刚体平面平行运动的讨论

1、玉林师范学院本科生毕业论文刚体平面平行运动的讨论The Discussion of the Rigid Bodys Parallel Plane Movement 院 系物理科学与工程技术学院专 业物理学学 生 班 级2008级2班姓 名学 号20080540指导教师单位物理科学与工程技术学院指导教师姓名指导教师职称副教授刚体平面平行运动的讨论物理学2008级2班 指导教师 摘要本文对刚体平面平行运动的条件和特点进行讨论分析，利用作平面平行运动刚体的特点和规律，简单地介绍了基点法，速度瞬心法，速度投影法求平面平行运动刚体上任一点的速度、加速度。同时，文章还简要地讨论分析了刚体平面平行运动中无滑

2、滚动的典型例子，浅述了求解刚体平面平行运动运动学问题的三种方法和利用质心运动定理、动量矩定理、动能定理、及机械能守恒定律来解决刚体平面平行运动的动力学问题。通过讨论分析，可以使我们学会更好地掌握刚体平面平行运动的规律，更有效地分析解决刚体平面平行运动的问题。 关键词：刚体平面平行运动，基点法，速度瞬心法，无滑滚动The Discussion of the Rigid Bodys Parallel Plane MovementPhysics 2008-2 Su YonglingSupervisor Yang XiuhuiAbstractIn this paper, he conditions a

3、nd characteristics of plane-parallel motion of rigid bodys analysis have been discussed.Using the characteristics and patterns of plane-parallel motion of rigid body，has-simply introduced basic point method instantaneous center of velocity，speed of projection method to seek velocity and acceleration

4、 of any point on the plane-parallel motion of rigid body。This paper, simultaneously, has also discussed and analyzed the typical example of a non-slip scrollin plane-parallel motion of rigid body，briefed three methods and used the theorem of the motion of center of mass、moment of momentum theorem、th

5、eorem of Kinetic Energy and conservation law of mechanical energy to solve the kinematics problems of plane parallel motion of rigid body .Through analyzing, can not only lead us to better grasp the patterns of plane-parallel motion of rigid body, but also help us analyze and solve the problem of pl

6、ane-parallel motion of rigid body more effectively. Key words：plane-parallel motion of rigid body，basic point method，instantaneous center of velocity，non-slip scroll目录1引言12刚体平面平行运动的认识12.1平面平行运动的定义12.1.1刚体作平面平行运动的条件的讨论12.1.2研究平面平行运动的基本方法42.1.3刚体平面平行运动的特点讨论分析53浅析平面平行运动刚体上任一点速度、加速度的方法83.1基点法的讨论83.1.1刚体

7、的无滑滚动分析93.1.2刚体的即滑动又滚动分析103.2速度投影法123.3速度瞬心法134运动学和动力学问题的讨论154.1刚体平面平行运动运动学问题讨论154.2刚体平面平行运动动力学问题讨论185结语21致谢22参考文献23玉林师范学院本科生毕业论文1引言刚体的平面平行运动是刚体运动的一种重要形式。当刚体中任意一点始终是在平行于某一固定平面的平面内运动为刚体平面平行运动。这时的运动可分解为某一平面内任意一点的平动及绕通过此点且垂直于固定平面的固定轴的转动1。例如匀质圆柱体(或者环、球等)在固定面上无滑动地滚动的运动，是一种很典型的刚体平面平行运动。能明确刚体平面平行运动的特征，和掌握研

8、究平面平行运动的方法，才能够正确判断刚体作平面平行运动。对刚体作平面平行运动的描述可分为以下三个：1、刚体的平面平行运动可看作是随基点的平动和绕基点的转动的合成。2、在一般情况下，刚体的平面平行运动还可看作是每一瞬时都绕瞬时转动中心的纯转动。3、刚体的平面平行运动还可看作是本体极迹在空间极迹上面无滑动地滚动(其中瞬心相对于固定坐标系的轨迹称为空间极迹，而瞬心相对于运动刚体的轨迹称为本体极迹)。在研究刚体平面平行的运动中，刚体上任一点的速度可由基点法、速度投影法、速度瞬心法三个基本方法求得。而在刚体的平面平行运动中，问题种类很多，可运用的规律也很多。一般运用动力学微分方程、动量定理、质心运动定理

9、、动量矩定理、动能定理、及机械能守恒等来解决刚体平面平行运动的动力学问题5 。2刚体平面平行运动的认识2.1平面平行运动的定义近代理论力学教程一书中关于刚体平面平行运动的运动学一节中，对刚体平面平行运动是这样表述的:刚体的运动可看作是质心的平动，再加上刚体绕质心的转动，如果质心被限制在平面上运动，则这种刚体的运动就称为刚体的平面平行运动。即刚体作平面平行运动时，刚体中任意一点始终在平行于某一固定平面的平面内运动。如火车车轮在直线轨道上的滚动，就属刚体的平面平行运动。2.1.1刚体作平面平行运动的条件的讨论刚体在力系作用下，不一定是作平面平行运动，但当刚体符合某些条件时就作平面平行运动了。以下对

10、刚体作平面平行运动所须满足的条件进行推导。上面提到的火车车轮在直线轨道上的滚动，其轮子的滚动为平面平行运动，在运动的过程中，对轮子分析，轮子受到重力、约束反力和推力等，可见轮子所受的力显然为一空间力系。即轮子所受的力可看作平行于某固定平面的平面上的平面力系。为学了便于理解，当刚体受到的力为平行于某固定平面的平面上的平面力系时，根据刚体 图2.1 质心平动坐标Figure 2.1 Center-of-mass translational coordinate力学的一般规律及刚体运动的特点进行分析图2 质心平动坐标系 ，建立个如（图2.1）所示的静止坐标系（坐标面与某固定平面平行）及质心平动坐标系

11、。若要使刚体作平面平行运动，则刚体必须由始至终平行于平面,即在轴方向的合力为0，则刚体受到的力分别作用在轴、轴、轴上有 （2.1） 根据质心运动定理及对质心的动量矩定理，得根据质心运动定理和对质心的动量矩定理，得其动力学方程为 （2.2）上两式中m为刚体的总质量，、为质心C的加速度在、轴上的投影，而及，则为诸外力（包括约束反力）在、方向分量的代数和。为刚体绕轴的转动惯量，（或）为角加速度，而则为诸外力（包括约束反力）在轴的矩代数和3。 对刚体质点组在轴、轴、轴上力矩代数和分别有 （2.3）联立（2.1）式、（2.3）式可得 （2.4）（见图2.1）取刚体上任一点()，其对质心的速度为为即 代入

12、（2.3）式得 即 （2.5）重新组合公式（2.2）、（2.5）有 （2.6）及 （2.7）而(2.6)式是刚体质心运动微分方程2，可见若要使刚体作平面平行运动(2.7)式就是其必须满足的动力学条件。在运动的过程中，刚体所受的力为平行于某固定平面的平面力系，且当作用在其上的力系满足时，根据（2.7）式有 （2.8） 若当和不会同时为零时，有，此时即轴必为刚体的中心惯量主轴。因此刚体作平面平行运动的充要条件可归纳为以下三个：1、刚体在运动过程中，作用其上的力系一般为空间力系，刚体上任何一点到某固定平面的距离始终保持不变。2、(2.7)式为刚体作平面平行运动必须满足的动力学条件。3、当作用在刚体上

13、的力系满足时，轴必为刚体的中心惯量主轴。2.1.2研究平面平行运动的基本方法 根据刚体平面平行运动指的是刚体中任何一点都始终在平行于某一固定平面的平面内运动可知，由于刚体各点的运动平面彼此平行,而且垂直于固定平面的任一直线上的各点都具有相同的轨迹、速度和加速度4。通常选质心为基点，而将刚体的平面平行运动分解为随质心的平动和绕质心的转动。确定质心坐标、；刚体绕质心转动可以用角度来表示。因此，在动力学中确定刚体平面平行运动的三个自由度为、。平面平行运动的动力学基方程，应用质心运动定理确定质心的动力学方程是：；，再应用质心动量矩定理可以得到，转动的动力学方程为：（等于作用于刚体上的所有外力对质心的力

14、矩的代数和）。这三个方程即是解决刚体平面平行运动的动力学问题的基本方程。对刚体的平面平行运动问题的求解，我们尽量用这三个基本方程的方法来解决。由于三个基本方程只能解三个未知量，如果所求的问题，它的未知量要是多于三个的话，这时我们还得根据几何约束的情况，找出约束关系。平面平行运动的约束关系，一般来说有平动和转动的关系。除了应用上面这三个基本方程之外，有时也可配合动力学微分方程、动量定理、质心运动定理、动量矩定理、动能定理、及机械能守恒等来解决平面平行运动中的问题5。通常接触到具体问题时,分析了解具体问题所在与涉及哪方面的内容，选择问题的关键所在或分析相应条件,这样将会简化方程,使问题易于解决。2

15、.1.3刚体平面平行运动的特点讨论分析刚体作平面平行运动时，刚体(平行于固定平面的)截面上的各点具有不同的速度和加速度；刚体作平面平行运动时，刚体中各点都分别在确定的(平行于固定平面的)平面上运动，即各点的轨迹全是平面曲线。刚体作平面平行运动时，刚体上任一点都始终在平行于某一固定平面的平面内运动，由此刚体的平面平行运动可以简化为只需研究刚体中任一和固定平面平行的截面（薄片）的运动就可以了。即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究薄片的运动，从而空间问题化为了平面问题，从而更易确定薄片上各点的速度和加速度图3。图2.2 薄片运动Figure 2.2 The motion of th

16、in slice平面平行运动分解为纯平动和纯转动的合成，如（图2.2）所示，为运动前的位置，为薄片发生一些微小位移后的位置，为运动前薄片上的两点，为运动后薄片上对应的两点。当薄片运动时，我们可认为它是的运动是随基点的平动及绕基点的转动这两种其本运动所合成。随基点平动时，薄片中任何一点的速度显然与基点速度相同，而绕基点转动时，则又可看作是一定轴转动。因此，如果设点为基点，在某一时刻，其速度为，又在此时，薄片绕转动的角速度为（垂直于薄片并沿着转动轴）。 图2.3 绕点转动Figure 2.3 Turning around the point 则薄片上任一点的速度为：（如图2.3所示） （2.9）上

17、式中为对的位矢，为对固定坐标系原点的位矢，而则为基点对的位矢，故是点绕点转动的速度。设相对于固着在固定平面上的坐标系而言，其坐标（），相对于固定着在薄片上并且随薄片一起运动的坐标系而言，其坐标为（），而相对于系的坐标为（）。因恒有垂直于固定平面或薄片，即沿轴或轴。故式（2.9）的分量表示相对于系和相对于系分别为 (2.10)则有 (2.11)则薄片上任一点的加速度为 （2.12）因，而在平面平行运动中恒与垂直，故。即 （2.13）而（2.13）式也可写为 （2.14）式（2.13）和式（2.14）中的第一项是点的加速度。第二项为相对切向加速度，而最后一项则为相对向心加速度。在平面平行运动中，角

18、加速度（即）也跟定轴转动时的情况一样，总与同沿着转动轴线，但其指向则与相同（加速转动时）或相反（减速转动时）。对于平面平行运动来讲，相对切向加速度的量值为，方向与垂直：相对于向心加速度的量值为，沿的反方向并指法向点，这些，也都跟定轴转动时的情形相仿3。近代理论物理，把作平面平行运动的刚体角速度不为零时，在任一时刻薄片上速度恒为零的叫优质转动瞬心，常以表之。转动瞬心相对于系坐标，可令（2.10）式中的及等于零而求得，即 （2.15）而转动瞬心相对于系的坐标，则可令式（2.11）中的及等于零而求得，即 （2.16）如果，则无转动瞬心；或者说，转动瞬心在无穷远处。只要转动瞬心为已知，就很容易推出薄片

19、在此时刻的运动情况。刚体运动时，转动瞬心的位置是不断地转移且随之运动的，而在无滑动在滚动问题是，任一瞬时，两轨迹的公切点为瞬心。其中两轨迹指瞬心相对于固定平面（即相对于）上所描会的空间极迹，和瞬心相对于运动刚体的本体极迹。但如果取为基点，则因C在此时刻的速度为零，故薄片将仅绕转动，而任意一点的速度与垂直，其量值为。利用这项事实，只要知道薄片上任何两点及的速度的方向，我们就可用几何法求图2.4 速度瞬心Figure2.4 Instantaneous centre of velocity 出转动瞬心的位置。例如，已知某瞬时刚体截面上任意两点、的速度为及的方向，且，则从、两点作各自速度方向的垂线，交

20、点即为速度瞬心，如（图2.4）所示。3浅析平面平行运动刚体上任一点速度、加速度的方法3.1基点法的讨论研究刚体的平面平行运行时,常用基点法求解平面图形内各点的速度、加速度,这种方法只能一次求出一点的速度、加速度,若求不同点的速度、加速度需作不同的速度、加速度图分别求解11。 在刚体平面平行运动的研究中，由于刚体的平面平行运动可分解为随基点的平动加上绕通过基点且垂直于运动平面的轴的转动，再说，平面平行运动的刚体上任一点的加速度都可看作等于其随基点的平动加速度与其相对基点的相对加速度的矢量和。 因此解动力学问题时，基点的选择很重要。为了方便分析平面平行运动刚体的动力学问题，建立惯性系 和质心坐标系

21、（即平动的非惯性系 ）。如（图2.1）所示。设在坐标系中对刚体应用质心运动定理，有 (3.1)可由刚体绕通过质心垂直固定平面的轴线（轴）转动,得其转动定理为 （3.2）因如（式3.2）中，因刚体的各个质元的惯性力同向（与反向），它们对 轴（轴）的力矩和为零，即 则， (3.3)作用于刚体各力对质心的合力矩等于刚体对该转动轴的转动惯量与刚体角加速的乘积。可见，若基点不选在质心上，则无法用质心运动定理（见3.3）式，也就无法确定基点运动情况，更无法确定在基点坐标系中观察到的惯性力，同样，也无法计算刚体饶过基点轴转动所承受的惯性力矩。因此，在讨论刚体平面运动动力学问题时，把基点选在质心上是最好的12

22、。3.1.1刚体的无滑滚动分析在平面平行运动中，刚体无滑地滚动的动力学问题可以选不同的基点进行求解，有时选用不同的基点采用同样的方程也能得到正确的结果。如下题例题6(3.1):均质实心圆柱体在固定斜面上无滑动地滚下，若斜面与水平面成角，如(图3.1)所示，求圆柱体转动的角加速度。（1）设圆柱体质量为半径为，在一面上受重力，支持力，摩擦力，建坐标如图。图3.1 圆柱体的无滑滚下Figure 3.1 The cylinder rolls without sliding以质心为基点，动力学方程为 (3.4)式中为绕质心转动的角加速度，由无滑滚动的条件有及， 简化后有 (3.5)（2） 若以刚体与斜面

23、接触点为基点，可建立动力学方程为式中，为刚体绕过点轴的转动惯量，代入解得 (3.6)两种选取基点的方法，所得结果一样。3.1.2刚体的即滑动又滚动分析用上题选取不同点为基点来解均质实心圆柱体在固定斜面上即滑动又向下滚动的情形的圆柱体转动的角加速度。（1）以质心为基点求解时，建立动力学方程为 (3.7)式中(为滑动摩擦系数)解得（2）以为基点进行求解，建立如下方程 (3.8)比较和显然两者不一样，由此可见刚体既滚动又滑动的情形，惯性力的作用不能忽略，因此必须采用对任意点的动力学方程才能得到正确的结果。由于刚体是连续分布的质点组，因此，我们从质点组来分析。设有个质点构成质点组。为定系，为动系，设第

24、个质点受内力，外力,质量，动力学方程为 (3.9)在上面所述的刚体作平面平行运动的条件中推出了刚体作平面平行运动的充要条件，且众所周知,解决刚体平面平行运动的动力学问题,需用质心运动定理 （3.10） 相对于质心的动量矩定理为 （3.11）一般地说,外力中应包含未知的约束反力(如果有的话)。所以还需列出相应的约束方程，此时解题将变得复杂、困难，方程繁杂，对解题不利，本文此处对用连续分布的质点组求解从略。 由于刚体作平面平行运动时,质心轴方向不变,前面讨论刚体作平面平行运动的条相成,合在一起,构成了一组解决刚体平面平行运动的完整的方程7。可见,质心轴是否为惯量主轴是力系能否简化在质心平面内的判据

25、。利用达朗伯原理给出了力系简化的一个重要结论:“刚体具有质量对称平面且刚体平行于此平面而运动的情形。可将惯性力系简化为该对称平面内的平面力系8。”这里的对称平面即质心平面。因为此时可看作是惯性力系只对质心轴(轴)有力矩,即刚体绕质心轴旋转时,惯性力系不会使刚体有偏离转轴的趋势。当刚体的基点不在质心时，要考虑惯性力的作用，取在质心时，用质心运动定理，方程简单，对解题有利。因此，在讨论刚体平面运动动力学问题时，把基点选在质心上是最好的。3.2速度投影法根据速度投影定理有，任意地选取,点，用表示了图形上任意两点速度间的关系。由于恒有，因此将上式在上投影，且 即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的

26、投影彼此相等这种求解速度的方法称为速度投影法。一般说来，用速度投影法求平面平行运动刚体上一点的速度较简便。（如下例）例题3.2 已知：曲柄连杆机构，取柄以匀转动。求：当 时, 滑块的速度，如（图3.2a）所示。图3.2a 滑块的运动Figure 3.2a The movement of the slider通过研究, ，方向,方向沿直线。根据速度投影定理得所以3.3速度瞬心法刚体的平面平行运动可以分解为刚体随基点的平动及刚体绕基点的转动两部分。若取基点为瞬心，则刚体在该时刻的运动就变成了绕瞬心的转动。由于刚体转动的角速度、角加速度等转动量与基点的选取无关，所以只要求出了瞬心的位置就可以求出就可

27、以求出刚体上任一点的速度（公式2.9中)为 （3.12）图3.2b 滑块的运动Figure 3.2b The movement of the slider用速度瞬心法解上题（例题3.2 ）：研究分析，已知、的方向，因此可确定出点为速度瞬心如（图3.2b）所示因为 ， 得 所以 刚体平面平行运动中有些问题用瞬心法求解速度更为便利。如下面的例子例题3.3：设椭圆规尺的端点和沿直线导槽及滑动如（图3.3）所示，而以匀速度运动.求椭圆规尺上点的速度。设。已知椭圆规尺两端点的速度方向，故过及作两直线分别与及垂直，此两直线相交于，故为转动瞬心。又点速度的量值为，由（图3.3）知 （为的角速度）故 根据转动

28、瞬心的定义，知图3.3椭圆规尺的运动 Figure 3.3 Movement of the elliptic compasses ruler对速度瞬心法所述有：a)只要平面平行运动的刚体有转动，就有速度瞬心；刚体无转动就无瞬心或瞬心在无穷远处。若薄片在某固定曲线上纯滚动而无滑动，薄片边缘与固定线接触点速度必为零，接触点即为速度瞬心12。b)作平面运动的刚体，其速度瞬心的瞬时速度为零，而瞬时加速度一般不为零9。若加速度也为零，则其速度就永远是零，亦即瞬时的速度中心就将变成固定的转动中心了。因此，速度瞬心并不是刚体运动平面上的一个固定点。在不同的瞬时，速度瞬心的位置也不同。4运动学和动力学问题的讨

29、论4.1刚体平面平行运动运动学问题讨论在刚体的平面平行运动的运动学部分，可以看作随任意选定的基点的平动和绕通过基点的垂直轴的转动。而且作平面运动的刚体，其速度瞬心的瞬时速度为零而瞬时加速度一般不为零。常见的如圆柱体在固定平面上作无滑滚动：如设圆柱体半径为，设其质心的瞬时速度值为，加速度值为，转动角速度为，转动角加速度为可用以下方法求得:1、合成法根据力的合成法，结合牛顿第二定律和向心运动特点。 由转动角加速度为，建立坐标，如(图4.1)所示，得速度瞬心的加速度在轴是的分量为（由于圆柱体无滑滚动，所受外力合力为零，圆柱体水平方向上的合力为零，即轴方向上的力，故） 图4.1圆柱无滑滚动Figure

30、 4.1The cylindrical rolling without sliding 而在轴上的投影为（圆柱体点相当于只受到向心力作用，向心力）因，瞬心对质心的相对加速度在切向分量0、在法向分量为。所以有 2、矢量法用矢量法研究平面平行运动刚体中点的复合运动,根据上面基点法所述刚体上任一点的速度均可表示为基点的速度和绕基点转动的速度的矢量和,一般用矢量法解题相对来说更简捷、更方便。可选取质心为基点，见式（2.9）则圆柱体边缘上任一点的速度可表示为 将其求导得 因圆柱体作无滑滚动，且点又是速度瞬心，得上式中与刚好大小相等，方向相反。故，因此得出的加速度为 可见，瞬心点加速度大小为，方向由点指向

31、点。3、内禀方程法在圆柱体边缘任取一点，当圆柱体无滑滚动时，点的运动轨迹为一圆摆线.其参数方程为 圆柱体的半径相对轴心转过的角度为，（如图4.2所示）为点的运动轨迹。设点落在轴上成为速度瞬心，即可求得瞬心的加速度。可以根据曲率公式算出摆线的曲率，但用曲率公式计算过程相对来说比较烦杂易错的，将简化为 此过程中的计算量比较大且易错，往往会给解题过程带来很多麻烦（本文对简化过程从略）。图4.2 点的运动轨迹Figure4.2 P-point trajectories 可得摆线的曲率半径为 圆柱体边缘上任一点的速度为此过程中，点在任一时刻的切向加速度和法向加速分别为 当点在某一时刻成为速度瞬心时，其参

32、数（见图4.2)。据此分别求出点在该时刻的切向加速度和法向加速度为 （因） 当时，有其大小为，方向与自然坐标系切向单位矢的方向相反。与前面两种方法计算的结果相同9。4.2刚体平面平行运动动力学问题讨论 刚体平面平行运动动力学问题有很多种，虽然说对此类问题通常用解决刚体平面平行运动的动力学问题的三个基本方程的方法来解决。但选取别的方法解题也同样能达到相同的效果，在此简单介绍动能定理和机械能守恒定律：其中动能定理指出，刚体动能的增量等于作用于刚体的外力的功与外力矩的功的代数和。其中刚体的动能由柯尼希定理给出,而功是标量,可见动能定理的表达式是一个标量式方程。用它可以代替解决刚体平面平行运动的动力学

33、问题的三个基本方程中的一个方程,而不是增加一个方程,因为刚体平面平行运动只有3个自由度,即只能有三个方程是相互独立的。如果作用于刚体上的力只有保守力作功的情况下,则由机械能守恒定律有：,式中为势能,为总能量是一个常数。同样可以用这个方程代替解决刚体平面平行运动的动力学问题的三个基本方程中的一个方程。用机械能守恒定律解题虽然比较简单,但一定要满足其适用条件4。以下对一个例题的三种解法进行简单介绍分析。（见下例4.3）例题4.3:半径为的均质圆球，可在一具有水平轴、半径为的固定圆柱的内表面滚动。试求圆球绕平衡位置作微振动的运动方程及其周期。1、 质心运动定理及绕过质心轴的动量矩定理法，这是求解刚体

34、平面平行运动的动力学问题的基本方法，原则上适用于平面平行运动动力学的一切问题。该方法既可以求力，又可以求运动规律13。图4.3 圆球在固定的圆柱内表面滚动Figure 4.3 Cylindrical inner surface of the sphere in a fixed scroll球的运动看作质心的平动及绕质心轴的转动。选圆球为研究对象，画出圆球的受力图，建立自然坐标系如(图4.3)所示，轴垂直纸面向里。由于圆球在圆柱面内无滑滚动的运动学特征知，点速度为零，即为瞬心，则有即 ，则刚体平面平行运动可分解为随质心的平动和绕质心的转动。则有两式消去，化简得由于作微振动，所以，代人上式整理得因

35、此，圆球绕着平衡位置作微振动的运动方程周期为2、用动能定理求解 刚体的动能包含两部分，以质心为代表的平动动能和绕质心转动的动能。质点组或刚体动能的变化，等于诸内力及诸外力作功之和15。 在从如图4-3所示的任意位置到最大摆角位置过程中，运用动能定理可得: 即 可简化为 式中两边对时间求导可得 很小时，代人上式整理得 同理，周期也为 3、用机械能守恒定律求解。该方法在满足系统只有保守内力作功的条件下才能采用机械能守恒。由于球体作无滑滚动，静摩擦力及约束反力均不做功，重力为保守力，把圆球、圆柱面、地球看成一系统，组成的系统机械能守恒，圆球在圆面内滚运动过程中，只有重力作功，即系统只有保守内力作功。根据系统机械能守恒，得：选过点的水平面为零势能面，根据机械能恒定律可知圆球在任一位置的动能与势能之和为常数，即(常数)由于，即对上式两边对时间求导，整理可得：同上两种解法结果相同，周期也相同运用了不同的方法解题，通过比较分析，质心运动定理及绕过质心轴的动量矩定理法解题具有普遍性。用动能定理求解时只需考虑始末运动状态即可，无需关注过程中的细节变化，这样显得更为简捷。在满足系统只有保守内力作功的条件下运用机械能守恒定律解题相对简便很多。最后还应指出，上面介绍的仅仅是刚体平面平行运动动力学问题中常用的质心运动定理及绕过质心轴的动量矩定理法和常作辅助作用的动能定理法和机械能守恒法，对刚体平面平行运