2412垂直于弦的直径(1)

1、人教版九年级上册人教版九年级上册垂径定理垂径定理 垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,并且平并且平分弦所对的两条弧。分弦所对的两条弧。CDABCDAB CD CD是直径，是直径， AE=BE,AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDEOBAC解：作解：作OCAB，则，则在在RTOAC中中1252ACABmmOC=OA2-AC2OC=502-252=253 (mm)四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形平行四边形的判定平行四边形的判定有一个角是直角有一个角是直角(定义定义)判定定理判定定理1(对角线相等对角线相等)判定定理判定定理2有三个角是

2、直角有三个角是直角平行四边形平行四边形有一个角有一个角 是直角是直角矩形矩形邻边相等邻边相等菱形菱形邻边相等邻边相等正方形正方形有一个角有一个角 是直角是直角有一个角是直角且邻边相等有一个角是直角且邻边相等正方形的判定正方形的判定判定一判定一：有一个角是直角的菱形：有一个角是直角的菱形是正方形是正方形. .判定二判定二: :有一组邻边有一组邻边相等的矩形是正方形相等的矩形是正方形. .ABCD01如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条为互相垂直且相等的两条弦，弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是是正方形正方形DOABCE证明：证明： , A

3、BAC ODAB OEAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB且， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.(有一组邻边相等的矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形) 它是它是13001300多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥, , 是我国古代人民勤是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m

4、， 怎样求出赵州桥主桥拱的半径？怎样求出赵州桥主桥拱的半径？赵州桥赵州桥 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是圆是轴对称轴对称图形，任何一条图形，任何一条直径直径所所在直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴在直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBEAM=BM,AB是是 O的一条弦的一条弦.图中图中有哪些等量关系有哪些等量关系?作直径作直径CDAB,垂足为垂足为M.OABCDM CD是

5、直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。如图如图, 连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.垂径定理垂径定理三种语言：三种语言：垂直于弦的直径平分

6、弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.EDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BDEDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCAB1 1、如图，、如图，ABAB是是OO的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CDCDABAB于于E E，则下列结论中则下列结论中不成立不成立的是

7、（的是（ ）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BC OABECDC2 2、如图，、如图，OEOEABAB于于E E，若若OO的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB= cmcm。OABE解：解：连接连接OAOA， OEOEABABcmOEOAAE86102222 AB=2AE=16cmAB=2AE=16cm163 3、如图，在、如图，在O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8 8cmcm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3 3cmcm，求，求O的半径。的半径。OABE解：解：过点过点O O作作

8、OEOEABAB于于E E，连接连接OAOAcmOEcmABAE34212222435oAAEOEcm即即O的半径为的半径为5 5cm.cm.4 4、如图，、如图，CDCD是是O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的长。的长。OABECD解：解：连接连接OAOA， CD CD是直径，是直径，OEOEABAB AE=1/2 AB=5AE=1/2 AB=5设设OA=xOA=x，则，则OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13 OA=

9、13OA=13 CD=2OA=26CD=2OA=26即直径即直径CDCD的长为的长为26.26. 用垂径定理求赵州桥拱半径用垂径定理求赵州桥拱半径37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，关于弦的问题，常常需要常常需要过圆心过圆心作弦的垂线段作弦的垂线段。 圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦半径、弦构成构成直直角三角形角三角形，将问，将问题转化为解直角题转化为解直角三角形。三角形。ABOCD解：解：如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O,O,半径为半径为r r。经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OC,OC,垂足垂足为为D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则，则D D是是ABAB的中的中点，点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高. . AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2