【图文】第五节极限的运算法则及存在准则

1、 极限的几种类型： 1 简单型 由运算法则直接求出结果 ： 例1 求 lim(4 x 3 - x 2 + 3. x®2 解 lim(4 x 3 - x 2 + 3 = lim 4 x 3 - lim x 2 + lim 3 x®2 x ®2 x ®2 x ®2 = 4 (lim x 3 - (lim x 2 + 3 = 4 ´ 2 3 - 2 2 + 3 = 31 x ®2 x ®2 一般地, 设n次多项式为 Pn ( x = a n x n + a n-1 x n-1 + L + a1 x + a 0 , 则 即

2、 x ® x0 n n lim Pn ( x = an x0 + an-1 x0 -1 + L + a1 x0 + a0 , x ® x0 lim Pn ( x = Pn ( x0 . x + 3x + 7 = 例 2 lim x ® -1 x +2 2 x ® -1 lim ( x 2 + 3 x + 7 x ® -1 lim ( x + 2 -12 + 3( -1 + 7 5 ( = = =5 -1 + 2 1 注 : 一般地 , 求有理函数当 x ® x0 的极限时 若分母的极限不为零， x = x0 代入有理 把 函数直接求函

3、数值 , 即为该函数的极限。 2x - 1 2 ´ 2 - 1 例 lim 2 = 2 =3 x®2 x - 3 2 -3 0 2 型 ( 记号 0 2 x -4 = lim ( x + 2 = 2 + 2 = 4 例 3 lim x ®2 x - 2 x ®2 【注】 对分子、分母极限均为 0 情形的有理式 , 先约 去分子分母的公因子 , 再求极限，不能直接使用法则 3 练习： x - 16 求 lim . x ®4 x - 4 x 2 - 16 解 lim = lim( x + 4 = 4 + 4 = 8 x ®4 x - 4

4、x ®4 2 ¥ 3 ¥ 型 ( 记号 3 x2 + x + 1 lim 例 4 x ®¥ 2 - + 2x x 1 = 3 2 1 + + 3 x = lim x ®¥ 1 2- + x 1 lim ( 3 + 2 x = x ®¥ 1 lim( 2 x2 x ® ¥ 1 + x 1 + x 1 2 x 1 2 x 1 5 1 5 + 2 + 2 lim ( +5 x x x = x ®¥ x x = 0 = 0 = lim 例 5 lim 2 x ®&

5、#165; x - 9 x ®¥ 9 9 - 2 - 2 1 1 lim (1 x ®¥ x x ¥ 【注】对 ¥ 型 的有理式函数的极限 , 由于分子分母极限 为 ¥ , 极限不存在 , 不能用法则 3 , 先对分子 、分母同 除以 x 的最高次幂再求极限。 4 x3 + 2 x - 1 练习： 求 lim . 2 x ®¥ x +3 2 1 4+ 2 - 3 3 4x + 2x - 1 x x = lim lim 解 =¥ 2 x ®¥ x ®¥ 1 3 x +3 + x x3 一般地 , 设a0 ¹ 0, b0 ¹ 0 , m, n 为正整数 , 则 a0 x n + a1 x n-1 + a2 x n- 2 + L + an = lim m m