高中数学专题抽象函数常见题型解法

1、抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。一、定义域问题例1.已知函数f(x2)的定义域是1, 2,求f (x)的定义域。flogi(3 x)例2.已知函数f (x)的定义域是1，2,求函数 2的定义域。二、求值问题.1f(2) 1, f(6)-例3.已知定义域为R的函数 f (x),同时满足下列条件：5 ;f(x y) f (x) f (y),求 f(3), f(9)的值。三、值域问题例4.设函数f (x)定义于实数集上，对于任意实数x、y, f(x y) f(x)

2、f(y)总成立，且存在x1 x2,使得f(x1) f(x2),求函数f(x)的值域。2解：令 x y 0,得 f(0) f(0),即有 f(0) 0或 f(0) 1。若f(0) 0,则f(x) f(x 0) f(x)f(0) 0,对任意x R均成立，这与存在实数 x2使彳导f(x1) f(x2)成立矛盾，故f°,必有f1。由于f(x y) f(x)f(y)对任意X、y R均成立，因此，对任意x R,有xxxxx2f(x)f(- -) f(-)f(-) f (-)°22222下面来证明，对任意x R，f (x)°设存在 x° R,使得 f(x°)

3、 °,则 f(°) f(x° x°) f(x°)f( x°) °这与上面已证的f°矛盾，因此，对任意x R，f(x) °所以f(x) °评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题例5.设对满足X 0, X 1的所有实数X 1x,函数 f(x)满足 (X)() 1 X,求 f(x)的解析式。X 1f (X) f()1 X解：在Xf(X-J) f( )XX 1 X1再在(1)中以 X 1代换X,得X 1中以 X代换其中X,得:1f(二

4、) f(X)(3)f(X)(3)化简得：32X X 12x(x 1)X 1评析：如果把X和 X分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。 通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转 化的重要策略。五、单调性问题例6.设f(x)定义于实数集上，当x 0时，f(x) 1,且对于任意实数x、y,有 f(x y) f(x) f(y)，求证：f(x)在r上为增函数。2证明：在 f(x y) f(x)f(y)中取 X y 0,得 f(0) f(0)若 f(0) 0,令 x 0, y 0,则 f(x) 0,与 f(x) 1 矛盾所以f(0) 0

5、,即有f(0) 1当 X 0 时，f (X) 1 0；当 X 0 时，X 0, f( X) 1 0而 f(x) f(x) f(0) 1f(x)所以又当X 0时，f1 0所以对任意 xR ，恒有f (x) 0设x1x2，则 x2x10， f (x2x1 ) 1所以 f (x2)fx1 (x2 x1) f (x1)f (x2x1)f (x1)所以y f(x)在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题例 7. 已 知 函 数 f (x)(x R， x 0) 对 任 意

6、不 等 于 零 的 实 数 x1、 x2 都 有f(x1 x2)f(X1) f(X2),试判断函数f (X)的奇偶性。解：取 x11， x2 1得： f( 1) f( 1)f(1) ，所以 f(1)0又取X1X21得： f(1) f( 1) f( 1) ，所以 f( 1) 0再取X1X， X21则 f( X) f( 1) f(X) ，即 f ( X) f(X)因为 f (X) 为非零函数，所以 f (X) 为偶函数。七、对称性问题11例8.已知函数y "刈满足"刈f( x) 2002 ,求f (x) f (2002 x)的值。解：已知式即在对称关系式f(a x) f (a

7、x) 2b中取a 0, b 2002,所以函数y f (x)的图象关于点( 0， 2002)对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数y f 1 (x) 的图象关于点( 2002， 0 )对称。所以 f 1 (x 1001) f 1(1001 x) 011将上式中的 x 用 x 1001代换，得 f (x) f (2002 x) 0评析： 这是同一个函数图象关于点成中心对称问题， 在解题中使用了下述命题： 设 a、 b 均为常数，函数yf(x)对一切实数x都满足f(a x) f(a x) 2b，则函数y f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形。八、网络综合问题例9.定义在R上的函数f (x

8、)满足：对任意实数m, n,总有f(m n) f(m) f(n),且当x>0时，0<f (x) <1。(1)判断f (x)的单调性；2-2 设 A (x, y) | f (x ) f(y )f(1),B ( x, y) | f (axy 、.2) 1, a R，试确定a的取值范围。解：(1)在 f (m n)f (m) f (n)中，令 m1, n 0得 f(1)f(1) f(0),因为 f(1) 0,所以f(0)1。在f(mn) f (m)f (n)中，令 m x, n因为当x0时，0f(x) 1所以当x0,0 f( x) 1而 f (x)f( x) f(0)所以又当所以所以f(x)x=0 时,x1f (x2)f( x)f(0)x2fx(x20,所以,综上可知,则 x2x10, 0对于任意f(x2 x1)x)f(x1)f(x2 x1)y f(x)在R上为减函数。由于函数y=f (x)在R上为减函数，所以 f(x )x R,均有f(x)f (x1)22f(y ) f(xy2)2即有x又 f (ax亚)1 f (0),根据函数的单调性，有ax,所以直线ax y