平面向量的概念及线性运算讲义

1、平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有_又有_的量；向量的大小叫做向量的_(或称_)平面向量是自由向量零向量长度为_的向量；其方向是任意的记作_单位向量长度等于_的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向_或_的非零向量0与任一向量_或共线共线向量_的非零向量又叫做共线向量相等向量长度_且方向_的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度_且方向_的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_.减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差_法则aba(

2、b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|_；(2)当>0时，a的方向与a的方向_；当<0时，a的方向与a的方向_；当0时，a_(a)_；()a_；(ab)_3.共线向量定理a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线难点正本疑点清源1向量的两要素向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系同向且等长的有向线段都表示同一向量或者说长度相等、方向相同的向量是相等的向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小2向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况因而要利用向量平行证明

3、向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合1(课本改编题)化简的结果为_2在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b，则_.3下列命题：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一个向量的两个向量是共线向量；相等向量一定共线其中不正确命题的序号是_4已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_5已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，那么() A. B.2C.3 D2题型一平面向量的概念辨析例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b

4、|且ab.其中正确命题的序号是_探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图像移动混为一谈(5)非零向量a与的关系是：是a方向上的单位向量 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且a与b方向相同，则ab；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与

5、向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等题型二向量的线性运算例2如图，在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果如图，在ABC中，E、

6、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设a，b，试用a，b表示.题型三平面向量的共线问题例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线 如图所示，ABC中，在AC上取一点N，使得ANAC，在AB上取一点M，使得AMAB，在BN的延长线上取点P，使得

7、NPBN，在CM的延长线上取点Q，使得时，试确定的值11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：(13分)如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出manb.(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解规范解答解设manb，则manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三点共线，与共线存在实数t，使得t，即(m1)anbt.5分(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1.7分又manbaanb，ba

8、ab.又C、M、B三点共线，与共线10分存在实数t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.12分由得m，n，ab.13分批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会方法与技巧1将向量用其它向量(特别是基向量)

9、线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础2可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题如且AB与CD不共线，则ABCD；若，则A、B、C三点共线失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0 (为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中错

10、误命题的个数为()A1B2C3D42设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.03已知向量a，b不共线，ckab (kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向二、填空题4设a、b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为_5在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_.6.如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_三、解答题7. 如图，以向量a，b为边作OADB，用a、b表示、.8若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同

11、，则当t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上？B组专项能力提升题组一、选择题1已知P是ABC所在平面内的一点，若，其中R，则点P一定在()AABC的内部 BAC边所在直线上CAB边所在直线上 DBC边所在直线上2已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m等于()A2 B3 C4 D53O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足： ，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B内心 C重心 D垂心二、填空题4已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是_(将正确的序号填在横线上)2a3b4e，且a2b3e；存在相异实

12、数、，使·a·b0；x·ay·b0(实数x，y满足xy0)；若四边形ABCD是梯形，则与共线5. 如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_6在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.7已知直线xya与圆x2y24交于A、B两点，且|，其中O为坐标原点，则实数a的值为_三、解答题8已知点G是ABO的重心，M是AB边的中点(1)求；(2)若PQ过ABO的重心G，且a，b，ma，nb，求证：3. 答案要点梳理1大小方向长度模零01个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2三角

13、形平行四边形(1)ba(2)a(bc)三角形(1)|a|(2)相同相反0aaaab基础自测1.2.ba3.4.25.A题型分类·深度剖析例1变式训练1解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关(3)正确(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的(6)不正确，因为与共线，而AB与CD可以不共线即ABCD.(7)正确(8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等例2解()ab；()()ab.变式训练2解()()(1)(1)ab.又m()(1m)a(1m)b，解得m，ab.例3(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k±1.变式训练3课时规范训练A组1C2.B3.D4.1