导数的概念及运算

1、导数的概念及运算 重点难点分析： 1导数的定义、意义与性质： （1）函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在x0处有增量x，则函数y相应地有改变量y=f(x0+x)-f(x0)，这两个增量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率，即。如果当x0时，有极限，我们说函数在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数（或变化率）。记作f'(x0)或，即。 （2）导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，这时，对于开区间(a,b)内的每一个值x0，都对应着一个确定的导数f'(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数

2、叫做f(x)在区间内的导函数，记作f'(x)或y'，即。 （3）可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。 （4）导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。 2求导数的方法：（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： 求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均变化率 取极限，得导数。 （2）几种常见函数的导数公式： C'

3、=0(C为常数)； (xn)'=nxn-1 (nQ)； (sinx)'=cosx； (cosx)'=-sinx； (ex)'=ex； (ax)'=axlna ； （3）导数的四则运算法则： (u±v)'=u'±v' (uv)'=u'v+uv' （4）复合函数的导数 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。 说明： 1函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限。 2求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要

4、学会合理地分析 3搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线，加速度等问题打下理论基础。 典型例题： 例1求下列函数的导数 y=(2x-3)5y=sin32x 解析： 设u=2x-3，则y=(2x-3)5分解为y=u5，u=2x-3 由复合函数的求导法则得： y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u410(2x-3)4 设u=3-x，则可分解为，。 y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x 例

5、2已知曲线，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。 解析：，令，即，得x=4，代入，得y=5，曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为，即x-2y+6=0。例3已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4。 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； 第小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。 解析：把x=1代入C的方程，求得y=-4， 切点为(1,-4)，y'=12x3-6x2-18x 切线斜率为k=12-6-18=-12， 切线方程为y=-12x+8。 由 得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0，

6、。公共点为(1,-4)（切点），除切点外，还有两个交点。 评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。 *例4设，求f'(x)。 解析：当x>0时，当x<0时，由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知 由于f'+(0)=f'-(0)=1，故有f'(0)=1于是：，即：。 例5已知使函数的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。 解析：y'=3x2+2ax，令y'=0，得x=0或，由题设x=0时，y'=y=0，此时，a=0；当时也

7、解出a=0。训练题： 1已知函数，且f'(1)=2，则a的值为_。 2设f(x)=xlnx，则f'(2)=_。 3给出下列命题： ；(tanx)'=sec2x 函数y=|x-1|在x=1处可导；函数y=|x-1|在x=1处连续。其中正确的命题有：_。 4函数y=cosx在点处的切线方程为_。 5已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)的表达式。 参考答案： 1. 22. 3. ，4. 5解： f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)， b=d=0，f(x)=ax4+

8、cx2+e，又 图象过点A(0，-1)， e=-1， f(x)=ax4+cx2-1，f'(x)=4ax3+2cx，当x=1时，f'(1)=4a+2c=-2. 对于2x+y-2=0，当x=1时，y=0。 点(1,0)在f(x)图象上，a+c-1=0. 由，解出a=-2，c=3，因此f(x)=-2x4+3x2-1。在线测试窗体顶端选择题1设函数f(x)在x0处可导，则等于（ ）。 A、f'(x0)B、f'(-x0)C、-f'(x0)D、-f(-x0) 窗体底端窗体顶端2设f(x)在x0处可导，下列式子中与f'(x0)相等的是（ ）。 （1）（2） （

9、3）（4） A、(1)(2)B、(1)(3)C、(2)(3)D、(1)(2)(3)(4) 窗体底端窗体顶端3曲线在点（1，1）处的切线方程是（ ）。 A、 B、 C、x-2y+1=0 D、x+2y+1=0 窗体底端窗体顶端4y=x3在点P（2，8）处的切线方程是（ ）。 A、12x+y-16=0B、12x-y-16=0C、12x-y+16=0D、12x+y+16=0 窗体底端窗体顶端5y=sinx(cosx+1)的导数是（ ）。 A、cos2x-cosxB、cos2x+sinxC、cos2x+cosxD、 窗体底端窗体顶端6曲线y=x3-3x上切线平行于x轴的点的坐标是（ ）。 A、(-1，2

10、)B、(1，-2)C、(1，2 )D、(-1，2) 或(1，-2) 窗体底端窗体顶端7的导数是（ ）。 A、 B、 C、D、 窗体底端窗体顶端8已知函数且f'(1)= ，则正实数a的值为（ ）。 A、a=4B、a=2C、D、a>0 窗体底端窗体顶端9设f(x)=esinx，则f'()为 （ ） A、1B、-1C、2D、-2 窗体底端窗体顶端10设y=f(e-x)可导，则y'等于（ ）。 A、f'(e-x)B、e-xf'(e-x)C、-e-xf'(e-x)D、-f'(e-x) 答案与解析 答案：1. C 2. B 3. C 4. B

11、5. C 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C 解析： 3.提示：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)）处的切线的斜率是f(x0)。相应地，切线方程为 。解：y= = = ， ，所以点（1，1）处的切线的斜率是 ；切线方程是 ，即 。4.解： ，所以，在点P处的切线的斜率是12；切线方程是 ，即 。5.解： 6.解： ，又因为切线平行于x轴，所以 ，x=±1，当x=1时，y=-2；当x=-1时，y=2.7.解： 设： 8.解： 设： ，两边平方得： ，

12、整理得 ，解得 。9.解： 设： 。例谈导数在解高考试题中的应用 导数是研究函数性质中强有力的工具，特别在研究函数的单调性、最值方面有着独特的作用。本文将依托近几年的高考试题，例谈导数在解高考试题中的应用。 一、导数在解高考选择题中的应用 例1（1993理第14题）如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么体积的最大值为（ ）。 A、B、C、D、 解：设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r+2h=l, ， V'=lr-6r2, 令V'=0，得r=0或，而r>0, 是其唯一的极值点。当时，V取得最大值，最大值为。 应选A。 例2（1995年理第11题）已知函数y=loga(

13、2-ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围为（ ）。 A、（0，1）B、（1，2）C、（0，2）D、2，+） 解：，由题意可知：y'<0在x0,1上恒成立， ，在x0,1上恒成立。 又a>0， ，即，或在0，1上恒成立。 当时，由logae>0得a>1. 由2-ax>0得：在0，1上恒成立，而在0，1上的最小值为2，所以只需a<2。由上讨论可知1<a<2。 注：作为选择题即可选出答案B，可以用同样的方法得出另外一种情况不成立。 例3（1996年理第14题）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于（）。 A、B、C、D、 解

14、：设母线与底面夹角为，则底面半径r=cos，h=sin，, , , 令V'=0, 得，而， ，而它是唯一的极值点。 当时，V取得最大值，此时，此时侧面展开图圆心角，应选D。 评：上述几个选择题是当年高考中难度最大，得分率最低的选择题，但用导数求解，可以大大降低试题的难度。 二、导数在解高考解答题中的应用 例1（1991年理第24题）根据函数单调性的定义，证明：f(x)=-x3+1在（-，+）上为减函数。 分析：如果去掉证明的要求，本题就成为一个“口答题”即f'(x)=-3x20, f(x)=-x3+1在（-，+）上为减函数。 例2（1997年理22题）甲，乙两地相距S千米，汽车

15、从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知：汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a。 （I）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ 解：（I）（略解） 。 （II），令y'=0，得。 当时，是该函数唯一的极值点。 当时，y取得最小值，即全程的运输成本最小。 当时，而v(0,c，所以，此时y'<0， 在v(0,c为减函数， 当v=c时全程运输成本最低。 综上所述，当时，全程的

16、运输成本最小；当时，v=c全程运输成本最低。 例3（2002年理第19题）设，求a的值使得f(x)为单调函数。 解：，要使f(x)在R上为单调函数，需使f'(x)>0或f'(x)<0在R上恒成立。 （1）当f'(x)>0时，即在R上恒成立， 而当x时，所以这样的a不存在。 （2）当f'(x)<0时，即在R上恒成立，而，所以只需a1即可。 当a1时，f(x)为减函数。 由上讨论可知，当a>1时f(x)为单调函数。 例4（2001年理第20题）设计一幅宣传画，要求画面的面积为4840cm2，画面的宽与高的比为(<1)，画面上下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用的纸张面积最小？如果要求，那么为何值时，能使宣传画所用的纸张最小？ 解：设画面的高为xcm, 宽为xcm，则。所以纸张的面积为S=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160。将代入上式得：。 ，令y'=0得，它是唯一的极值点。 当时，S取得最小值，即当高为88cm，宽为时，能使