勾股定理知识点梳理及典型题

1、勾股定理一、知识归纳1、勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为c ,那么a2 b2 c22、勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形 和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3、勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90 ,则 c Ja2 b2 , b Jc2 a2 , a Jc2 b2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系4、勾股定理的逆定理如果三角形三边长

2、a, b, c满足a2 b2 c2,那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形 的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a, b , c为三边的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2,时，以a, b, c为三边的三角形是钝角三角形；若a2 b2 c2,时，以a, b, c为三边的三角形是锐角三角形；二、题型题型一：直接考查勾股定理例1 . 在 ABC中， C 90已知AC 6, BC 8.求AB的长已知AB 17, AC 15,求BC的长（

3、分析：直接应用勾股定理 a2 b2 c2）题型二：应用勾股定理建立方程例 2 .在 ABC 中， ACB 90 , AB 5 cm, BC 3 cm, CD AB 于 D , CD =已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 已知直角三角形的周长为 30 cm,斜边长为13 cm,则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解例3 .如图 ABC 中，C 90 ,12, CD 1.5, BD 2.5,求 AC 的长例4.如图Rt ABC,C 90 AC 3,BC 4 ,分别以

4、各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高 8 cm,另一棵高2 cm,两树相距8 cm, 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为 a, b, c,判定 ABC是否为Rt a 1.5, b 2, c 2.5 a 5, b 1 , c 243例7.三边长为a, b, c满足a b 10, ab 18, c 8的三角形是什么形状题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知 ABC 中，AB 13cm, BC 10 cm, BC 边上的中线 AD

5、12cm,求证：AB AC勾股典型题：一、填空题1 .已知一个Rt的两边长分别为 3和4,则第三边长是 2 .如图，圆锥的底面半径为6cmi高为8cm,那么这个圆锥的母线 L是3 .直角三角形两直角边长分别为5和12,则斜边上的高为 .4 .已知等腰三角形的腰长是 6cm,底边长是8cm,那么这个等腰三角形的面积是.5 .如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8,正方形A的面积是10, B的面积是11, C的面积是13,则D的面积之为 .6 .如图，C D分别是一个湖的南、北两端 A和B正东方向的两个村庄，Ca6 km ,且D位于C的北偏东30

6、6;方向上，则 AB=km.7.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行 米.8 .如图，直线 L过正方形 ABCD的顶点B , 的ABCD勺面积是.第9题则正方形9 .如图是一个长方体长 4、宽3、高12,则图中阴影部分的三角形的周长为 10 .某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯.如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°, BCA 90°,台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶.（结果精确到0.1m,取72 1.414

7、,展 1.732 ）11.有一圆柱体高为10c3 底面圆的半径为 4cm! AA、BB为相对的两条母线。 在AA上有一个蜘蛛 Q,QA=3cm；在 BB上有一只苍蝇P, PB=2cm。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是CR1（结果用带 式和根号的式子表示）12 .如图，如果以正方形 ABC面对角线AC为边作第二个正方形 ACEF再以又角线 AE为边作第三个正方形 AEGH如此下去，已知正方形ABCD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S2, S3,，Sn （n为正整数），那么第8个正方形的面积S8二、选择题13 .“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的

8、数是 ,这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（A.代入法B .换元法C.数形结合的思想方法D.分类讨论的思想方法32cm14 .下列几组数中不能作为直角三角屿湖姻的是A. a 7,b 24,c 252 ,八 5一B . a 1.5,b 2,c 2.5 C . a -,b 2,c - D, a 15,b348,c 1715 .两只小朋鼠在地下打洞,一只朝正东方挖，每分钟挖8cm,另一只朝正南方挖，每分钟挖6cm,10分钟之后两只小朋鼠相距（A. 50cm B. 100cm C. 140cm D. 80cm16 .如图一个圆桶儿，底面直径为24cm,高为32cm,则桶内能容下的最长的

9、木棒为（A. 20cm B. 50cm C. 40cm D. 45cm63 cm17 .若等边 ABC的边长为4cm,那公匕ABC的面积为（）.A. 2 J3 cnf B . 4，3cm2 C .2D. 8cm18.如图（2）,在直角坐标系中， OBC勺顶点O (0, 0), B (-6, 0),且/ OCB=90 , ?OC=B 贝|点-3) D. (372 , 372 )C关于y轴对称的点的坐标是（）A . (3, 3)B. (-3,3) C. (-3,19 .如图所示：数轴上点 A所表示的数为a,则a的值是（）A. 75 +1B . - 4 +1 C .75-1D20 .直角三角形的周长

10、为24,斜边长为10,则其面积为（）.A. 96 B . 49 C . 24 D4821.老李家有一块草坪如图所示.已知AB=3米，BG4米，C=12米，DA=13米，且ABL BC这块草坪的面积是（）A. 24米2. 米2. 米2. 米2.第19题第21题22 .在一块平地上，李大爷家屋前9米远处有一棵大树.在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是 10米.出门在外的李大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到.大树倒下时能砸到李大爷的房子吗请你通过计算、分析后给出正确的回答.（）A. 一定不会B.可能会 C. 一定会D.以上答案都不对23 .如图，在直角坐标系中，将矩形OABC& OB对折，使点 A落在A1处，已知 O>=J3 , AB=1,则点A1的坐标是（）。A、金）B、（&3） C （4 D （V3） 2 222 22 2三、想好了再规范的写24、已知：在四边形 ABCM, AB=3cm, BC=5cm CD=2a/ 3 ,AD=2cm,