非线性理论简介

1、非线性理论简介1、 动力系统设为一个拓扑空间，含参量的映射 如果满足i) ;ii) 则称（）为一个（连续）动力系统，这里通常把看作时间参数。例如就是一个连续的动力系统。对任意固定的初始状态，下面的过程，把初始状态变成了时刻的状态，我们称为的轨道。称为一个不动点，如果 如果有使得则称此轨道是周期的。在离散动力系统的情况下，即参量，我们考虑一个给定的映射的迭代设，如果有使得，且，则称为周期点。对，如果存在使得为周期点，则称为最终周期点。混沌、分形与孤子是上个世纪70年代开始发展起来的三个新型学科，统称为的非线性理论，其中混沌和分形属于数学的范畴（孤子属于物理范畴，这里不讲），在很多方面例如物理、化

2、学、生物、地质等学科中都有广泛的应用。2、 混沌设为度量空间（度量空间自动诱导一个拓扑空间），如果 为压缩映射，即存在一个常数（称为压缩比），使得均有，则由不动点原理，有唯一一个不动点，即1周期点，而无其他周期点，而且，其轨道中的点所组成的点列均收敛于。下面我们只考虑度量空间（其中度量为通常的欧氏距离）。设，为连续映射，如果它不是压缩映射，则情况就复杂得多。吸引子：吸引子是中一个集合，附近所有点的轨道都收敛到这个集合。例1：，对任何实数，当时都收敛于零，所以的吸引子为单点集。 例2: ，对任何实数，当时都收敛于0.739，所以的吸引子为单点集。一般地称为的吸引子，若为闭集，满足（即为的不变集）

3、，使得对包含的一个开集中的所有点到的距离在时趋于零。满足这种性质的最大开集称为的吸引域。由于满足，因此它通常可能就是的吸引子。排斥子：类似地，设闭集是的不变集，如果附近但不在上的所有点经迭代后远离，则称为的排斥子。例3：如函数吸引子为单点集，而排斥子为单点集混沌：如果下列条件成立，则说在是混沌的i) 使得其轨道在中稠密；ii) 中的周期点在中稠密；iii) 对初始值的敏感依赖性：，及任意接近的和整数使得。Li-Jorke定理 若有周期3的点，则，有周期的点。此定理就是说，周期3蕴涵混沌。例4：气象中的混沌现象 例5 股市中的混沌现象 3、分形 设为中的压缩映射，压缩比分别为，用表示中所有非空紧

4、集所组成的集类，对，定义的领域为设，我们定义间的距离为称为上的Hausdorff度量。根据，我们来定义上的压缩映射，其压缩比为。则由不动点原理知，在中有唯一的不动点，即有唯一一个非空的紧集使得。不动点通常就是一个分形。例6 Cantor集 设，则为压缩，于是有唯一的非空紧集使得，这个集合就是我们熟知的（三分）Cantor集。 例7 雪花曲线设中的映射为 则为中的压缩，于是有唯一的非空紧集使得 这个集合就是我们熟知的Koch曲线或雪花曲线。 附录相关背景蝴蝶效应来源于美国气象学家洛伦茨（ELorenz）60年代初的发现。在混沌学传奇与分形论奇异性探索等书中皆有这样的描述：“1961年冬季的一天，

5、洛伦茨在皇家麦克比型电脑上进行关于天气预报的计算。为了考察一个很长的序列，他走了一条捷径，没有令电脑从头运行，而是从中途开始。他把上次的输出直接打入作为计算的初值，但由于一时不慎，他无意间省略了小数点后六位的零头，然后他穿过大厅下楼，去喝咖啡。一小时后，他回来时发生了出乎意料的事，他发现天气变化同上一次的模式迅速偏离，在短时间内，相似性完全消失了。进一步的计算表明，输入的细微差异可能很快成为输出的巨大差别。这种现象被称为对初始条件的敏感依赖性。在气象预报中，称为蝴蝶效应。”“洛伦茨最初使用的是海鸥效应。”“洛伦茨1979年12月29日在华盛顿的美国科学促进会的演讲：可预言性：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在德克萨斯引起龙卷风吗? ”参考文献 1 Tien-Yien Li and J. A. Yorke, Period Three Implies Chaos, 1975. 2 J. Jost, Dynamical Systems, Springer-Verlag, 2005 3