小学奥数思维训练-最值问题二通用版

1、2014年六年级数学思维训练：最值问题二1用0，1，2，9这10个数字各一次组成5个两位数a、b、c、d、e请问：ab+cd+e最大可能是多少？2将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？3有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？4我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如8=3+5有的数有几种不同的表示方法，例如100=3+97=11+89=17+83请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？5一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？6（1）在

2、分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？（2）从1至9中选取四个不同的数字填人算式+中，使算式的结果小于1这个结果最大是多少？7如图，等腰直角三角形ABC中，CA=CB=4厘米，在其中作一个矩形CDEF，矩形CDEF的面积最大可能是多少？8如图，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形，这个八边形的边长恰好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？9在4×4的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点，请问：最多可以将多少个方格染成黑色？10古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦他精通数学、物理，聪慧过人有一天，一

3、位将军向他请教一个问题：如图163，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？11如图所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架这个长方体的体积最大可能是多少？12把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大，问：这个乘积最大可能是多少？13从1，2，中选出8个数填人下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果口÷口×（口+口）（口×口+口口）14有13个不同的自然数，它们的和是100其中偶数最多有多少个？最少有多少个？15将6、7、8、9、10这5

4、个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的5个乘积相加，请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？16有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60这5袋糖块总共最少有多少块？17已知算式9984888的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？18用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式19所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？20把1至99依次写成一排，形成一个多位数：从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？

5、21邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？22如图，有一个长方体形状的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来23一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且能进行加法运算为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？24用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数和一个两位数，再用0、2、4、6、8这5个数字组成一个三位数和一个两位

6、数请问：算式××的计算结果最大是多少？25将1、2、3、4、5、6分别填在正方体的6个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘积共有12个，这12个乘积的和最大是多少？26用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式中的差最大是多少？27有的偶数可以写成两个奇合数之和，例如24=9+15，100=25+75所有不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的一个是多少？28如图，有一个圆锥形沙堆的底面直径BC为4厘米，圆锥的侧面展开圆心角为120度，母线AC的长度为6厘米请问：（1）如果一只蚂蚁想从

7、B点去C点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线（蚂蚁只能在圆锥表面走）；（2）如果一只蚂蚁需要由B点出发到达线段AC上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？29如图，一个边长为10的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？30一个5×5的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列已知任取n个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填完整，那么，n的最小值是多少？试卷第3页，总3页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1195.【解析】试题分析：要使ab

8、+cd+e最大，应使a、c、e的值尽量大，使b、d的值尽量小；所以取a=98，b=76，c=54，剩下的4个数字是：0、1、2、3，可以取b=10，d=23，据此解答即可解：要使ab+cd+e最大，应使a、c、e的值尽量大，使b、d的值尽量小；所以取a=98，b=76，c=54，剩下的4个数字是：0、1、2、3，可以取b=10，d=23，即ab+cd+e最大值=9810+7623+54=195答：ab+cd+e最大可能是195点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是首先根据题意，求出a、b、c、d、e的值是多少215个；1人【解析】试题分析：因为至多就是每个组人数尽量少，1+2+3

9、+4+4+15=120，而135120=15，所以这15人再每个小组分给1人，最后一个小组分2人，即第一组1人，第二组3人，第三组4人，第五组5人第15组17人，由此得出至多可以分成15个组，人数最少的那组有1人解：因为1+2+3+4+5+15=120，而135120=15所以1+3+4+4+5+6+7+17=135所以至多可以分成15个组人数最少的那组有1人答：至多可以分成15个组人数最少的那组有1人点评：关键是明确至多可以分成多少个组就是每个组人数尽量少，所以应该从一个组一个人开始试着进行推算355场【解析】试题分析：11个队进行单循环比赛，每两个队要赛一场，即每人队都要和自己以外的其它1

10、11=10个队赛一场，则所有队共参赛11×10=110场，由于比赛是在两队之间进行的，所以一共要比赛110÷2=55场解：11×（111）÷2=11×10÷2=55（场）答：共需比赛55场点评：在单循环比赛中，比赛场数=（参赛队数1）×队数÷2416=3+13=5+11【解析】试题分析：根据质数、合数的意义，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数以此解答解：最小的合数是4，不符合题意，6，8，9，10，12，14，15，都不符合题意，比

11、15大的合数是16，16=3+13=5+11；故答案为：16=3+13=5+11点评：本题考查的是质数与合数，解答此题的关键是熟知质数、合数的定义5商最大是100，商最小是1【解析】试题分析：设这个三位数为abc=100a+10b+c，这个三位数除以它的各位数字之和，可得（100a+10b+c）÷（a+b+c）=（10a+10b+10c）+（90a9c）÷（a+b+c）=10+9（10ac）÷（a+b+c）；（1）要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得c=0，b=0，此时商的最大值为100；（2）要使商最小，那么被除数应最小，除数应最大，可得a=b=0，c

12、=9，此时商的最小值为1解：设这个三位数为abc=100a+10b+C，可得（100a+10b+c）÷（a+b+c）=（10a+10b+10c）+（90a9c）÷（a+b+c）=10+9（10ac）÷（a+b+c）；（1）要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得c=0，b=0，此时商的最大值为：10+9×10a÷a=10+90=100；（2）要使商最小，可得a=b=0，c=9，此时商的最小值为：10+9×（10×09）÷（0+0+9）=109=1答：商最大是100，商最小是1点评：此题主要考查了最大与最小问题

13、，解答此题的关键是设这个三位数为abc=100a+10b+c，并求出这个三位数除以它的各位数字之和等于10+9（10ac）÷（a+b+c）6；【解析】试题分析：（1）要相差最小，必须分子最小，分母最大，那么分母最大就是8和9，分子最小就是1（2）组成的最小的一个分数是，剩余数组成的最大的分数是，据此解答即可结果最大是+=解：（1）=（2）+=答：两个不相等的分数最小相差；结果最大是点评：此题主要考查两个数的和与差，一定要综合分析题目中的条件74平方厘米【解析】试题分析：矩形CDEF的面积最大，就是矩形变为正方形时，面积最大即D点在CB边的中点；F点在AC边的中点此正方形的边长是2厘米

14、，面积是4平方厘米解：当D、E、F分别是各边的中点时，矩形变为边长是2厘米的正方形，面积最大2×2=4（平方厘米）答：矩形CDEF的面积最大可能是4平方厘米点评：本题考查了在等腰直角三角形内作最大的矩形的知识以及面积的求法870【解析】试题分析：要使这个八边形的面积最大，挖去的两个小长方形应尽量小，如图所示数字，可以保证这个八边形的面积最大，用原来长方形的面积减去挖去的两个小长方形即可据此解答解：被挖掉的两个小长方形的面积和为：2×3+1×4=6+4=10原来一个长方形的面积为：8×（7+3）=8×10=80这个八边形的面积为：8010=70答

15、：它的面积最大可能是70点评：此题属于最值问题，关键在于先确定出挖去的两个小长方形的边长，即可解决问题94个【解析】试题分析：可以分两种情况讨论，即：先确定第一行分含有一个或两个黑格，依次到第四行画图表示即可解：第一行可染黑1格或2格，染1格时，相邻行只能染1格，染2格时，相邻行只能染0格，可见，相邻两行最多共染2个，则在4×4的方格表中最多可以将4个方格染成黑色；下图为例：点评：本题关键是要理解第一行可染黑1格或2格这两种情况分类研究10饮马处的C点如图所示【解析】试题分析：根据：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定作出点

16、A关于直线MN的对称点A，根据轴对称确定最短路线问题，连接AB与MN的交点即为饮马处C解：饮马处的C点如图所示点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，此类问题理论依据是线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和三角形的任意两边之和大于第三边11294立方厘米【解析】试题分析：长宽高的和是：80÷4=20厘米，长方体的体积最大，长宽高的长度必须最接近，即20=6+7+7，然后再利用长方体的体积公式计算即可解答解：80÷4=20（厘米），要使长方体的体积最大，长宽高的长度必须最接近，即20=6+7+7，6×7×7=294（立方厘米）答：这个长方体的体积最大可能

17、是294立方厘米点评：本题关键是明确要使长方体的体积最大，长宽高的长度必须最接近12162【解析】试题分析：由于任何数乘1都得原数，所以不能有1，如果有高于4的数字是不可能的，因为比如5，还可以拆开2+3，2*3=65，要使得到的乘积最大，所以只能含有2，3（因为如果有4，我们还可以变成2+2=2×2）又因为3+3=2+2+2，而2×2×23×3，所以在可能的情况下应该拆开的数尽量可能多的3，所14=3+3+3+3+2以最大=3×3×3×3×2=162解：14=3+3+3+3+23×3×3

18、15;3×2=162答：这个乘积最大是162点评：明确不能有1，并且3要尽量多是完成本题的关键139、1、7、8、2、3、4、6【解析】试题分析：要想使结果尽可能大，应使被除数尽可能大，除数尽可能小，因数尽可能大，减去的乘积尽可能小；首先考虑倍数，然后考虑加数，可得被除数应为9，除数应为1，括号内的两个加数应为7和8，后面的减数从26中选择4个，使得后面括号内的结果尽可能小，据此解答即可解：根据分析，可得9÷1×（7+8）（2×3+46）=131即结果最大可能是131故答案为：9、1、7、8、2、3、4、6点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关

19、键是注意凑数的顺序：首先考虑倍数，然后考虑加数14最多有7个，最少有5个【解析】13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个但是我们必须验证看是否有实例符合当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=1

20、6，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，135，7，9，11，13，15满足所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个15最小值是312，最大值是323【解析】试题分析：（1）5个数的顺序是：6，10，7，8，9的时候，和最小为：6×10+10×7+7×8+8

21、×9+9×6=312；（2）5个数的顺序是：6，8，10，9，7的时候，和最大为：6×8+8×10+10×9+9×7+7×6=323解：（1）5个数的顺序是：6，10，7，8，9的时候，和最小为：6×10+10×7+7×8+8×9+9×6=312；（2）5个数的顺序是：6，8，10，9，7的时候，和最大为：6×8+8×10+10×9+9×7+7×6=323答：所得和数的最小值是312，最大值是323点评：此题主要考查了最大与最

22、小问题，解答此题的关键是确定5个数的顺序16103块【解析】试题分析：根据任意3袋的总块数都超过60，其中必有2袋最少为20块，另3袋最少为21块，这5袋糖块总共最少有20+20+21+21+21=103（块）解：根据任意3袋的总块数都超过60，其中必有2袋最少为20块，另3袋最少为21块，这5袋糖块总共最少有：20+20+21+21+21=103（块）答：这5袋糖块总共最少有103块点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是：分别求出每袋糖块的最少块数，进而求出这5袋糖块总共最少有多少块即可179872【解析】试题分析：根据题意，要使这个结果最大，千位、百位上应分别是9、8，至少应

23、减去11个8，11×8=88，才能使百位上是8，此时结果是9896，不符合题意；观察发现，再减去3个8，98968×3=9872，各位数字互不相同，即为结果的最大值解：要使这个结果最大，千位、百位上应分别是9、8，至少应减去11个8，11×8=88，才能使百位上是8，998488=9896，此时结果是9896，不符合题意；观察发现，再减去3个8，98968×3=9872，各位数字互不相同，即为结果的最大值，所以这个结果最大可能是9872答：这个结果最大可能是9872点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是从最高位开始，逐一分析判断结果的最大值

24、18954×873×621【解析】试题分析：根据能被9整除的数各位数之和一定能被9整除，从9个数字中列出所有可能的情况，再分别组成最大的三位数，进而找出最大乘积的乘法算式即可解：因为能被9整除的数各位数之和一定能被9整除，所以选取的三个数满足条件的有三种情况：选9、8、1，或7、6、5，或4、3、2，则组成最大的三位数是981、765、432；选9、7、2，或8、6、4，或5、3、1，则组成最大的三位数是972、864、531；选9、5、4，或8、7、3，或6、2、1，则组成最大的三位数是954、873、621；根据各个数的和一定的情况下，因数大小越接近，则它们的乘积就越大

25、，所以这3个三位数的乘积最大的乘法算式是：954×873×621，答：乘积最大的乘法算式是：954×873×621点评：此题主要考查了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是首先找出满足条件的三位数有哪些1911.【解析】试题分析：根据质数和合数的定义，将自然数分为偶数和奇数两种情况讨论，求出最大的一个是多少即可解：（1）如果这个自然数是偶数，则它一定小于8，因为不小于8的偶数，必定存在4+（x4），且两数都是合数；（2）如果n为质数，则n+2是质数，n+4，n2不是质数，因为n，n+2，n+4中必定有一个可以是3的倍数（n3时），所以，任意一个奇数，减去

26、4、6、8以后，至少能得到一个结果是合数，即（n3，取5，5+8=13）以后的奇数都能分为两个合数；（3）因为13=4+9，12=4+8，11不能拆分，11=1+10，2+9，3+8，4+7，5+6，所以不能写成两个合数之和的最大的自然数是11答：最大的一个是11点评：此题主要考查了质数与合数的特征，考查了分析推理能力20最大是9999975859609899，最小是10000060619899【解析】试题分析：共由9+90×2=189个数字组成，根据数位知识可知，一个数的高位上的数字越大，则其值就越大，因此，从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，要使之最大，则应

27、使高位上的数字9尽量多，由此可将前往后，将个位数18，两个数1018，19中的1，2028，29，中的2，49中的2，50，51，52，53，54，55，56，5去掉，保留57中的7，至此共去掉99个数，即这个数是9999975859609899同理可知，一个数的高位上的数字越大，则其值就越大，因此，从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，要使之最小，则应使高位上的数字9尽量小，由于首位不能为0，则首位为1，后面高位尽量保留0，由此可将前往后，将个位数18中的29去掉，10去掉1，1119，20中去掉2，50中去掉5，此时共去掉了85个，然后去掉51，52，53，54中的5，

28、55，56，57，58，59，去掉，此进共去掉了99个，即这个数最小是10000060619899解：从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，要使之最大，则应使高位上的数字9尽量多，由此可将前往后，将个位数18，两个数1018，19中的1，2028，29，中的2，49中的2，50，51，52，53，54，55，56，5去掉，保留57中的7，至此共去掉99个数，即这个数是9999975859609899从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，要使之最小，则应使高位上的数字9尽量小，由于首位不能为0，则首位为1，后面高位尽量保留0，由此可将前往后，将个位数18中

29、的29去掉，10去掉1，1119，20中去掉2，50中去掉5，此时共去掉了85个，然后去掉51，52，53，54中的5，55，56，57，58，59，去掉，此进共去掉了99个，即这个数最小是10000060619899答：剩下的数最大是9999975859609899，最小是10000060619899点评：完成本题要细心分析所给条件，找出其中的内在规律后解答2126千米【解析】试题分析：尽量少走重复的路线，找到走完全部路程的最短的路线：最少要重复一段路，一种走法是：（注：用表示走小段街道及方向）解：由图中可知，重复了一小段街道，所以最少要走26千米答：最少要走26千米点评：本题考查了最短路线

30、问题；画出相应图形，得到最短路线是解决本题的关键22蚂蚁爬行路线的长度最短是5；一共有4条最短路线如下图所示：【解析】试题分析：蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短本题中蚂蚁要跑的路径有三种类型，求出每种类型的长度，比较大小即可求得最短的途径解：由分析可得：类型一：（如前面与左面）根据勾股定理得：AB=5；类型二：（如前面与上面）根据勾股定理得：AB=5；类型三：（如下面与左面）根据勾股定理得：AB=；5，即类型一，类型二最短，每种类型有两种路线，即一共有4条最短路线，如下图所示：答：蚂蚁爬行路线的长度最短是5；一共有4条最短路线点评：解答本题的关键是知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短即蚂

31、蚁爬的是展开图中一个长方形的对角线2321次【解析】试题分析：因为222222是六位数，首先考虑最大的数由5个7组成，依次用7和0组成的最大的数，往下写出五位数、三位数，最后再试着从计算中得出问题的答案解：700+707+707+777+70777+70777+77777=222222，一共按7的次数为：1+2+2+3+4+4+5=21（次），答：那么最少要按“7”键21次点评：解答此类问题主要运用计算机采用逐渐缩小数的范围方法，逐一试着找到问题的答案2460085【解析】试题分析：××的计算结果最大，必须×尽可能大，而×尽可能小通过验证，两数的差越小，

32、积越大，即×=731×95最大；两数的差越大，积越小，即=20×468最小计算结果最大是731×9520×468=60085解：××=731×9520×468=694459360=60085答：××的计算结果最大是60085点评：本题考查5个数字组成一个3位数和一个2位数，什么时候最大，什么时候最小25294【解析】试题分析：设正对的两个面上的两数之和分别为a，b，c，则a+b+c=1+2+3+4+5+6=21；表示出这12个乘积的和s=（21a）×a+（21b）×

33、b+（21c）×c=21×（a+b+c）（a2+b2+c2），进而根据不等式的性质，求出s的最大值是多少即可解：设正对的两个面上的两数之和分别为a，b，c，则a+b+c=1+2+3+4+5+6=21；这12个乘积的和s=（21a）×a+（21b）×b+（21c）×c=21×（a+b+c）（a2+b2+c2）441=441=441147=294当且仅当a=b=c=7时，取“=”答：这12个乘积的和最大是294点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是不等式性质的灵活应用26784.【解析】试题分析：根据被减数减数=差，要使这个

34、算式中的差最大，应当使被减数最大，减数最小；则被减数的百位一定是9，减数的百位一定是1，差的百位可能是8或者7，所以被减数的十位不能选择这两个数了；然后要使差最大，考虑大的7和8已经用不了了，可以选择用一个较小的数减，因为得到的差借一位，同样得到一个大的数，所以被减数十位选3，减数十位选5，这样得到差的百位是7，十位是8；最后剩下的几个数，代入算式即可解：根据被减数减数=差，要使这个算式中的差最大，应当使被减数最大，减数最小；则被减数的百位一定是9，减数的百位一定是1，差的百位可能是8或者7，所以被减数的十位不能选择这两个数了；要使差最大，考虑大的7和8已经用不了了，可以选择用一个较小的数减，因为得到的差借一位，同样得到一个大的数，所以被减数十位选3，减数十位选5，这样得到差的百位是7，十位是8；这个算式中的差最大是：936152=784答：这个算式中的差最大是784点评：此题主要考查了最大与最小问题，注意从最高位开始，逐一分析即可2738.【解析】试题分析：根据奇数、合数、奇合数的意义，将偶数进行举例，即可得出答案解：奇合数有：9，15，21，25，27，35，39以上分别为：3×3，