ B.设BD的长为x, CE的长为y.(1)当D为BC的中点时，求CE的长；(2)求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围;(3)如果 ADE为等腰三角形，求 x的值.备用图参考答案：1.因为D (3, 4),所以OD = 5, COS/DOP如图1,当PD=PO时，作PELOD于E.» A 上一 OE 3 -5“ 25在 RtOPE 中，cos/DOP

9、=,OE=，所以 0。= 一. OP 526此时点P的坐标为（竺0）.6如图2,当OP=OD=5时，点P的坐标为（5, 0）.如图3,当DO=DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点 P的坐标为（6, 0）.第1题图1第1题图2第1题图32.在 RtABC 中，AC = Jab2 +BC2 = J62 +82 =10.因此 cos/ACB = 4 .510如图1,当CP =CQ时，t =10 2t ,解得t =10(秒).31 一 _如图2,当QP =QC时，过点Q作QMXAC于M,则CM = =- PC =5t2在 RtAQMC 中，cos/QCM 4-=-=二,解得 t ="(秒

10、).5 CQ t91. 一 1如图3,当PQ =PC时，过点P作PNLBC于N,则CN=QC= t .2. 2在 RtAPNC 中，COS/PCN =4=CN =-2一，解得 t =80（秒）. 5 CP 10-2t21综上所述，当t为10秒、25秒、80秒时，APQC为等腰三角形.39213. 由 y=2x+ 2 得，A(-1 , 0), B(0, 2),所以 OA=1, OB=2.如图，由 AOBAQOP 得，OP : OQ = OB : OA=2 ： 1 .设点Q的坐标为(0, m),那么点P的坐标为(2m, 0).因此 AP2=(2m+1)2, AQ2=m2+1, PQ2= m2+(2

11、m)2= 5m2.当ap = aq时，AP2=AQ2,解方程(2m+ 1)2=m2+1,得m=0或m = '.所以符合条件的点 P不存3在.当 pa= PQ 时，PA2=PQ2,解方程(2m + 1)2=5m；得 m = 2 ± J5.所以 P(4+2j5,0)1当 QA=QP 时，QA2=QP2,解万程 m2+1=5m2, 得m = ±5.所以 P(1,0).第3题图4. (12 临沂 26)(1)如图，过点 B作BCy轴，垂足为C.在 RtOBC 中，/ BOC=30° , OB = 4,所以 BC=2, OC=2j3.所以点B的坐标为(-2,-2J3

12、).(2)因为抛物线与x轴交于0、A(4, 0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),代入点 B(-2,-2悯，-2j3 = -2ax(-6).解得 a =3.6所以抛物线的解析式为y =_Y3x(X_4)=Y3X2 +也 X.663(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2, y).当 OP=OB=4时，OP2=16.所以 4+y2=16.解得 y=12，3.当P在(2, 2J3)时，B、0、P三点共线.当 BP=B0=4 时，BP2=16.所以 42+(y+2j3)2 =16 .解得 y1=y2=2百.当 PB=PO 时，PB2=P02.所以 42+(y+2石)2 =22+y2

13、 .解得 y = -273 .综合、，点 P的坐标为(2, 2、/3) .5. （11 湖州 24） （1）因为 PC/DB,所以 CP =_PM JMC =1 .因此 PM = DM, CP=BD=2-m.所以 AD BD DM MB=4m.于是彳#到点 D的坐标为（2, 4-m）.（2）在 APD 中，AD2 =（4 -m）2, AP2 =m2 +4 , PD2 =（2PM ）2 =4+4（2 -m）2.当 AP = AD 时，（4m）2=m2+4.解得 m =0 （如图 1）.2当 PA= PD 时，m2 +4 4 +4（2 一m）2.解得m=4 （如图2）或m=4 （不合题意，舍去）.

14、3当 DA=DP 时，（4 m）2 =4+4（2 m）2.解得m=2 （如图3）或m=2 （不合题意，舍去）.3综上所述，当 APD为等腰三角形时，m的值为3, f或2.233第5题图1第5题图2第5题图3另解第(2)题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如图1,当AP=AD时，AM垂直平分 PD,那么 PCMsMBA.所以或=MB=1.因此pc=1, m=3.CM BA 222如图2,当PA=PD时，P在AD的垂直平分线上.所以DA = 2PO.因此4m=2m.解得m . 3(3)点H所经过的路径长为 Y5兀.思路是这样的：4如图4,在RtAOHM中，斜边OM为定值，因此

15、以 OM为直径的。G经过点H,也就是说点 H在圆弧上 运动.运动过的圆心角怎么确定呢？如图 5, P与。重合时，是点H运动的起点，/ COH = 45° , / CGH = 90° .6. (10 南通 27)(1)因为/ EDC与/ FEB都是/ DEC的余角，所以/ EDC = / FEB.又因为/ C=/B=90° ,所以 DCEsebf.EB 口. m 8 - x，即一=BF x y 1c 8整理，得y关于x的函数关系为y = x2 +x.m m1 212 c(2)如图 1,当 m=8 时，y = x +x = (x 4) +2. 88因此当x=4时，y取

16、得最大值为2.(3)若 y =12，那么 12 = - -x2 +8x ,整理，得 x2 -8x + 12 =0 . m m m m解得x= 2或x= 6.要使 DEF为等腰三角形，只存在 ED = EF的情况.因为 DCEs EBF,所以 CE=BF,即 x = y.m=6 (如图2)；得将x = y = 2代入ymm=2 (如图解得t =156.25如图3,当FD = FE时,第7题图1第7题图2第7题图357. (1) BE=t +4, EF =5(t +4) 8(2) ADEF 中，/ DEF=/C 是确定的.4 (t 4)如图1,当DE=DF时，匹=变，即3 =_8AB BC 101

17、6如图2,当ED=EF时，4=5(t+4)-解得t=12. 85(t 4) 10 一, 一FE ,即8=10 ,解得t =0 ,即D与B重合.DE BC416(3) MN是4FDE的中位线，MN/DE, MN = 2, MN扫过的形状是平行四边形. 如图4,运动结束，N在AC的中点，N到BC的距离为3;如图5,运动开始，D与B重合，M到BC的距离为2 .48. (1) C(4,2 我，D(1,273).(2)顶点E在AB的垂直平分线上，横坐标为 5，代入直线y= J3x -2V3 ,得y2设抛物线的解析式为y =a(x -5)2 +农，代入点C(4,2而),可得a =丝. 223所以物线的解析

18、式为（3）由顶点E在直线y= V3x -2V3±,可知点G的坐标为（0,二1）,直线与y轴正半轴的夹角为 30° ,即/ EGF = 30° .设点E的坐标为（m,邪m_2耳）,那么EG=2m,平移后的抛物线为 y =2叵（x_m）2+J3m 帝.所以点F 的坐标为（0,竽m2 +商_2向.如图 1,当 GE=GF 时，yFyG=GE=2m,所以 22L3m23m =2m .3解得m= 0或有_3 . m = 0时顶点E在y轴上，不符合题意.2此时抛物线的解析式为 y =R3（x_T3+3）2 +3逮. 322如图2,当EF=EG时，FG = 2j3xE,所以苑 m2+J3m =2 J3m.解得m= 0或2 . 32此时抛物线的解析式为 y =2_2（x _32 .色. 322当顶点E在y轴右侧时，/ FEG为钝角，因此不存在 FE=FG的情况.第8题图1第8题图289. (1)当 D 为 BC 的中点时，ADXBC, DEL AC, CE=?.3(2)如图 1 ,由于/ ADC =/ ADE + / 1