正态总体均值与方差的假设检验-

1、§7. 2 正态总体均值与方差的假设检验一、简介对于正态总体,其参数无非是两个:均值(期望µ和方差,如果加上两总体的参数比较,概括起来,对参数的假设一般只有如下四种情形:2(对µ,(对,(对221µµ,(对. 2221/检验的类别和方法:关于均值的检验 (方差未知检验法方差已知检验法t u 关于方差的检验(2两个正态总体检验法一个正态总体检验法F 下面我们将分别予以讨论。 二、正态总体均值µ 的检验(一 u 检验u 检验适应在方差已知的情况下,对均值的检验(一个总体或两个总体。 1. 一个正态总体情形设总体,样本来自总体X , 已知.

2、 ,(2µN X ,(21n X X X 21° 提出假设: H 0:; H 0µµ=1: 0µµ2° 取检验统计量: n X U µ0=,在H 0成立的条件下,(0,10N nX U µ=3° 给定显著性水平 05.00(<,=u U P由21( =u .:,22u u x x n 2u 2u 4° U由样本值计算的观察值5°作判断:若 H 0;否则,.0u ,则拒绝W u 0,若W u 0 则接受H . 0例 7.4 某工厂生产的铜丝的折断力(单位:N 服从正态分布

3、N (µ, 82. 某日抽取10根铜丝, 若已认为该日生产的铜丝合格(=0.10?解 1° 假设: H 0:进行折断力试验, 测得结果如下:578, 572, 570, 568, 572, 570, 572, 596, 584, 570知µ=576, 问是否可以576=µ H 1:576µ 108576=X U2° 取检验统计量: (0,1108576N X U =5762.5750<=u 50作判断,因为W u 0 所以接受H ,即在显著水平=0.10下,可认为该日生产的铜丝合格。0例 7.5 微波炉在炉门关闭时的辐射量是一个

4、重要的质量指标,某厂该指标服从正态分布N (µ, 2. 长期以来1.0=,且均值都符合要求不超过0.12. 为检查近期产品的质量,抽查了25台,µ解 1° 假设: H 0:12.0µ 12.0> 此问题属于单侧假设检验问题. 已知1.0=, H 1: n =25.2° 取检验统计量: 251.0µ=X U(0,1251.0N X U µ=在H 0成立的条件下,05.0=,12.0µ若H 0成立,则 ,从而251.012.0251.0=X U X U µ.645.1:,(05.021=u u x x

5、x W n.012.01203.0251.012.00<=×=x u50作判断,因为W u 0 所以接受H 0,即在显著水平=0.05下,可认为当前生产的微波炉关门时的辐射量无明显升高. 两个总体检验适应的问题的一般提法如下:设为出自的样本,Y Y Y 为出自µN 的样本,2.两个正态总体情形u .,(121n X X X ,(211µN .,(,(21,2221n 2221µµ=21µµ 已知,两个总体的样本之间独立。1° 提出假设: H 0:; H 1:2° 取检验统计量: 222121(n n

6、 Y X U +=1,0(222121N n n Y X U +=在H 0成立的条件下,3° 给定显著性水平 05.00(<,=2u U P,21(=u 查表可得临界值 .2u由拒绝域:,;,(2y x x x W = ,221211u u y y n n 4° 由样本值计算U 的观察值u .:,05°,W u 则接受H .作判断:若 ,则拒绝W u 0H 0;否则,若00例 7.6 一卷烟,化验尼古丁的含量是否相同,从A , B 中1 2426据经验知,尼古丁含量服从正态分布,且A 种的方差为B 种的方差为8,取=0.05,问两种差异?解 设两种烟草的尼古

7、丁平均含量分别为 1° 提出零假设: H 0:; H 1:2° 取检验统计量: 厂向化验室送去A , B 两种烟草各随机抽取重量相同的五例进行化验,测得尼古丁的含量(单位:毫克为:A :24 27 26 2B :27 28 23 31 5,21µµ和.烟草的尼古丁含量是否有21µµ=21µµ 222121(n n Y X U +=1,0(2在H 0成立的条件下,22121N n n Y X U +=12121=u y y y x x x W n n 4° 由样本值:27,4.24,521=y x n n

8、计算U 的观察值.0u 612.15852+n 5274.24(221210=+=n y x u 5°作判断:,因为W u 0 所以接受H 0,即在显著水平=0.05下,认为两种烟草的尼古丁含量是无显著差异.7.2中: 表7.2 统计假设方差已知时,对正态总体期望的假设检验小结于表对总体要求检方法H 0H 1验 统计量 拒绝域 时,对期望的检验,可以是单总体,也可是双总体。当然对于双总体,它们的样本之间应该是独立的。 1.设总体,样本来自总体X ,未知. 1° 提出假设: H 0:; H 1:(二 t 检验t 检验用于当方差未知 一个正态总体情形,(2µN X ,

9、(21n X X X 20µµ=0µµ nS X T n =µ 2° 取检验统计量在H 0成立的条件下,=T 1(0n t nS X n µ3° 给定显著性水平 05.00(<,=1(n t T P查表可得临界值 .(2n t 拒绝域:,=t x W n 1.1(:,(221n t x x 22.0t 4° 由样本值计算T 的观察值5°作判断:若 ,则拒绝W t 0H 0;否则,若W t 0 则接受H 0.例 7.7 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平

10、均成绩为66.5分,修正的标准差为15分. 问:在显著水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?解 设该次考试的学生成绩为X ,则,(2µN X 1° 提出假设: H 0: nS X T n =µ 70=µ70µ H 1由于未知,所以用t 检验法. :22° 取检验统计量1(0在H 0成立的条件下,=t T n nS X n µ 3° 给定显著性水平 05.0=,=1(2n t T P15,5.66,36=ns x n , n 1(02=t n t 拒绝域:.0301.2:,(21=t x x

11、 x W n0=t ,因为W t 705.66< 5°作判断:0 所以接受H 0,即在显著水平=0.05下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为总体情形对于两个总体,一般地讨论比较麻烦,通常考虑两种特殊情况: 70分.2.两个正态 (1=21(未知,这一情形问题的一般提法是:设为来自的样本,为来的样假设:2111o <>或或µµµ的显著水平为,(121n X X X ,(21µN ,(221n Y Y Y ,(22µN 自0,0(0:本,两个总体的样本之间独立,需检验H ;0H 2=µ21µ

12、81;=21µµ的检验。检验步骤:1° 提出假设: H 0:; H 1:2° 取检验统计2212222111(1(21n n S n S n T nn +=量: 在H 0成立的条件下,(=n t T 2(1(1(2121+n n n n n n n S n S n Y X nn3° 给定显著性水平 05.00(<,=+2(212n n t T P查表可得临界值 .2(21+n n t .2(:,;,(212121221+=n n t t y y y x x x W n n 拒绝域:4° 由样本值计算T 的观察值作判.0t 5&#

13、176; 断:若 t 0H ;否则,0,若W t 0 则接受H .(221,未知,但,则可考虑所谓配对检验法。此时令n n n =21,则拒绝W =nS Z Z 21,1=ni ini i i i i Z Zn nZ n i Y X 121(1,2,1,由于当21µµ=时,且相互独立,则,0(2221+N Z i 1(1(,0(2222122221+n S n n N Z 2nS Z 与独立,故1(111(222122221=+=n t n S Zn S n nZT nn 且t 可作为0=µµH 。8羊毛在处理前后,各抽取样本,侧得含脂率如下(% 1 3

14、0 27 的检验统计量0:21例 7. 某种: 处理前 19 18 21 30 66 42 8 2 05.0=处理后 4162,8,102121=+=n n n n 自由度:已知.151372419820羊毛含脂率服从正态分布,问:处理后含脂率有无显著变化(?解 1° 假设: H 0:; H 1:21µµ=21µµ212222111(1(21n n S n S n T nn +=2° 取检验统计量: 在H 0成立的条件下,16(2(2(1(1(1Y X +=05.0=,05.016(025.0=t T P 223° 给定显著

15、性水平 2.12.216(025.0=t查表可得临界值 拒绝域:.12.2:,;,(212121=t y y y x x x W n n81,10175.13,3.278122110122121=i in i in ys xs y x ,1522.212(2120+=n n n x t1(1(211222211+n n n s n s n y nn,即可以认为处理后含脂率有显著变化.表7.321 5°作判断:因为 ,所以拒绝W t 0H 0方差未知时,对正态总体期望的假设检验小结于表7.3中: 2F 2F(三检验和检验(test and test 2检验和F 检验都是对于方差的检验,

16、前者用于一个正态总体的方差检验.,后者用于两个正态总体的方差比的检验。检验为出自的样本,要对参数进行检验,这里1.设,(21n X X X ,(2µN 2µ2往往是未知的。0:; H 1:2=202201° 提出假设: H 2° 选择统计量:2= n S n n (在H 0成立下3° 给定显著性水平 05.00(<1(1(2202,拒绝域为1(1(,(212222122=n n x x x W n : 如图7-3所示。 图7-3此时,.|(0=+=H W P2的观察值 20224° 由样本值计算. 25°作判断:若 ,

17、则拒绝W 0H 0;否则,若W 0 则接受H 2例 7.9 某厂生产的汽车蓄电池使用寿命服从正态分布,其说明书上写明其标准差不超过0.9a ,现随机抽取10只,得修正样本标准差为1.2a ,试在005.0=水平下检验厂方说明书上所写的标准差是否可信.; H 1:采用检验法,为单侧检验.2° 选择统计量:解1° 假设: H 0:29.029.0>21(22=n n 1222S n(在H 0成立下3° 给定显著性水平05.0=, 查表得 拒绝域为221=n W ,其中919.1699205.02=( 9(919.169(,2220229.091(=nnS S n

18、 (2=:x x x 2的观察值 .204° 由样本值计算919.169(169.02.1 922×,因为W 20 所以接受H 0,即认为在05.0=05.0220=<= 5°作判断:水平下厂方说明书上所写的标准差可信。设,1X X 出1n Y Y 为出自的样本,且样本之间独立。考虑假设(H : ; : (四 F 检验,N 2,(222µN 1,2n X 为自,(211µ的样本,2Y 21=22 1H 2122 0(: ; H : 对此可采用统计量0H 2122 2>211222222121/S F /=S 进行检验,易知,对于(,

19、在下,我们可取拒绝域为0H 1,1(21n n F F 1,1(1,1(2112122><=n n F F n n F F W 此时.0.例 7.10 假设其寿命服从正态分布,=|(0H W P 对于(,类似前面的讨论,可取拒绝域为1,1(211>=n n F F W 此时|(H W P 现有两箱灯泡,今从第一箱中抽取9只,算得寿命的样本均值 ,1532=x 样本均方差 ;43211=n s 从第二箱中抽取18只,算得寿命的样本均值 ,1532=x 样本均方差; 作适当的检验,对38022=n s 05.0=,检验是否可以认为这两箱灯泡寿命服从同一正态分布. F0.025 (

20、18,9 = 3.69 t 0.025 (27 = 2.052 F0.025 (9,18 = 2.93 F0.025 (17,8 = 4.05 t 0.025 (25 = 2.06 F0.025 (8,17 = 3.061 解 设第一箱、第二箱灯泡寿命分别为 X, Y. X 与 Y 独立， 2 2 X N ( 1 , 1 , Y N ( 2 , 2 (1 先作 F 检验 1° 假设: H0： 1 = 2 ; 2 2 H1： 1 2 2 2 2 S 2 / 1 S 2 = 1 F (n1 1, n 2 2 = F (8,17 (在H0成立下 2° 取统计量： F = 1 2

21、S 22 / 2 S 22 3° 给定显著性水平 = 0.05 ， 由 F0.025 (17,8 = 4.05 得 F0.975 (8,17 = 拒绝域为 W = ( x1 , , x n ; y1 , 1 1 1 = 0.247 F0.025 (17,8 4.05 , y n : F F0.975 (8,17 = 0.247 F F0.025 (8,17 = 3.061 ， 2 4° 由样本值计算 F 的观察值 f 0 1.32. 5° 作判断： 因为 f 0 W，所以接受H0，即可认为 1 = 2 . 2 2 (2 再作 t 检验 1° 假设: H0： 1 = 2 ； H1： 1 2 2° 取检验统计量： T = (X Y 2 2 n1 S1n + n 2 S 2n 1 2 n1n 2 (n1 + n 2 2 n1 + n 2 在H0成立的条件下， T= (X Y 2 2 n1 S1n + n 2 S 2n 1 2 n1n 2 (n1 + n 2 2 t (n1 + n 2 2 = t (25 n1 + n 2 3°