北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》全部教案姚连省编制VIP

1、北师大版高中数学选修2-2第三章 导数应用全部教案扶风县法门高中 姚连省§1 函数的单调性与极值第一课时 导数与函数的单调性（一）一、教学目标：1、知识与技能：理解函数单调性的概念；会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。2、过程与方法：通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：函数单调性的判定 教学难点：函数单调区间的求法三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型

2、，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用（二）新课探究 1问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数相应地，（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减

3、少，即是减函数相应地，2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率在处，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数3求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间（三）典例探析例1、

4、已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状解：当时，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1）； （2）（3）； （4）解：（1）因为，所以，因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示（2）因为，所以， 当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；函数的图像如图3.3-5（2）所示（3）因为，所以，因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示（4）因为，所以 当，即 时，函数 ；当，即 时，函数

5、；函数的图像如图3.3-5（4）所示注：（3）、（4）生练例3如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快反映在图像上，（A）符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况 解：思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就

6、比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”例4、求证：函数在区间内是减函数证明：因为当即时，所以函数在区间内是减函数说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）求导函数；（2）判断在内的符号；（3）做出结论：为增函数，为减函数（四）课堂练习：课本P59页练习1（1）；2（五）回顾总结：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）求解函数单调区间；（3）证明可导函数在内的单调性（六）布置作业：课本P62页习题3-1A组1、2五、教后反思：第二课时 导数与函数的单调性（二）一、教学目标：1、知识与技能：理解函数单调性的概念；会判断函数的单

7、调性，会求函数的单调区间。2、过程与方法：通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：函数单调性的判定 教学难点：函数单调区间的求法三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、问题情境1情境：作为函数变化率的导数刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化的一种刻画2问题：那么导数与函数的单调性有什么联系呢？（二）、学生活动：结合一个单调函数的图象，思考在函数单调递增的部分其切线的斜率的符号（三

8、）、建构数学如果函数在区间上是增函数，那么对任意，当时，即与同号，从而，即这表明，导数大于与函数单调递增密切相关一般地，我们有下面的结论：设函数，如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么为该区间上的减函数；如果在某区间上，那么为该区间上的常数函数上述结论可以用下图来直观理解思考：试结合：如果在某区间上单调递增，那么在该区间上必有 吗？说明：若为某区间上的增（减）函数，则在该区间上（）不一定成立即如果在某区间上（）是在该区间上是增（减）函数的充分不必要条件（四）、知识运用1、例题探析：例1、确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数解：令，解得因此，在区间内，是增函数同

9、理可得，在区间内，是减函数（如左图）例2、确定函数在哪些区间内是增函数解：令，解得或因此，在区间内，是增函数；在区间内，也是增函数例3、确定函数，的单调减区间解：令，即，又，所以故区间是函数，的单调减区间注意：所求的单调区间必须在函数的定义域内例4、已知曲线，（1）用导数证明此函数在上单调递增；（2）求曲线的切线的斜率的取值范围（1）证明：恒成立所以此函数在上递增（2）解：由（）可知，所以的斜率的范围是2、巩固练习：练习册1，2，3（五）回顾小结：函数单调性与导数的关系：函数，如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么为该区间上的减函数；如果在某区间上，那么为该区间上的常数函

10、数。用导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的导数f(x)。令f(x) 0解不等式，得x的范围就是递增区间。令f(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间。（六）、作业布置：1、已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.（）求函数的解析式；（）求函数的单调区间。解：（）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.2、已知向量在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围。解： 依定义的图象是开口向下的抛物线，五、教后反思：第四课时 函数的极值一、教学目标：1、知识与技能：理解函数极值的概念；

11、会求给定函数在某区间上的极值。2、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习引入1、常见函数的导数公式：； ； 2、法则1 法则2 , 法则3 3、复合函数的导数： 4、函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数5、用

12、导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的导数f(x). 令f(x)0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间 （二）、探究新课1、极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2、极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3、极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，

13、极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4、判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，

14、并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值5、求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数；(2)求方程=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。（三）、典例探析例1、求的极值 解： 因为，所以。下面分两种情况讨论：（1）当>0,即，或时；（2）当<0,即时.当x变化时， ，的变

15、化情况如下表：-2(-2,2)2+00+极大值极小值因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为。函数的图像如图所示。例2、求y=(x21)3+1的极值解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2令y=0解得x1=1，x2=0，x3=1当x变化时，y，y的变化情况如下表-1(-1,0)0(0,1)100+0+无极值极小值0无极值当x=0时，y有极小值且y极小值=0（四）、巩固练习：1求下列函数的极值.(1)y=x27x+6 (2)y=x327x(1)解：y=(x27x+6)=2x7令y=0，解得x=.当x变化时，y，y的变化情况如下表.0+极小值当x=时，y有极小值

16、，且y极小值=.(2)解：y=(x327x)=3x227=3(x+3)(x3)，令y=0，解得x1=3，x2=3.当x变化时，y，y的变化情况如下表.-3(-3,3)3+00+极大值54极小值-54当x=3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时，y有极小值，且y极小值=54（五）、小结：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点 求极值的具体步骤

17、：第一，求导数f(x).第二，令f(x)=0求方程的根，第三，列表，检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 （六）、课后作业：课本P62 练习题（1）、（2） 课本习题3-1中 A组3五、教后反思：§2 导数在实际问题中的应用第五课时 函数的最大值与最小值（一）一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体实例的分析，会利用导数求函数的最值

18、。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程：（一）、复习引入 1、极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2、极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3、极大值与极小

19、值统称为极值注意以下几点：（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而> （）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也就是说，如果是函数的极大（小）值点

20、，那么在点附近找不到比更大（小）的值但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小如果是函数的最大（小）值，那么不小（大）于函数在相应区间上的所有函数值（二）、探究新课1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象图中与是极小值，是极大值函数在上的最大值是，最小值是结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值说明：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值如函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数在闭区间上连续，

21、是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、“最值”与“极值”的区别和联系最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3

22、、利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值（三）、例题探析例1、求函数在区间上的最大值与最小值解：先求导数，得令0即解得导数的正负以及，如下表X-2（-2,-1）-1（-1,0）0（0,1）1（1,2）2y/000y1345413从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4 例2、已知,(0,+).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函

23、数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.解：设g(x)= f(x)在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数g(x)在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数. 解得 经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件。（四）、课堂练习：1下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f(x) ( )A.等于0B.大于0 C.小于0D.以上都有可能3.函数y=，在1，1上的最小值为( )A.0B.

24、2 C.1D.4.函数y=的最大值为( )。A.B.1 C.D.5.设y=|x|3,那么y在区间3，1上的最小值是( )A.27B.3 C.1D.16.设f(x)=ax36ax2+b在区间1，2上的最大值为3，最小值为29，且a>b,则( )A.a=2,b=29B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=2,b=3（五）、小结 ：函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。

25、（六）、作业布置：课本P69页习题3-2A组2、4五、教学反思：第六课时 函数的最大值与最小值（二）一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习引入1函数y = x·ex在x0, 4的最小值为（ A ）A0BCD2给出下面四个命题.函数y = x2 5x + 4 (x

26、1，3)的最大值为10，最小值为；函数y = 2x2 4x + 1 (x(2, 4)的最大值为17，最小值为1；函数y = x3 12x (x(3, 3)的最大值为16，最小值为 16；函数y = x3 12x (x(2, 2)无最大值，也无最小值.其中正确的命题有（ C ）A1个B2个C3个D4个（二）、利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值说明：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值如

27、函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（三）典例探析例1、求函数的最大值与最小值。解析：列表：-0+0-极小值极大值，练习：求函数的最大值与最小值。例2、已知函数，（I）求函数在上的最大值和最小值.（II）过点作曲线的切线，求此切线的方程.解析：（I）， 当或时，为函数的单调增区间 当时，为函数的单调减区间 又因为，所以当时， 当时， （II）设切点为，

28、则所求切线方程为 由于切线过点，解得或 所以切线方程为即或 练习：已知函数。若f（x）在-1，2上的最大值为3，最小值为29，求：a、b的值例3、已知a为实数，（）求导数；（）若，求在上的最大值和最小值；（）若在和2，+上都是递增的，求a的取值范围。解：()由原式得 ()由 得,此时有.由得或x=-1 , 又所以f(x)在-2,2上的最大值为最小值为 ()的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得 即 -2a2. 所以a的取值范围为-2,2. （四）、课堂小结：1、函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2、函数在闭区间上连续，是在闭区间上

29、有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3、闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4、利用导数求函数的最值方法（五）课后作业：练习册P41中2、4、5、7五、教学反思：第七课时 导数的实际应用（一）一、教学目标：1、知识与技能：让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；会利用导数求解最值。2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法二、教学重点：函数建模过程 教学难点：函数建模过程三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：利

30、用导数求函数极值和最值的方法（二）、探究新课例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积 令 0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过

31、大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2R2由V=R2h，得，则S(R)= 2R+ 2R2=+2R2令+4R=0解得，R=，从而h=2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提

32、示：S=2+h=V(R)=R= )=0 例3、已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入，利润令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大（三）、小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.（四）、课堂练习：第69页练习题 （五）、课后作业：第69页A组中1、3 B组题。五、教后反思：第八课时 导数的实际应用（二）一、教学目标：1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际

33、问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程：（一）创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题（二）新课探究导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问

34、题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案（三）典例分析例1、海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能

35、使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为 。 求导数，得。令，解得舍去）。于是宽为。当时，<0；当时，>0.因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。例2、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商

36、可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是 令 解得 （舍去）当时，；当时，当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低（1）半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值（2）半径为cm时，利润最大换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当时，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才

37、为正值当时，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小（四）课堂练习1用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积（高为1.2 m，最大容积）2课本P65 练习题（五）回顾总结建立数学模型：1利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案2解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数

38、往往是一个有利的工具。（六）布置作业：1、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b. 解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=bAD=h+b, S= CD=,AB=CD.l=×2+b由得b=h,代入,l=l=0,h=, 当h<时，l<0,h>时，l>0.h=时，l取最小值，此时b=2、已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y 4x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最

39、大者的边长【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x 0，y 0，则另一个在抛物线上的顶点为（x，y），在x轴上的两个顶点为（x，0）、（x，0），其中0 x 2设矩形的面积为S，则S 2 x（4x2），0 x 2由S（x）86 x20，得x ，易知x 是S在（0，2）上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为和【点评】应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值五、教后反思：第九课时 导数的实际应用（三）一、教学目标：1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问

40、题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题（二）、新课探究导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问

41、题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案（三）、典例分析例1、磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单

42、元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域（1）是不是越小，磁盘的存储量越大？（2）为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条

43、磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量× （1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大（2）为求的最大值，计算令，解得当时，；当时，因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为例2、汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值如果用表示每千米平

44、均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（单位：L），表示汽油行驶的路程（单位：km）这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题 通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题 解：因为 这样，问题就转化为求的最

45、小值从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小在此切点处速度约为90因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为 L例3、在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)C(x)称为利润函数，记为P(x)。（1）、如果C(x)，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）、如果C(x)=50x10000，产品的单价P1000.01x

46、，那么怎样定价，可使利润最大？变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入，利润令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大（四）、课堂练习：在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何

47、处才能使水管费用最省？解析 根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则BD=40,AC=50x, BC=又设总的水管费用为y元，依题意有 y=30(5ax)+5a (0x50)y=3a+,令y=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50x=20(km)供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省 （五）回顾总结建立数学模型：1利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案2解决优化问题的方法：通过

48、搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。（六）布置作业：1、一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有y ×30×40，y20，令y0，得x 15，且y，f(15)0，所以当x 15时，y取得极小值，且极小值唯一，故 当