国家一等奖论文B题.doc

1、2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 ，如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设

2、置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：三峡大学参赛队员（打印并签名）：1.辜继明2. 赵闪3. 余明明指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2009 年9 月14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3眼科病床安排的数学模型摘要本文解决的是医院眼科病床的安排问题，现医院安排病人入院的原则是先来先服 务，这样虽然公平，但缺乏合理性以致等待住院的病人队列越来越长，为解决此问题， 我们

3、建立了三个最优化模型。对于问题一：我们确定了三个评价指标：手术前的平均逗留时间Tq,平均每天出院 人数NO,病人手术前的准备时间To然后计算出在原来先来先服务的原则下各指标值 g为：Tq 13.1519, NO 7.8605, 7 2.4413。对于问题二：我们采用优先级原则动态地对病床进行安排。首先，统计初始数据， 通过6SQ软件进行分布的卡方拟合检验得：每类病人的到来均服从泊松分布、术后观察 时间服从均匀分布。然后，我们发现合理的调度方案必须使得病人的术前准备时间尽量 短。因此，重新制定入院规则：外伤优先级始终最高；其它病的优先级随时间的变化而 变化。接着，再以三个指标为目标函数，病人入院

4、规则为约束建立了多目标的最优化模 型，最后，根据入队与服务时间服从的分布，用计算机随机模拟，得到在队列稳定时， 此规则下三个指标值为：Tq 10.311, NO 9.633=9.633, Tg 1.6526;这样手术前的 平均逗留时间减少21.6%,平均每天出院人数增加了 22.55%,平均术前准备时间减少了 32.31%。对于问题三：在问题二的计算机随机模拟的基础上，已经可以求得对应的等待队列 中病人的入院时间的模拟结果，因为存在一定随机性，我们模拟10次，取出每次所得结果中的模拟入院时间，作为病人的一个大致入院时间。对于问题四：由于星期六与星期日不安排除了外伤手术的其它手术，故安排在周四，

5、五住院的视网膜和青光眼病人的手术要推迟到下周二、四，以此我们同样建立了多目标 的最优化模型，得出在队列稳定时，三个指标值分别为：T 10.436, NO 9.1667,qTT 2.017;g对于问题五：为便于医院的管理，可根据各类病人服从的分布按照比例给各类病人 安排固定的病床数，但要先单独分配外伤类的病床，因为医院要保证有足够的床铺满足 外伤类病人，据统计结果知外伤病人到达和外伤病人被服务的时间都是服从泊松分布， 则先建立排队论中的M/M/C模型求出分配给外伤病人的病床数，余下的病床按照一定的 比例分配给其它类的病人。为得到平均逗留时间最短，我们建立了单目标最优化模型。关键词：优先级调度排队

6、论计算机模拟最优化1. 问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。在本文中，我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79 张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录一中给出了2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9月 11 日这段时间里各类病人的情况。各类眼病手术的安排情况：白内障手术：较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、

7、 2 天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤手术：通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。视网膜、青光眼手术：比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3 天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCF

8、S（ First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。本文需解决的问题有：问题一： 试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。问题四

9、：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。2. 模型的假设与符号说明2.1 模型的假设假设1：题目所给数据是合理、正确的假设2：视网膜与青光眼两类病不考虑急症假设3：白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天假设4：该医院眼科手术条件比较充分，在安排病床时不考虑手术条件的限制假设5：对于问题四，假定周六和周日可安排外伤手术，但不能

10、安排其他手术2.2符号说明符号符号说明Tq(i)(j)患第i类病的第j个病人的等待入院时间Tg(i)(j)患第i类病的第j个病人的术前的准备时间Tf(i)(j)患第i类病的第j个病人的住院时间NO平均每天出院人数Tq手术前的平均逗留时间，即从门诊到第一次手术的平均时间T病人的平均术前的准备时间TT病人的平均住院时间Th(i)(j)患第i类病的第j个病人的入院时间(Th(i)(j) 1,2,3, L，(j) 1表示2008 年7月13日,(i)(j) 2表示2008年7月14日,依此类推)To(i)(j)患第i类病的第j个病人的手术时间(To(i)( j)的计数方式与(j)相同，即 To(i)(

11、j) 1 表示 2008年 7 月 13 日，To(i)(j) 2 表示 2008 年 7 月 14 日，依 此类推 )n(i)一段时间内到门诊看病的第i类病人的人数N(i)(j)第j大第i类病人的在院人数(不包括当天新入院的人数)NI(i)(j)第j天第i类病人的新入院人数NO(j)第j天第i类病人的出院人数(i)第i类病人平均每天到门诊看病的人数C(i)分配给第i类病人的病床数，单位为张%求余符号，等价于mod第i=1类病表示白内障(单眼)疾病，第i =2类病表示白内障(双眼)疾病，第i =3类病表示视网膜疾病，第i =4类病表示青光眼疾病，第i =5类病表示外伤疾病3. 问题分析此题研究

12、的是某医院眼科病床合理安排的数学建模问题。要对病床进行合理的安 排，就要有合理的安排规则，尤其是在医院病床不够的时候。当前该住院部对全体非急 症病人是按照FCFS(First come, First serve )规则安排住院，这样虽然对病人很公 平，但缺乏合理性，例如根据 FCFS原则，白内障双眼的病人可能会在星期二入院，但 医院规定“白内障双眼的患者在星期一做一只眼，在星期三做另一只眼”，所以该患者的术前准备时间就变为6 天，而一般情况下，白内障患者的术前准备时间只需1、 2 天；这样的情况会延迟其它类病人的入院时间，进而使得病人队列越来越长。在病床不够的情况下， 从医院的角度讲，医院自然

13、希望在多做手术的同时，减小病人占用病床的时间。为了得到合理的安排规则，首先要确定合理的评价指标体系，用此评价按该规则建立的病床安排模型的优劣。针对问题一：从病人的角度看，病人到医院看病分为以下几个阶段: 挂号看病时间即门诊时间，入院，手术前的准备，手术，手术后的观察，出院。合理的安排就是让病人从挂号看病到出院的时间尽量的短。但根据实际情况知病人的术后观察时间是由病情决定的， 故所建立的模型只能缩短门诊看病到接受手术的时间间隔即病人手术前的逗留时间，所以模型的评价指标可以是病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间。从医院的角度看，我们可以将病床的周转次数作为评价指标。由于病床的周转次数与医院每

14、天出院人数是密切相关的在病床不够的情况下，医院每天出院的人数越多，能够入院的病人就越多，病床周转次数就越多，医院的效益就越好。所以，综合考虑病人和医院的利益，我们把病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间，平均每天出院人数作为评价指标，当前两个指标值越小，最后一个指标值越大的时候，病床安排模型越好。针对问题二：在确定病人入院规则时，要考虑以下几点: 白内障病人只能安排在周一与周三做手术，而其它病人除外伤病人外不能在周一和周三做手术，还有不同的病人的术前准备时间不一样；使得建立的入院规则能够让病人的等待时间尽量短，这就可以缩短病人在医院的时间，亦可缩短病人从门诊到入院的时间。再对题给数据进行分

15、析，得出各类病人到门诊看病的统计规律，然后就可以以问题一的评价指标作目标函数，以安排病人入院规则为约束建立一个病床安排的多目标最优化模型。针对问题三：根据各类病人的统计结果，可得出每天有多少人患病以及患什么病，找出其分布规律，然后根据病人的入院规则，可以得出各类病人大致在星期几入院，再根据术后观察时间的统计规律，便可以得到病人的出院时间，从而可安排病人入院，这样就可在病人门诊时告知其大致的入院时间。针对问题四：同问题二一样，以问题一的评价标准作为目标函数，建立一个病床安排的多目标最优化模型。但由于周六、日不安排手术，会使得约束条件发生改变。针对问题五：从便于管理的角度医院可以根据各类病人的到达

16、规律安排病床，故先统计出各类病人的到达服从什么样的分布，再建立模型求出平均逗留时间最短时的病床分配方案，但在分配时要把外伤类除外，因外伤类病人不允许等待，故分派给外伤病人的病床必须保证每天都能满足需入院的外伤病人，因此先分配外伤类的病床，再统一分配余下各类病的病床。4. 数据分析定义1 术后观察时间指病人出院与第一次手术的时间间隔定义2 手术前的平均逗留时间指门诊到第一次手术的平均时间根据对题给数据的统计结果知：4.1 各类病的术前准备时间时间为1-7 天（包括1 天和 7天）4.2 等待住院病人队列越来越长的原因因为 08年 7 月13日 -08 年 9 月 11 日平均每天到门诊看病的人数

17、为8.6885 人，平均每天出院人数为8.1163 人，所以近似认为平均每天到门诊看病的人数为8.6885 人，平均每天出院人数为8.1163 人。正因为每天到门诊看病的人数大于每天出院的人数，所以才导致了等待住院病人队列越来越长。4.3 各类病人的到达（病人到达时间指病人的门诊时间）服从泊松分布由于医院就医排队是典型的排队论问题，而一般的排队论模型都是泊松输入，所以 我们先假定病人的到达服从泊松分布， 然后根据附录一给出的数据求出每天到门诊看病 的各类病人的人数（统计结果见附录二），再利用6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验 得到如下结果（结果见表4.1 ）:表4.1：各类病人的到达服从泊松分

18、布的卡方拟合优度检验白内障单眼患者到达时间：白内障双眼患者到达时间：视网膜患者到达时间：假设检验假设检验假设检验零假设服从泊松分布零假设服从泊松分布零假设服从泊松分布自由度3自由度4自由度4 |卡方统计量1.8卡方统计量1.9卡方统计量3.7 1p值0.6p值0.8p值0.5显著性水平0.1显著性水平0.1显著性水平0.1结果接受零假设结果接受零假设结果:接受零假设青光眼患者到达时间：外伤患者到达时间：假设检验假设检验零假设服从泊松分布零假设服从泊松分布自由度3自由度2卡方统计量4卡方统计量1p值0p值1显著性水平0显著性水平0结果接受零假设结果接受零假设根据以上假设检验的结果知：各类病人的到

19、达时间均符合泊松分布根据指数分布与泊松分布的关系1 :如相继两个事件出现的间隔时间服从参数为 的指数分布，则在单位时间问隔内事件出现的次数服从参数为的泊松分布，即单位时间内该事件出现k次的概率为ke,、p（ k） （k 0,1,2,L ,n）k!将各类病人平均每天到达的人数，即值代入式，可得相应的概率密度函数，计算结果见表4.2。表4.2:各类病人达到时间的概率密度函数和相应的值类别白内障单眼白内障双眼视网膜青光眼外伤P 1.62.22.8111p( k),仆 1.61.6 ek!2.2ke 2.2 k!2.8ke 2.8 k!,k 111 eek!k!,k 111 e ek!k!4.4各类患

20、者的术后观察时间服从均匀分布首先统计出各类病人的术后观察时间（统计结果见附录三），根据统计结果，我们 假定各类病人的术后观察时间服从均匀分布，然后通过6SCB计软件进行卡方拟合优度 检验，检验结果见表4.3。表4.3:各类患者的术后观察时间服从均匀分布的卡方拟合优度检验白内障单眼术后观察时间白双术后观察时间视网膜术后观察时间假设检验假设检验假设检验零假设服从均匀分布零假设服从均匀分布零假设服从均匀分布自由度34自由度39自由度99卡方统计量7.858300287卡方统计量2.093007186卡方统计量55.04926108p值0.999999107p值1p值0.999897347显著性水平0

21、.05显著性水平0.05显著性水平0.05结果接受零假设结果接受零假设结果接受零假设青光眼术后观察时间外伤术后观察时间假设检验假设检验零假设服从均匀分布零假设服从均匀分布自由度37自由度53卡方统计量11.66013072卡方统计量29.25609756p值0.999978078p值0.996696665显著性水平0.05显著性水平0.05结果接受零假设结果接受零假设根据以上假设检验的结果知：各类病人的术后观察时间均服从均匀分布。4.5 外伤病人住院时间服从泊松分布首先统计出外伤病人的住院时间，根据统计结果，我们假定其服从泊松分布，然后 通过6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验，检验结果见表4.

22、4.表4.4:外伤病人住院时间服从泊松分布的卡方拟合优度检验结果假设检验零假设服从泊松分布自由度6卡方统计量11.01007449p值0.088065567显著性水平0.05结果接受零假设5. 问题一的解答本文研究的是某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题，对于病床安排模型的优劣，不能凭人们的主观感受进行判断，而要确定合理的评价指标体系进行判断，为此我 们确定了如下的评价指标体系：指标1：手术前的平均逗留时间手术前的平均逗留时间指门诊到第一次手术的平均时间，其数学表达式为5 n(i)_(Tq(i)(j) Tg(i)(j)i 1 j 1 q5n(i)该指标值越小，表示病床安排模型越好。指标二：平

23、均每天出院人数平均每天出院人数的数学表达式为：5 nNO(i)(j)NO n该指标值越大，表示病床安排模型越优。指标三：病人平均术前的准备时间病人平均术前准备时间的数学表达式为5 n(i)Tg(i)(j)T i 1 j 1 1 g5n(i) i 1该指标值越小，表示病床分配模型越优。对于题目中给出的以FCFS为原则(急症除外)的病床安排模型，我们通过求解得 到其二个评价指标分别为：Tq 13.1519 天NO 338 7.8605人(从题给数据知，在7月30日之前，只有外伤病人出院，但44在7月30日之后，各类病人均出院达到稳定，所以用 7月30日之后的统计数据求解平 均每天出院人数)Tg 2

24、.4413 天6 .问题二的解答针对问题二我们建立了模型一。6.1 模型一的建立6.1.1 确定目标函数该模型是为了解决医院的病床安排问题，为了使病床的安排更加合理，我们只需使 三个评价指标一一手术前的平均逗留时间 Tq最小，平均每天出院人数NO最大，病人平 均术前的准备时间Tg最小即可，所以我们建立了如下的目标函数： gminTqmax NOminTg6.1.2 确定约束条件i由于白内障手术比较简单，此类病人的术前准备时间只需 1、2天，而且根据附 表一知，各类病人的术前准备时间均在 1-7天之内(包括1天和7天)，所以白内障单 眼和双眼病人术前准备时间为1-7天,即1 Tg(i)(j) 7

25、,i 1,2ii由于视网膜和青光眼疾病比较复杂，大致住院以后 2-3天内就可以接受手术，而 且根据附表一知，各类病人的术前准备时间均在 1-7天之内(包括1天和7天)，所以 这两类疾病的术前准备时间为2-7天,即2 Tg(i)(j) 7,i 3,4iii外伤疾病有空床时立即安排住院，且住院后第二天便会安排手术，所以此类病的 术前准备时间为1天，即Tg(j) 1iv根据数据分析结果，为了缩短等待入院病人的队列长度，我们制定了如下的病床 安排原则：原则1白内障单眼患者一般安排在周一、周二、周六、周日入院原则2白内障双眼患者一般安排在周六、周日入院原则3视网膜和青光眼患者安排在周三、周四、周五入院原

26、则4外伤病人当天入院，第二天手术原则5当病人等待时间达到25天时，只要有空病床立即安排入院说明：外伤病人在任意一天优先级是最高的，在某一天病人可安排住院此时此类病 (除外伤)人的优先级第二高，且若有两类或两类以上的病(除外伤)人都可在同一天 入院，则这些病人优先级第二高且相等，在这天不安排住院的病人的优先级最低。例如 白内障单眼患者在周一、周二、周六、周日的优先级第二高，在其它的时间优先级最低。 故患者的优先级随时间动态的发生改变。因为Th(j)表示患第i类病的第j个病人的入院时间(Th(i)(j) 1,2,3,L , Th(i)(j) 1表示2008年7月13日，(i)(j) 2表示2008

27、年7月14日，依此类推), 又由于2008年7月13日是星期日，所以1,表示该病人的入院时间为周一2,表示该病人的入院时间为周二3,表示该病人的入院时间为周三Th(i)(j) 1 %74,表示该病人的入院时间为周四(2)5,表示该病人的入院时间为周五6,表示该病人的入院时间为周六0,表示该病人的入院时间为周日根据式(2)和病床安排原则，我们确定了如下的约束条件:原则1Th(1)(j)1%71,260原则2Th(2)(j)1%70,6原则3Th(i)(j)1%73,45, i3,4原则4Tg(5)( j)1原则5Tq(i)(j)25整数约束:Tq(j),Th(i)(j) 1,2,3L%是求余运算

28、6.1.3 综上所述，得到问题二的多目标最优化模型5 n(i)minT qmax NOminT g(Tq(i)(j) Tg(i)(j) i 1 j 1 5n(i) i 15 nNO(i)(j) i 1 j 1 n 5 n(i)Tg(i)(j) i 1 j 15 n(i) i 11Tg(i)(j)2 Tg(i)(j)7,i7,i1,23,4Tg(5)(j)Th(1)(j) s.t.Th(2)(j)Th(i)(j) Tq(i)(j) Tq(i)(j)，1,1 %71 %71 %725126,06Q3,4,5,i3,4Th(j) 1,2,3L%是求余运算6.2 模型一的求解首先我们由数据分析可知，对

29、于每一类病人，从第一次接受手术到出院之间经历的时间服从均匀分布，每天到来的各类病人的数目分别服从各自参数的possion分布，我们首先可以模拟得79个已住院的人的出院时间（肯定在 9.11号之后），就可以将排队 队列的一定数量的病人送入服务队列。并且可以按照每天到来的各类病人的 possion流 来补充每天的排队队列人数。接着，由于本题涉及到大量的随机现象，故用一般的规划方法难以求得最优解，所 以我们采用一种计算机随机模拟（相关程序见附录五）的算法求得本题的最优解。算法思想：从9月12日开始，根据服务队列中正在接受服务的对象的服务时间分 布，模拟得到正在接受服务的对象的出队时间（即病人的出院时

30、间），然后按照约束条 件中给定的的原则，将等待队列中的对象分配进入服务队列，然后改变等待队列与服务 队列的状态，进行下一步的模拟，直到我们得到一定数量满足我们需要的对象（即：满 足退出条件），得出此时的天数即可。模拟的流程如下所示：（注：退出条件即为我们需要用模拟分配病人的天数如20或60）开始图6-1:计算机模拟的简化流程图模拟后的数据的存储格式为：表6-1 :模拟后数据的示例存储格式编号生病类别诊断时间入院时间手术（一）时间手术（二）时间出院时间1白内障（双眼）496365'/'712视网膜疾病496264'/'713青光眼496264'/'

31、724视网膜疾病496264'/'775视网膜疾病496264'/'79102视网膜疾病617476'/'90103白内障62727476104白内障（双眼）62777983105白内障（双眼）62777985106白内障（双眼）62777984107白内障（双眼）62787984108青光眼62747680注：第六列在102号以前是'/'表示第二次手术时间，模拟时，我们没有考虑第 二次手术的时间。102号以后是口，表明该行数据是我们自己通过 possion流对队列追 加顾客后的效果，是新加入排队系统的，方便进行连续模拟。统计从2

32、008年的9月12日开始后60天的队列的长度，我们即可认为在这段时间 内的接受服务的对象达到了稳定状态。然后作出队列长度的随时间的变化图示：如下所 示：度长列队的数天应对30010090队长随天数的变化趋势807060504010203040天数5060图6-2:队长随时间变化趋势此时，在我们的分配原则下，可以发现队列的长度不断减小，并且有趋于稳定的趋 势，我们可以认为此时的稳态是50,因此我们认为这种方案是比较合理的。现在，我们 取得从9月12日后的20天的一个模拟的入院安排情况，因为 20天已经足够确定我们 需要填满的102个排队对象的的数据。然后计算得我们定义的三个目标函数的最优解为：病

33、人手术前的平均逗留时间：12.1天（越小越好）病人平均术前准备时间：1.6722天；（越小越好）平均每天出院人数：9人（越大越好）6.3模型一结果分析在这种分配方案下，我们发现与原模型的手术前的平均逗留时间：13.1519,平均术前准备时间：2.4413,平均每天出院人数：7.8605相比，并没有太大的差别，我们认 为这是在队列没有进入稳定状态时的统计数据造成的，我们用以下的方法处理：我们可以认为当系统服务了 100个顾客后，它已经进入了稳定状态，又由于我们要去足够的数据才能具有说服力，因此我们定义一个评价区间：从第100个排队等待手术的病人到第30天结束时最后一个出院的病人。在此区间上，我们

34、再用同样的方法进行 评价，会发现我们的三个评价指标值为：病人手术前的平均逗留时间：10.311天病人平均术前准备时间：1.6526天；平均每天出院人数：9.633人此时我们就可以发现，当这个排队系统在尽量趋于稳定状态时，它的手术前的平均 逗留时间、术前准备时间、平均每天出院人数均比前边的结果有了一定的优化，这是由 于9月12日后的20天的排队系统受医院最初的先来先服务的影响较大，而当系统服务了 100个病人后，此时的排队系统趋于稳定，所以求得的结果较优。从而进一步证明我们的排队系统比原有的效率更高。7 .问题三的解答根据问题二的模型，我们已经完全模拟出来了每位病人的入院时间、第一次手术时 问、

35、出院时间（如上表所示），所以我们可以求得排队队列的102人的入院时间，但是每次随机模拟的结果均不相同，所以，我们可以通过模拟若干次，求出每次每一个病人 的出院时间，从中选择一个最大值和一个最小值，将它作为病人的一个大概的入院时间 的区间。我们取模拟的次数为10,下面是我们所得的一个近似的结果：表7-1 : 10次模拟后产生的10个模拟的出院时间编号生病类别一二三四五六七八九十1白内障（双眼）636363636363636363632视网膜疾病62626216262626216262623青光眼626262：62626262(6262624视网膜疾病626262626262626262625视网

36、膜疾病626262162626262162626299视网膜疾病76747469747474757469100白内障66737272727872717172101视网膜疾病767574I 69747474；757469102视网膜疾病76757474747474757474（注：具体数据见附录一）那么我们就可以根据以上表格中的数据确定出病人的大致入院区问: 表7-2 :病人的大致入院区问编p生病类别最佳入院时间对应的日期1白内障（双眼）639-132视网膜疾病629-123青光眼629-124视网膜疾629-125视网膜疾病629-1299'视网膜疾病69 ,74 ,75 ,769月1

37、9日,9月24日,9月25日,9月26日100白内障66,71,72 ,73 ,789月16日,9月21日,9月22日,9月23日，9月28日101'视网膜疾病69 ,74 ,75 ,769月19日,9月24日,9月25日,9月26日1029-24-9-26 日视网膜疾病74-76(注：完整数据见附录四)8 .问题四的解答针对问题四我们建立了模型二。问题四与问题二的区别在于：在问题二中，医院每 天都可以安排手术，而在问题四中，只能在周一至周五安排手术(外伤每天均可安排手 术)。8.1 模型二的建立8.1.1 确定目标函数(同模型一的目标函数)以三个评价指标最优为目标函数：minTq q

38、max NOminTg8.1.2 确定约束条件该模型的约束条件除了包含模型一的约束条件外，还有以下几个：由于白内障手术之后安排在周一和周三，外伤手术每天都可以安排，所以周六和周 日不安排手术只会影响视网膜和青光眼的手术安排。在模型一给出的病床安排原则下， 对于视网膜病人和青光眼病人，将其中周三入院的手术安排在同一周的周五，在周四和 周五入院的手术安排在下周周二。据此，我们又建立了如下的约束条件：To(i)(j)(i)(j)2(Th(i)(j)1%73)To(i)(j)Th(i)(j)5(Th(i)(j)1%74)To(i)(j)L(i)(j)4(Th(i)(j)1%75)8.1.3 综上所述，

39、得到问题四的多目标优化模型5 n(i)(Tq(j) Tg(i)(j)i 1 j 1minTq 5n(i)i 15 n NO(i)(j)maxNO i 1 j 1n5 n(i)Tg(i)(j)i 1 j 1minTg 5n(i)i 11 Tg(j) 7,i 1,22 Tg(i)(j)7,i 3,4Tg(5)(j)1Tq(i)(j)25Tq(i)(j)，Th(i)(j)1,2,3L（%表示求余运算）s.t.Th(1)(j) 1 %7 12,60Th(2)(j) 1 %7 6,0To(i)(j) Th(i)(j) 2To(i)(j) Th(i)(j) 5To(i)(j) Th(i)(j) 4(Th(

40、i)(j) 1 %7 3)(Th(i)(j) 1 %7 4)(Th(i)(j) 1 %7 5)348.2 .模型二的求解我们按照与问题二相同的思想，按照同样的原理进行计算机模拟（相关程序见附录 五），在这里只是改变了对于青光眼和视网膜疾病的分配方案：若这两类患者在周四、 周五分配入院，则他们均到下周二进行手术。统计从2008年的9月12号开始后60天的队列的长度，我们即可认为在这段时间 内的接受服务的对象达到了稳定状态。然后作出队列长度的随时间的变化图示：如下所 示：12050 0队长随天数的变化趋势11010090807060102030405060天数度长列队的数天应对图8-1:队长随时间

41、的变化趋势此时，我们同时发现：当我们忽略外伤病人的等待时间时，随着时间的推移，病人 的等待时间的规律如下图所示：等待时间的变化趋势50100150200250300350400450500病例序号205 0 5 间时待等的例病应对图8-2:病人的等待时间随时间的变化趋势此时，在我们的分配原则下，队列的长度不断减小，并且有趋于稳定的趋势，我们可以认为此时的稳态等待人数是 60,而且，病人从就诊到第一次手术的时间也有一个逐步下降的趋势，所以因此我们认为这种分配的方案是比较合理的：据此我们可以在这种 条件下求得的三个指标值：现在，我们同样取得从9月12号后的20天的一个模拟的入院安排情况，然后计算得

42、我们定义的三个目标函数的最优解为：手术前的平均逗留时间：12.691天病人平均术前准备时间：2.2191天；平均每天出院人数：8.9人8.3 模型二的结果分析在这种分配方案下，我们发现与原模型的手术前的平均逗留时间：13.1519,平均术前准备时间：2.4413,平均每天出院人数：7.8605相比，并没有太大的差别，所以可 以同样按照问题二中的解决办法，我们会发现我们的三个评价指标值为：手术前的平均逗留时间：10.432天病人平均术前准备时间：2.017天；平均每天出院人数：9.1667人此时我们就可以发现，当这个排队系统在尽量趋于稳定状态时，它的各个指标均比 前边的结果有了一定的优化，从而进

43、一步证明我们的排队系统比原有的效率更高。9.问题五的解答针对问题五我们建立了模型三相关知识引入：在排队论23中有一种多服务台多顾客的模型机制，即M/M/C(C>=2) 模型.顾客到达服务台具有随机性，服从泊松分布，服务台对顾客服务服从指数分布， 则：P01C!Po,n CPn1C!Cn CnP0, n其中：:单位时间内顾客到达服务台的平均人数，:单位时间内服务台服务的人数C:服务台的个数P(n C):服务台空闲的概率P(n C):顾客到达服务台需等待的概在问题五中，有人从便于管理的角度建议“将各类病人占用的病床数大致固定”，就此方案建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短的病床比例分配

44、模型。在分配病床时因外伤病人特殊，故应先分配病床，从数据统计知患外伤的病人到医院的人数服(5) 1的泊松分布，医院对其服务的时间同样股从1的泊松分布，故7可把病床看作排队系统中的服务台，把外伤病人看作顾客，这样就可以建立一个M/M/C的模型，则只要C(5)使得P n C(5)尽量小，我们设定P(n C(5) 0.05,就能求出C(5),即为安排给外伤病人的病床数。那么 C(i) 4 (i) *(79 C(5) i 1,2,3,4(i) i 19.1 模型三的建立9.1.1 确定目标函数5 n(i)Tq(i)(j) Tf(i)(j)设病人在在系统内的平均逗留时间为Tw,则Tw 口5n(i)i 1

45、其中Tq(i)(j)表示患第i类病的第j个病人的等待入院时间，Tf(i)(j)表示患第i类病的第j个病人的住院时间，n(i)表示一段时间内患第i类病的人数) 所以，目标函数为5 n(i)Tq(i)(j) Tf (i)(j)n(i)i 19.1.2 确定约束条件因各类病人都分配了相应的病床，故每一类病人在可在任意一天住院且是先来先服 务的，这一点和模型一，二不一样，故约束条件只有：(1)各类病人的术前准备时间(2)白内障的手术只能安排在周一三。(3)由于分配给各类病人的病床数的比例大致固定，所以每天各类病人分别占用的 病床数不能超过医院分配的数目，由此得到如下的约束：NI(i)(j) N(i)(

46、j) NO(i)(j) C(i),i 1,2,3,4,5; j 1,2,9.1.3 综上所述，得到问题五的单目标非线性优化模型5 n(i)minT；Tq(i)(j) Tf(i)(j)i 1 j 15n(i)1,23,4i 11Tg(i)(j) 7,i2 Tg(j)7,i.Tg(5)(j) s.t.Tq(i)(j) Th(j) NI(i)(j)1201,2,3LN(i)(j) NO(i)(j) C(i),(i 1,2,3,4,5;j 1,2,)9.2 模型三的求解与结果分析问题五：由P(n C(5) 0.05,即外伤病人到医院不需等待的概率小于 0.05,通过 计算得：当分配12张床给外伤病人时

47、，则外伤病人等待入院的概率小于0.035 (基本认 为不发生)。按照比例求得其它类病分配的病床如下 ：病型白内障(双)白内障(单)视 网膜青 光眼分配 的床1914259至于此条件下的安排病人入院规则是各类病人都各自服从先来先到的原则，视网膜和青光眼病人的逗留时间会减少，因为这两种病的术前准备时间可以控制在两天内，这 样就可使病人的住院时间缩短，使排队的队长变短。可是白内障病人的平均逗留时间会增多， 原因是这两类病只能在周一，周三做手术， 这就使得在周三一一周日入院的病人要等到周一，三才能做手术，这样使得病人的住院 时间增长，使排队的队长变长。10.模型的评价、改进及推广10.1 模型评价优点

48、：(1)根据我们定下的安排病人入院规则，建立的模型在一定程度上缩短了病人排队的队长，因为原模型的三个指标 T 13.1519, NO 7.8605, T 2.4413;我们建的 q g模型三个指标：Tq 10.311, NO 9.633, Tg 1.6526;这样手术前的平均逗留时间减少21.6%,平均每天出院人数增加了 22.55%,平均术前准备时间减少了 32.31%;(2)根据模型可推算出当前病人的出院时间，故我们把表二出院时间的填充了；(3)利用我们建立的模型二，可根据第二天拟出院的病人确定病人入院的最佳时问；缺点：由于所给数据太少以致在统计数据时不是很准确，又由于计算机模拟带有一定的随机性，以致得到模型的三个指标不是很让人满意。10.2 模型改进(1)查询更多的数据，以使得统计结果更正确，也可使计算机模拟更少的数据或不模拟以减少不确定性。因我们建模时没有考虑到经济性， 若考虑到不同的手术经费不 一样，则在制定安排病人入院规则时要考虑一定的优