应试教育模式的非线性哲学解

1、应试教育模式的非线性哲学解读这是我拟在非线性哲学简介一书中发表的一篇文章的草稿，供有兴趣的朋友参考和批评。中国教育的应试教育模式是否应该改变,已经在很大的范围内引起争议,这篇文章旨在从哲学角度对此作个探讨。朋友：应试教育模式已经成为我国占统治地位的教育模式，但是应试教育模式在我国简直就像老鼠过街，人人喊打。奇怪的是，应试教育模式却始终牢固的占领着我国的教育阵地，素质教育、因材施教、启发讨论式等其他教育模式还是只能处于陪衬的地位。你能分析一下，这是为什么吗？商：我可不同意老弟说的，应试教育模式已经像过街老鼠人人喊打了。老弟不如先谈谈，应试教育模式有哪些弊端啊？朋友：我不是搞教育的，但是作为一名家

2、长，我觉得应试教育模式的弊端是显著的。我的第一个感觉是，在应试教育模式下，教师采用题海战术，学生的负担太重、压力太大，学习的效率不高；第二个感觉是，学生的学习方式采用死记硬背比较多，学到知识都是死的课本知识，学知识的目的就是应付考试，很多强记的内容，考试考完后，就忘记了。小孩的实际思考问题和处理问题的能力很差；在生活中碰到实际问题时，尽管与他在学习的知识只有很小的差异，他也不会变通处理。商：你能举个例子吗？朋友：可以啊。我喜欢养鱼，退休以后，就打算在院子里挖一个鱼池。我把读初中的孙子叫过来，布置他一个任务，就是计算一下做这个鱼池大概需要多少钱。我告诉他，鱼池的直径5米，要做一条40高、40宽的

3、围堤，因为围堤上面要坐人，所以围堤的截面要做成梯形，下面的边要50宽。我先要他计算出，这个鱼池挖多少深，才能让挖出的土正好能堆这样一条围堤，然后要他算出一共需要多少块瓷砖，才能把围堤和鱼池都铺满。这小子平时在班级里的学习成绩是数一数二的，拿到这个任务，居然觉得无从下手。我问他，做这道题有什么需要用到的知识没有学过吗？他说没有，这些知识都学过，但是不知道做这道题如何下手过了几天，承包工程的公司拿来了图纸、预算、和报价，文本做得很规范。一个星期六的下午，我叫小孙子过来，让他在我的点拨下，根据图纸和工程公司的预算，由他逐条计算和核对工程公司提供的土方数、所需材料的数量、单价、总价是否合理。小孙子指着

4、其中一项瓷砖的预算跟我说，这些瓷砖我不知道是用在哪里的，会不会是工程公司多报了预算。我告诉他，这是一种圆弧形的瓷砖，是用于铺在池底和池壁的接缝处的。从理论上讲，这个接缝可以由池壁和池底直接相交形成，但是这样形成的接缝容易渗水，也因为两者的夹角为90°，会形成清扫的死角，很难清洁，容易积污垢，滋生病菌；在接缝处用上这种圆弧形的瓷砖后，池壁与池底的接缝成为圆弧形，就容易清洁了搞了两个多小时，小孙子总算逐条校核了工程预算，我叫他在同意预算和报价的签字栏中，签下了他的名字，他得意极了，似乎觉得自己就是一个工程师了！有趣的是，第二个星期六，家里来了好几个小孙子的同学，原来，他们都各自完成了这道

5、校核鱼池工程预算的题目，他们是来请小孙子检查，答案是否对的！商：哈哈哈哈，你家小子肯定在班级里吹牛了，不过像这样搞一次实际计算，他对学到的知识的理解会很深，也不容易忘记了。朋友：是啊，其实以前我们小时候读书时，会参加各种课余活动小组，经常会参与一些生活中碰到的实际问题的计算。我经常告诉孙子，我们那时读书可不像他们现在读书那么死板。商：老弟，请你客观的回忆一下，你能说我们读书时的教育模式不是应试教育模式吗？朋友：仔细想想，好像那时也是应试教育模式，家长、老师、和我们自己最关注的，也是考试成绩。但是那时读书总觉得没有现在的孩子那么累。商：那是因为人类社会的进步，不仅各门学科积累的信息量越来越多，连

6、学科也在不断增加，小孩要掌握的知识越来越多的关系。尽管现在考试的时间和考卷上题目的量与我们那时考试的差别不大，但是，现在的小孩比我们那时读书要苦得多，因为我们那时的考题，基本能够覆盖（遍及）我们学过的内容；现在由于学习的内容太多，考题却受考试时间的限制，只能在学生学过的内容中抽取部分内容作为考核内容，问题是学生无法知考题道课题抽取那些内容，所以他们很苦，要把学过的东西都记住，以应对每一次考试。朋友：是啊，小孙子在读的书已经比我那时读的要多，再加上一大堆课外辅导教材和海量的考试复习题，我看着头都晕了！应试教育模式真是害人啊！老兄能从非线性哲学的角度来分析一下应试教育模式的弊病吗？商：哈哈哈哈，老

7、弟不要失望啊，我从非线性哲学角度来分析应试教育模式后，得出的结论是应试教育模式不会改变，因为它的存在有内在的合理性。朋友：老兄这次一定是发烧了！我们平时在谈及现在的教育问题时，你的意见最多，而且有个非常显著的特征“从骨子里看不惯现在的教育现状”，怎么今天突然变成肯定应试教育模式了！？商：不要激动，我们慢慢分析。首先，我们回顾一下我在第一本书中说的观点：思维是需要工具的，人类社会的进步史，从某种程度上讲，就是人类创造的各类工具的进步史。不用代步工具，现代人的行走能力不见得比原始人有什么提高；不用思维的工具，现代人的智力也不见得比原始人有多大提高。把一群现代婴儿放到原始部落里长大，他们的生存能力不

8、会比原始部落里的婴儿强。这点你同意吗？朋友：这个观点我同意。因为思维工具是不能遗传只能继承的，小孩继承的知识来自大人的教育，原始部落的大人只能教小孩原始的知识，不会教小孩数学几何物理他们当然就无法掌握现代的知识了。商：很好啊。我的第二个观点，就是“两点一直线”的线性理论（思维工具）是两点间一切曲线（非线性理论）的线性特例，是确定性的和唯一的，因而毫无悬念的被人类选用，作为全球人类交流思维的工具。朋友：这个观点我也同意，因为事实摆在这里，尽管人类社会在不发达的发展阶段，不同地区、不同国家、不同民族都有各自不同的计数办法、计量单位、各类标准但是随着人类社会的发展和进步，现在全球已经建立了一套统一的

9、标准、协议、坐标系、货币交换系统它们都是严格遵循线性理论的，也是可以精确转换的。而非线性理论由于不是唯一的和确定性的（两点间可以有无数条曲线），所以我们不能用非线性理论来作为全人类交流思维的基本工具。商：是啊，我可以再举个例子来说明：欧氏几何是所有非欧几何的线性特例，是唯一的平面几何，因而被全球所有国家都用于作为几何学的标准教材。这个教材已经被延用了两千年，还会继续被延用下去。但是在学习相对论的时候，欧氏几何是不适用的，适用的是黎曼几何，所以要学习或交流有关相对论的知识，必须首先掌握黎曼几何的知识。很多人不理解相对论，实际上就是因为他学习和掌握的是欧氏几何知识，在他的几何概念中，两点间最短的距

10、离是直线、三角形内角之和是180°，是3.1415，但是黎曼几何却告诉我们，两点间最短的距离是“测地线”、三角形内角之和大于180°、圆周率小于而罗氏几何却告诉我们，三角形的内角之和小于180°、圆周率大于、两点间最短的距离也是“测地线”，但是与黎曼几何不同的是，黎曼几何的测地线的曲率0，罗氏几何的测地线的曲率0所以我们如果用非线性理论作为全球交流思维的工具，事前必须先统一规定用哪一种非线性理论，否则很容易乱套，因为非线性理论不是唯一的确定性的理论。所以我的第三个观点，就是任何发达社会的婴儿，都必需重蹈人类发展思维工具的覆辙，都必需从学习数数、加减乘除开始，再学习

11、几何、物理、代数、高等数学、高等物理、量子力学、相对论、非线性自然科学也就是说，不管社会如何发达，哪怕一万年以后，人类已经发展出现在难以想象的先进理论，那时出生的婴儿，还是要从数数、加减乘除、欧氏几何等线性理论开始学习，还是要重蹈共性人认知世界的覆辙，你同意我的这个观点吗？朋友：同意，这是明摆着的，小孩不学这些，是无法与社会上其他人沟通和交流的，也无法用这些线性理论作为思维的基本工具，去进一步掌握其他非线性的理论的。共性人和个体人对世界的认知，都是从线性到非线性，从简单到复杂的，从静态到动态的。商：我的第四个观点，就是线性理论是确定性的理论，是严密遵循形式逻辑的理论，因此，线性理论是确定性的、

12、可逆的、可线性分割和叠加、可精确复制因而线性理论最容易被理解和推广。你同意我的这个观点吗？朋友：这也是明摆着的啊，全世界任何地方的人，如果在做同一道数学题或者几何题时，得出的答案一定是相同的。所以如果举行全球性的数学或物理竞赛，全球使用统一的考题，那么，不管参与竞赛的人来自什么国家或地区、属于什么民族、用什么语言他们做考题的答案只要是正确的，就一定都相同，或者可以互相精确转换，因此评分的标准可以精确的统一。商：说的对，也就是说，线性理论的唯一性和确定性，决定了对线性理论进行考核的题目，答案一般都是精确确定的，或者是可以精确转换的。因此，我们在考核学生的学习结果时，判断学生学习结果的唯一依据，就

13、是答案（充其量加上运算步骤）。我们给出考分的依据，就是考生的答案与标准答案的符合率这就是应试教育模式存在的内在原因。你同意吗朋友：等一下，你好像又在搞鬼了？如果我说是这样的，那就意味着考生只要能背出题目和答案，那么不管他是否理解和掌握相关知识，他的考分一定是高的如果我说不是这样，我也实在没有办法证明这个说法不对，因为线性理论的答案就是确定性的。商：是啊，如果有两个考生，一个是完全理解了相关知识，在看到题目后，利用自己掌握的知识，经过分析和逐步演算后，得到了正确的答案，与一个完全不掌握相关知识，但是能背出答案的考生，仅根据答案，两者是难以被考官区别的。我们甚至可以这么说，如果一个由数字计算机作为

14、“大脑”的机器人参加同样的考试，由于机器人可以储存所有的线性理论公式、解题过程、标准答案，所以机器人的考分一定是最高的。朋友：我明白了！应试教育模式存在的合理性，是因为线性理论的确定性和唯一性，也因为掌握线性理论是学生融入社会、与他人交流和沟通、进一步学习非线性理论的必要步骤；但是，应试教育模式判断学生学习结果的好坏，也只能依据答案的正确与否，它无法判断这个答案是学生理解了所学的知识而计算出来的、还是靠死记硬背背出来的，所以应试教育模式的不合理性，也在于此。商：你说的不错，如果我们由考官对考生一个个面试，自然很容易判断不同考生对知识的掌握程度，问题是这种考试方式不仅费时费精力，更存在着不同的考

15、官由于自身素质的发散，会导致评判标准的极大差异，从而造成对学生学习成绩评判的结果不合理。我在上一本书中说过，由于形式逻辑系统能最大限度的保证执法者个人素质、偏好、价值观的发散不影响执法的结果，所以，采用全国（或某个区域）统一的考试模式和考题，能够最大限度的保证评判考生考核结果的公正性这就是应试教育模式存在的外部原因。朋友：这一点我同意，现在也有些学校在试行“面试制、推荐制”，很多家长都很担心，担心考官的公正性问题，觉得还不如考试制度那么令人放心和令人信服。由于考生的数量众多，面试制受到考官数量的限制，也会设立一定的进入门槛，造成很多达不到这个门槛的来自弱势群体的考生丧失机会；从这个角度讲，考试

16、制度的进入门槛低，考核学生的效率远比面试高，因而可以更多的给来自弱势群体考生参与竞争的机会。商：哈哈哈，老弟同意了我的这些观点，说明老弟实际上也承认应试教育模式有其存在的合理性啊！我们来总结一下：由于学生学习的都是线性理论，线性理论是确定性的理论，对应考题的答案是确定性的，因此，通过统一的考试能够保证在大范围内公正的评判考生的考核结果，这个考核结果决定了考生能进入什么样的高一级学校或工作单位于是，社会、学校、老师、家长、学生都把学生最后考试成绩的好坏，作为大家评判教育质量的绝对标准应试教育模式就是这样越来越牢固的在教育领域巩固了自己的地位。不是这样吗？朋友：我总是被你套住啊！不过冷静的想一下，

17、你说得不错，应试教育模式的线性本质，与孩子们学习的主要内容是线性理论，是相适应的；应试教育的考核方式，相对其他考核方式，也更公平一些，受考官个人素质的发散影响也最小。商：是的，所以，我们要改变的不是应试教育模式本身，而是在这种教育模式下的教学方式、对教师教学质量的评判方式、教师素质的提升、学生学习方式的优化朋友：我明白了。你的意思是说，应试教育模式的存在，本身是具有合理性的，是因为我们现在教育部门的领导、教师、家长们、学生们都没能在这种教育模式下采取各自应该有的态度和做法，才造成了现在教育领域中存在各种各样的问题。商：你说的很对。就像一个国家的GDP本来是考核和判断该国经济发展状况的一个重要和

18、有效指标，但是，当政府把GDP作为唯一的指标、并且不惜动用一切手段去片面的追求GDP的时候，很多问题就出来了。朋友：我明白了！应试教育模式存在的问题也是这样，当学校的领导把学生的考试成绩作为考核教师教学质量的唯一指标时，有些教师就不是把精力放在如何让学生真正学到知识上，而是只考虑如何提高学生考试的成绩，哪怕明知道学生在死记硬背也不管。前面我们说了，机器人参与这类考试的成绩肯定是最好的，如果让学生像机器人那样，通过死记硬背的办法熟记各类试题，熟记这些试题的标准答案，那么即使他们对这些知识并没有真正掌握，在考试时也能得到好的成绩。显然对教师来讲，让学生尽量多做各类习题是最简单和轻松的教育方法，如果

19、学生能够多花时间去熟悉这些题目，考试成绩也确实可以提高和保证的这就是题海战术被教师广泛采用的原因。商：是的！所以我觉得评判学生学习质量的好坏，还是只能以考试成绩的好坏为主；但是评判老师（或学校）的教学质量，不能以考生的成绩作为唯一的标准。更主要的是，要尽快提高教育管理者和老师的价值观和事业观，要真正意识到，教师是人类灵魂的工程师，教师有责任把教育和培养学生真正的内在素质作为自己开展教育工作的目标，而不是为了自己的政绩、业绩，把学生考分的高低作为自己唯一的目标。我们在读书时，虽然考试成绩也是考核和检验老师和学生教学质量最重要的指标，但是我觉得那时的老师，更注重的是学生能不能学到真正的知识，因此，

20、他们把更多的精力花在如何提高学生的学习效率上，实际上这种做法与学生取得好的成绩完全没有矛盾，我们那个时候学习成绩好的学生都不是靠死记硬背的。朋友：你能具体举些例子来说明吗？商：好的。我就用自己的学习经历来作为例子吧。我就读的上海市复兴中学，当时正好进行五年一贯制试点，我们在五年中不仅要学完普通中学六年才读完的全部课程，还要把原来在大学一年级才学习的微积分和高等物理学完。当时学校和学生的压力都很大，因为我们必须参加全市的统考，做统考的题目时，我们不能用微积分或高等物理的方法去解题，还是要用高中代数和物理去解题。但是我们学校在全市的统考中，成绩一直是名列前茅的。因为我们学习了微积分和高等物理后，懂

21、得了更内在的原理，所以对高中代数或物理的各种计算公式的原理，理解得很深刻，在考试时，我们先用高中代数或物理的办法去解题，再用微积分验算，两者一致，这道题就过了。朋友：复兴中学在60年代还是很有名的，你们学校的很多老师是复旦来的，我们那时就听说，复兴中学的教学方式非常好，老师在课堂上讲课的时间很少，主要让学生讨论和提问，很注重培养学生的自学能力。商：我觉得最主要的，是老师很注重让学生去理解所学知识的内部联系。数学老师在讲到某些新的数学定律或运算方法时，会举一些我们在物理学上用到这些数学计算公式的例子，来加深我们对数学公式的理解，又帮助我们理解了物理学中用到这些公式和定理的数学意义（我在后面那篇数

22、学运算的非线性哲学解读一文中具体举了一些例子）。即使在数学或几何学的学习中，老师也很注重让我们把各种知识串起来理解和记忆。我不知道老弟是否知道网上流传过的一个笑话，是关于一个老师要学生拼世界地图的？朋友：我不知道，你说给我听听。商：好的。一个老师在上地理课时，发现有个学生对地理课不感兴趣，上课时总是开小差。老师认定他的地理知识一定学得不好，为了教训他一下，一天中午吃午饭前，老师把这个学生叫到办公室，然后指着一堆剪成碎片的纸对那个学生说，这是一幅剪碎的世界地图，你把它拼好后完整的贴在一张纸上，才能去吃午饭，说完老师自己去吃饭了。令老师没有想到的是，他还在排队买饭的时候，那个学生居然拿着饭碗来吃饭

23、了。老师气愤的把他叫到跟前，问他，为什么没有拼好那幅地图就来吃饭？学生说，我是拼好了地图才来吃饭的啊！老师不相信，把自己排队的位置让给了这个学生，然后满腹狐疑的跑回办公室去看他是否真的拼好了那幅地图。令他诧异的是，这幅地图拼得非常完整和正确！他虽然知道这个学生的地理知识掌握的很差，但是他无法怀疑他看到的事实，他相信这个学生一定掌握了一种学习地理知识的好办法，于是老师又赶回食堂，在买饭时特意多买了一块红烧肉，然后走到那个学生在吃饭的饭桌旁，一边把红烧肉夹给那个学生，一边说，你这幅世界地图拼得又快又好，老师奖励你一块红烧肉。你能告诉老师吗，你是用什么好的学习方法，能做到用很少的时间，就清晰牢固的记

24、住那幅世界地图呢？那个学生边吃肉边说：老师，你说什么呀？我根本就不知道世界地图是什么样的；那幅世界地图的背面是一幅变形金刚的图，我把变形金刚拼好后涂上浆糊，用张白纸往上一贴，然后翻过来放在你桌上就来吃饭了谢谢老师帮我排队、还给我吃这么香的红烧肉朋友：哈哈哈哈，这个老师太搞笑了！这个同学也够机灵的不过我觉得很奇怪，你说这个笑话与应试教育质量有关系吗？商：当然有关系啊！你不要急，听我分析。世界地图背后有一幅变形金刚的图，是一件偶然事件，两者之间并没有什么必然的联系。但是，学生在学习和需要熟记的各类公式之间，却往往有着各种各样内在的联系。如果学生能掌握这些内在的联系，那么不仅有利于他们有效的记住这些

25、公式，更有助于他们理解这些公式之间的关系和各自适用的范围，当他们需要用学到的知识解决实际问题时，他们就懂得如何去运用这些学到的知识。朋友：你说的有点道理，能不能举一些具体的例子呢？商：好啊！老弟现在还记得计算圆锥和球的体积和表面积的公式吗？朋友：让我想想记不清了。老兄还记得？你是不是经常复习啊？商：哈哈哈，我确实记得，但从来没有复习过，因为当初我们在学习和复习这些知识的时候，就不是用的死记硬背的办法。老师教我们把正方形、内接三角形、内接圆、圆柱体、圆锥体、球等放在一起，来理解和记忆相关公式。朋友：你能具体的说一下吗？我可以去教我的孙子也这样记。商：好的，我们先来看看求圆面积的公式是怎样得到的（

26、见下图）。 老师指着这个圆的内接正多边形的图告诉我们，当这个圆的内接正多边形的边数趋向于无穷多的时候，这个内接正多边形的周长就无限的接近圆了，如果算出这个内接正多边形的周长再除以直径，就能算出圆周率的值，所以，用圆的内接正多边形来求，也是算出的一个办法。如果我们算出这个内接正多边形的面积，实际上就算出了圆的面积。我们把圆分成上下两个半圆，然后把两个半圆“拉直”，把它们分别变成齿条状，再把它们拼接起来，圆就变成了一个矩形，这个矩形的长就是圆周长的一半，宽就是半径，所以，圆的面积就是。在课外数学小组的活动中，老师还教了我们其他一些计算圆面积的办法，其中给我印象最深的，就是将圆的面积，看做是无数个大

27、小不一的同心圆圈组成的（见下图），设想组成这些圆圈的都是弹性极好的钢丝。当我们沿着圆的一条半径将这些圆圈剪断后，这些被剪断的钢丝就都恢复了直线状，圆就变成了一个三角形，这个三角形的底就是圆的周长，高就是半径，所以，圆的面积就是二分之一圆的周长乘以半径。假定我们在沿着半径剪断这些钢丝前，先固定被剪断的钢丝的一端，那么钢丝被剪断弹直后，会变成一个直角三角形，这个直角三角形的一条直角边是半径，另一条直角边就是圆的周长。老师告诉我们，阿基米德就是用这样的指教三角形来计算圆面积的，并建议有兴趣的学生可以到图书馆去查阅相关书籍。由于学生们都喜欢“攀比”，所以数学兴趣小组中讲的内容，很快就被全班同学所知晓和

28、掌握。为了帮助学生理解和记忆球、圆锥的体积和面积公式，老师先在黑板上画了一个正方形，正方形中再画一个三角形和一个内接圆（见下图）。 令内接圆的半径为r，那么，正方形的面积就是4r²；圆面积是r²；三角形的面积是正方形的一半，所以是2r²。将这个正方形旋转一周，正方形变成了圆柱体，内接三角形变成了一个圆锥体，内接圆变成了一个球。老师告诉我们，先算出圆柱体的面积和体积，因为圆柱体的面积和体积最好求。将圆柱体的侧面展开就是一个矩形，长就是圆周长（2r），宽就是直径（2r），所以圆柱体的侧面积就是，再加上圆柱体的上下底面（2r²），圆柱体的面积就等于6r

29、8;。圆柱体的体积也非常好求，就是底面积（r²）乘以高（2r），即。老师随即告诉大家，圆柱体的体积:球的体积:圆锥体的体积=3:2:1；也就是说，圆柱体的体积等于球的体积加上圆锥体的体积，因此只要记住了圆柱体的体积，球的体积和圆锥体的体积就很容易通过简单的计算而获得了。另外，球的表面积也是圆柱体表面积的三分之二这样，几乎不需要硬记，这些公式就都掌握了。在课外数学兴趣小组中，老师给大家讲了为什么球的体积是圆柱体体积的三分之二；为什么圆锥体的体积是圆柱体的三分之一。朋友：说实在，我到现在也没有弄清为什么圆锥体的体积是圆柱体的三分之一，你介绍一下吧。商：好的。还是要回到前面用剪断钢丝圈的办

30、法来求圆的面积的做法。实际上圆锥体可以看做是无数个越来越小的圆的堆积，把这些圆都沿半径切开，圆锥体就变成了三棱锥了；同样道理，圆柱体可以变成了三棱柱。而求三棱柱和三棱锥的体积公式我们都很熟悉，也很容易自己推导，所以，这些公式之间的关系、它们的来源和证明办法，很快都被我们掌握了，根本不用死记硬背。老师告诉我们，我们对于求由直线构成的形体的体积或面积的公式，都很容易理解和自己推导，一般难以理解的就是由圆、曲线等形成的形体、或经过旋转而形成的形体的相关公式，由于这些形体的计算公式与形体之间难以建立直观的关系，所以很多学生只能靠死记硬背来解决问题。在课外数学兴趣小组活动时，老师还介绍了阿基米德得到圆、

31、球、圆锥的面积和体积公式的办法，令我印象极其深刻！因为阿基米德居然是用物理学的杠杆、力矩等原理，来得到几何学公式的（有兴趣的可以参考后面的附录从阿基米德推导球体积公式的思想方式得到的启示）。我从那个时候起，就明白了一个道理，那就是我们所学的各门学科之间，实际上都存在着某种内在的联系，如果在学习中能注意了解和把握这些内在的联系，那么，学习的效率会越来越高、掌握的知识就越来越牢固。所以后来学了微积分以后，我知道用除法求得的比值，是一种静态的比例关系；用导数求得的斜率，是一种动态的变化率我明白了球的体积的导数，就是球的面积、圆的面积的导数，就是圆的周长、加速度的导数就是速度、速度的导数就是位移；也了

32、解了用微积分求上述这些体积和面积的办法；更看到了的导数永远是它自己，而不像一般函数求导数后会不断降低维度，说明这个函数的动态变化率是个维度不变的函数，联想到是一切圆的周长与直径的比值，我意识到，是静态的圆的特征参数，而e是动态的圆的特征参数，两者是一种静态与动态的对立统一、比例与变化率的对立统一、尺度与维度的对立统一、线性与非线性的对立统一总而言之，学到的知识越多，越能发现这些知识之间内在的联系，只要能把握这些联系，很多公式是不用背的，自己推导一下就可以了。一个好的老师自己懂得这个道理，也教育和引导学生去懂得这个道理；一个差的老师自己就是靠死记硬背学的知识，自然只会教学生死记硬背了。朋友：是啊

33、，相对老师而言，学生的学习结果就是他的产品，好的老师教出来的学生学到的都是活的知识；差的老师教出来的学生往往是书呆子，他们可能应对考试很有本事，但是面对实际问题就不会思考和分析了。商：我们在读书的时候，老师就很注意让我们联系生活实际。有一件事我的记忆非常深刻。一次在课外数学兴趣小组活动时，老师讲到了圆、球、正方形、立方体的一个共同特征，就是在周长或表面积为定值的情况下，这些形状最具合理性，它们的面积或体积是最大的。老师要我们证明，在周长不变的情况下，任何长方形的面积都小于正方形。这道题目很简单，在周长不变的情况下，把正方形变成长方形，就是将正方形的两条边缩短一些，将缩短的部分加到另两条边上就行

34、了。我们令正方形的边长为a，则长方形的长就是(a+b)；宽就是(a-b)；长方形的面积就是，而正方形的面积是a²，所以不管b怎么变化，只要b0，周长相等的长方形的面积就小于正方形的面积。老师随后拿出一个用四根木条钉成的正方形木框，在黑板上沿这个正方形木框的内圈画了一个正方形，而后把这个木框“压扁”，使得它成为一个平行四边形，再沿木框的内圈画了一个平行四边形。显然，由于正方形和平行四边形的底是一样长的，但是平行四边形的高短于斜边，所以平行四边形的面积小于正方形的面积。由于椭圆与椭圆球的面积和体积的计算公式很复杂，老师拿出了一个塑胶球，将这个球灌满水，然后告诉我们，不管这个塑胶球如何形变

35、，里面的水都会溢出，这就证明在同样表面积的情况下，球的体积是最大的。说完这些，老师问我们有没有什么问题要问。我站起来说，我有个问题。随即我走到讲台旁，把我们刚才交上去的一叠练习本先摞正，让这摞练习本的截面成为一个矩形。随即我再把这摞练习本推斜，使得这摞练习本的截面变成平行四边形，然后我说，这个平行四边形的面积与刚才那个矩形的面积是一样大的，因为练习本的厚度是不会因为这摞练习本形状的变化而被压缩的，所以这个平行四边形的高就是矩形的高，因此这摞练习本不管是摞成矩形还是平行四边形，面积是不变的。同学们立刻分为两派，一派支持我的意见，一派反对我的意见。老师笑着问我，你还能用其他办法证明你的观点吗？我说

36、可以，然后就指着那个塑胶球说，与你证明这个球的体积是最大的办法一样，我们可以在一个烧杯中注满水，然后放入一叠扑克牌，在相当于这叠扑克牌体积的水从烧杯中溢出后，不管我们怎么摞放这叠扑克牌，烧杯中的水既不会溢出，水平面也不会下降，这就可以证明，这叠扑克牌不管是摞成矩形还是摞成平行四边形，体积是不变的。反对我的观点的同学听到这里，都不吱声了，因为这个结果我们很容易想象。老师问我能不能解释一下这个现象发生的数学原因。我说可以，因为斜着摞练习本后，这摞练习本的截面虽然变成了平行四边形，但是它的高没有变化，所以面积不变，不过由于平行四边形的斜边比高要长（ba），所以这个平行四边形的周长比矩形要长。因此，这

37、个例子说明在面积不变的情况下，平行四边形的周长一定大于矩形。但是我有一个疑问，练习本被斜着摞的时候，周长会变长，这很容易理解，因为那个斜边实际上是由每一本练习本的厚度组成了“阶梯状”，所以变长了。但是，如果我们在坐标系中画一个矩形，这个矩形可以看做是由无数条长度一样的平行线段密铺而成的，就像练习本一样，只是这些线段是没有“厚度”的；所以当我们把这些线段“推斜”、矩形变成平行四边形以后，也与那摞练习本一样，平行四边形的面积还是等于矩形的面积，但是周长变长了。我的问题就是：线段是没有厚度的，它们的端点是没有面积的点，组成矩形和平行四边形边长的点，数量是一样的，不变的，那么，为什么由同样数量的点组成

38、的矩形的边和平行四边形的边，长度会不一样呢？这是不是说明线段是有“厚度（面积）”的？或者说，点是有体积的？同学们都陷入了深思老师非常高兴的说，你的思考非常好！我们在学习的几何学理论，都是在理想的状态下才成立的，与真实生活是不一样的。下周的课外小组活动我们去参观沪东造船厂，我们去看看工人师傅们是怎样造船的，再来找找原因。那个时候的工厂，对学生为了学习而参观工厂的生产活动，是非常支持的，我们如期参观了造船厂。接待我们的工程师先在会议室里让我们看了造船的图纸，那时正流行“球鼻状”的船首，工程师告诉我们，这个奇怪的船首看上去好像会增加水的阻力，实际上计算和实践都告诉我们，当轮船按设计的航速航行时，这个

39、形状的船首，阻力是最小的，但是在其他航速下航行，阻力会大很多，所以一般只有远洋轮会采用这种设计。他接着告诉我们，这个球鼻的设计和计算是很复杂的，尽管图纸上的尺寸标得非常精确，但是在实际制造的时候，拼接这个球鼻的钢板，并不是直接按图纸切割后拼接的，而是用“放大样”的办法完成的。随即带我们去工地参观工人师傅们是如何放大样的。 （以上图片来自百度图片）到工地看了以后，我们马上明白了，所谓放大样，就是用胶合木板按图纸进行切割，做成各种样板，然后才以这些样板为模板，切割和拼接钢材。负责放大样的都是一些经验丰富的老师傅，他们讲不出更多的理论，但是按他们放的大样切割的钢板，就是能非常精确的覆盖钢结构，达到图

40、纸的设计要求。接待我们的工程师告诉我们，刚从学校毕业的大学生们，都要拜这些放大样的师傅为师，先实习一个阶段。有些大学生一开始看不起这些老师傅，觉得他们没有文化，放大样时对图纸的尺寸进行的修改，看上去很随意，根本说不出修改的科学依据，所以很不服气。放大样的老师傅从来不跟他们进行任何争辩，只是让他们自己先在木板上画出图样，按后老师傅在上面做修改，但是必须按老师傅画的图样裁切样板。令大学生们不得不服的是，按老师傅的图像放出的大样，在实际拼接时，就是能够做到严丝合缝，如果按他们画的图形放大样，误差会很大。回到学校后老师告诉我们，几何学对于由曲线或曲面构成的复杂结构，是难以精确描述的，在现实生活中，由于

41、还存在着很多被理论计算忽略的因素，譬如，钢板因重力或应力而产生的形变、热胀冷缩、焊缝的尺寸，所以，理论计算只是一种理想状态下的计算，实际造船的时候，不经过放大样的工序，很难造出符合图纸要求的产品。这件事给我的印象非常深刻，尽管那个时候我还完全没有线性和非线性的概念，但是我至少已经知道，理论知识是有局限性的，完全按理论知识去实践，在现实生活中是走不通的，所以千万不要成为只会夸夸其谈的书呆子。朋友：你这么一说，我想起一件事来。前不久，我的孙子突然来问我，“爷爷，你不是号称造船专家么？我来考考你，你是不是知道有一种船是没有动力的、靠惯性驱动的？”看着他那个认真的样子，我知道他不是在开玩笑，就有意装出

42、不以为然的神情说，不用动力的船模是有的，不用动力的船是不可能实用的。他这下可来劲了，马上得意的说，我今天在物理教科书上就看到一个这样的船了!这个船是用高速运转的飞轮作为动力驱动的。听到他这么说，我一下子高兴得跳了起来！因为我对这样的船印象太深刻了！我叫他马上把那本书拿来，可是等我看到书上那幅插图和相关的介绍以后，鼻子都气歪了！连连说“误人子弟啊！误人子弟啊！”。小孙满脸迷茫的看着我，不知道我为什么会有这么奇特的表现？商：我知道老弟说的就是上个世纪50年代的时候，前苏联的专家特意为上海轮渡公司设计的一艘特殊的渡轮。那个时候在黄浦江上没有桥，更没有隧道，浦江两岸的交通问题完全靠渡轮解决。渡轮的吨位

43、很小、吃水也浅，那时的渡轮抗风的能力很差，所以只要江面刮7级以上的大风，渡轮就会停航。前苏联专家利用陀螺的稳定性，设计了一艘很奇特的渡轮，在这艘渡轮的仓底，有一个几吨重的陀螺做高速旋转，利用高速旋转的陀螺的稳定性，使得这艘渡轮可以在8级大风中正常的航行。由于这个巨大的陀螺惯性很大，能储存很大的动能，所以，苏联专家别出心裁的设计了一套机械装置，利用这个陀螺储存的动能来带动渡轮的推进器，代替了一般渡轮上的柴油发动机。在渡轮靠岸上下客的时候，接上码头上的电源，用一个电动机给陀螺加速，补充陀螺失去的动能。这种渡轮也因为航行时没有发动机的噪声，因此运行时很安静、平稳。朋友：我没有想到老兄对这艘渡轮也这么

44、了解。你可能不知道，我当时就是被苏联专家的这个巧妙设计吸引，对造船产生了浓厚的兴趣，最终走进了这个行业，一直干到退休。所以一听到孙子也知道这种船，我是很高兴的。令我意想不到的是，在我孙子的物理教科书上，居然只告诉学生们，设置在船上的是个储能飞轮，只是为了代替发动机给船以前进的动力的，更可气的是，那个插图居然把那个飞轮画在船的尾部，而且不在船的中线上，这艘船很容易侧翻啊！真是误人子弟啊！商：是啊，我们现在有些教科书的质量确实很有问题，实际上在这个例子中，陀螺的作用主要是保持船的稳定，如果在船上安装一个如此笨重的陀螺只是为了省去一个发动机，那就太傻了，因为这种用机械的办法来储存能量，效率是很低的。

45、据我了解，这种“陀螺渡轮”没有被推广使用，就是因为它的效率太低的原因。其实，陀螺的稳定作用是非常值得研究的，在我后面文章中说到的哈勃望远镜，它之所以在太空中“漂浮”时能拍出清晰的照片，陀螺仪的作用功不可没。我从小就喜欢玩陀螺，也一直对陀螺的稳定性非常着迷，空竹就是一种陀螺，我在玩空竹的时候，就发现高速旋转的空竹可以抵抗重力的作用，使下图所示的这种空竹，在只有一头受力的情况下，能克服重力，保持稳定的水平状态。我意识到陀螺的稳定性是超越引力作用的，但是一直没有弄明白其中的奥秘，旋转真是一个很令人着迷的运动模式，从宏观的天体的自转到微观的粒子的自旋，似乎都在告诉我们，旋转与结构的稳定和有序，有着内在

46、的联系 （以上图片来自百度图片）朋友：我明白了，你这个人的思维从小就是“非线性”的，难怪你会搞出这套非线性的哲学来！商：哈哈哈，老弟错了！我在第一本书中说了，人类依靠遗传而获得的本原的思维是模拟思维，模拟思维的本质是非线性的。小孩的模拟思维特征非常明显，小孩的好奇心和探索世界的积极性，都远比成人明显。我们在读书时，大家的思维都是非常活跃和发散的，不是我一个人喜欢提出稀奇古怪的问题，实际上很多同学都因为家庭环境或家长从事职业的不同，从自己所了解和熟悉的角度提出了很多问题，关键是我们那时的学习环境非常好，老师也非常敬业、知识面也广。更重要的是，老师非常注意培养学生的独立思考能力，也非常注意保护和支

47、持学生求知的积极性。反观现在的学生教育环境，无论是学校、老师、家长都只要求学生学好课本知识，确保考试成绩，有时还把学生的独立思维看做“不切合实际的胡思乱想”，最终造成学生的模拟思维特征不断被僵硬的线性思维模式所替代，想象力和创造力都被抑制，在走上工作岗位后，难以做出创造性的业绩。我举的这个例子说明，尽管在我们读书时，教育模式也是应试教育模式，但是由于学校、教师、社会环境的差异，那时的学生学到的知识相对比较扎实和生动，应试教育模式的弊端不是很凸显。但是现在的应试教育模式正在朝着越来越僵化的方向发展，在这种僵化的模式下培养出来的学生，实在令人担忧！朋友：我有一点好奇，当时你们要学习这么多课外知识，

48、会不会过多的占用你们的学习时间，以致影响你们正常的课程学习呢？商：不仅不会，实际上对我们的学习还起了很大的促进作用。其实人在青少年时期，思维是最活跃的，记忆力也处在上升阶段，汲取新鲜知识的能力很强，只要思维是科学的、有序的，脑筋动得越多，思维的能力就会越强，就像青少年时期科学地锻炼身体，科学的加大运动量，不仅不会影响身体的正常发育，还会让身体发育的更好一样。就一个人的一生来讲，学生时期的学习效率是最高的，也是形成今后人生思维模式和决定思维能力的一个极其重要的阶段。由于那个时期学生的心理素质还不是很成熟，所以，关键是老师能不能让学生对要学习的东西产生兴趣，能不能引导学生的思维向科学的方向发展，能

49、不能让学生掌握一套切实有效的思维工具，这些思维工具本身就是学生要掌握的学习内容，又能在学生掌握这些思维工具后，极大的提高他们思维和学习的效率。复兴中学在这方面是做的相当不错的，当时学校组织了很多课外兴趣小组，搞得比较好的有船模小组、航模小组、无线电小组、摄影小组、物理小组、化学小组、英语小组、数学小组学校明确规定，要加入这些兴趣小组，首先要班主任和学科的课任老师批准，而学生能不能被批注参加课外兴趣小组的主要标准，就是你的学习成绩好不好。换句话说，只有在你的学习成绩达标的情况下，你才可以参加课外兴趣小组，去学习额外的知识。所以那时能参加课外小组是一种荣誉。其实在课外小组的活动中，我们学到了更多的

50、知识，特别是锻炼了自学的能力和理解能力，懂得了理论联系实际。就我们所有参加课外兴趣小组的同学的学习情况来看，随着我们在课外小组活动中学到越来越多的知识，很多后面才会学到的知识，我们在课外小组的活动中已经掌握；更由于大家在解决实际问题中加强了各种知识的联通，解题的思维更宽，所以读书越来越轻松。朋友：我明白了！从那个时候起，你已经在不知不觉中，去把握各类知识的共性和它们互相之间的内在联系了，其实这就是哲学的内容了，难怪你搞哲学研究是从理科切入的，也难怪你学习知识的效率特别高，我们都难以理解你怎么会了解这么多门知识的。商：你说的不错。实际上研究和学习哲学的最大好处，就在于提高学习的效率、提高理解和分析问题的能力。由于哲学是自然科学和社会科学的结晶和概括，所以，哲学原理就像一棵大树，不同的学科就像这棵大树的不同干支，而各门学科的具体知识，就是各种分支和树叶。也就是说，树干和干支就是这些学科的共性，分支和树叶就是这些学科的特殊性，整棵大树就是一个分形系统。当我们在学习某一门学科的知识时，先了解它与其他学科的共性，再去把握这