逐次线性插值法

1、1第三节第三节 逐次线性逐次线性插值法插值法 2 2009, Henan Polytechnic University21211441211214412114411)(1 xxxL例例1：已知：已知x0=100, x1=121, x2=144, , 求求 在在x=115时的近似值。时的近似值。xxf )(714.101001211001151112110012111510)115(1151 L1001211001112110012110)(1 xxxL739.101211441211151214412114411511)115(1151 L3 2009, Henan Polytechnic U

2、niversity3则则100144100)(144100144)()(112 xxLxxLxL)100(100144)()()(111 xxLxLxL100144100115)115(144100144115)115()115(115112 LLL)100115(100144)115()115()115(111 LLL7225.104415739.104429714.10 （与利用抛物线插值得到的结果一样）（与利用抛物线插值得到的结果一样）4 2009, Henan Polytechnic University4现在令现在令 表示函数表示函数 关于节点关于节点 的的n-1次插值多项式，次插值

3、多项式， 是零次多项式，是零次多项式， i1,in均为非负整数。均为非负整数。一般地，可通过利用两个一般地，可通过利用两个k次插值多次式的线性插次插值多次式的线性插值得到（值得到（k+1）次插值多项式：）次插值多项式：)(21xIniii)(xIki)()(kkiixfxI )(xf(*)上式是关于上式是关于x的的插值多项式，显然插值多项式，显然 i=0，1，2 , k-1时时 niiixxx,21)()()()()(, 1 ,0, 1, 1 ,0, 1 ,0, 1 ,0kklklkklkxxxxxIxIxIxI )()()(, 1 ,0, 1 ,0iikilkxfxIxI 5 2009, H

4、enan Polytechnic University5从而证明了插值多项式从而证明了插值多项式( (* * *) )满足插值条件。我满足插值条件。我们称们称( (* * *) )为为Aitken（埃特金）（埃特金）逐次线性插值多逐次线性插值多项式。项式。而而)()()(, 1 ,0, 1 ,0kklkkkkxfxIxIxx 时时，)(lxf )()()()(, 1 ,0, 1 ,0klkllkllkxxxxxIxfxI )(, 1 ,0llklxIxx时时， 6 2009, Henan Polytechnic University6)()()()()(111 ,0,01 ,0, 1 ,0 x

5、xxxxIxIxIxIlll 当当k=0时为线性插值。时为线性插值。k=1时插值节点为时插值节点为 三点，三点，公式为公式为计算时可由计算时可由k=0到到k=n-1逐次求得所需的插值多项式。计逐次求得所需的插值多项式。计算过程如下算过程如下43210 xxxxx4433221100)()()()()(IxfIxfIxfIxfIxf 43210 xxxxxxxxxx 4 , 03 , 02 , 01 , 0IIII4 , 1 , 03 , 1 , 02 , 1 , 0III4 , 2 , 1 , 03 , 2 , 1 , 0II4 , 3 , 2 , 1 , 0I210,xxx7 2009, H

6、enan Polytechnic University7公式公式( (* * *) )也可以改成下面的计算公式也可以改成下面的计算公式称之为称之为NEVILLE（列维尔）（列维尔）算法，计算过程如下算法，计算过程如下43210 xxxxx4433221100)()()()()(IxfIxfIxfIxfIxf 040302010 xxxxxxxxxx )()()()()(001, 1 ,01,2, 1, 1 ,01, 1 ,0 xxxxxIxIxIxIkkkkkkk 4 , 33 , 22 , 11 , 0IIII4 , 3 , 23 , 2 , 12 , 1 , 0III4 , 3 , 2 ,

7、 13 , 2 , 1 , 0II4 , 3 , 2 , 1 , 0I8 2009, Henan Polytechnic University8 从表上看每增加一个节点就计算一行，斜线上从表上看每增加一个节点就计算一行，斜线上是是1 1次到次到4 4次插值多项式的值，如精度不满足要求，次插值多项式的值，如精度不满足要求，再增加一个节点，前面计算完全有效，这个算法适再增加一个节点，前面计算完全有效，这个算法适用于计算机上计算，且具有自动选节点并逐步比较用于计算机上计算，且具有自动选节点并逐步比较精度的特点，程序也比较简单。精度的特点，程序也比较简单。 逐次线性插值法的优点是能够最有效地计算任何逐

8、次线性插值法的优点是能够最有效地计算任何给定点的函数值，而不需要写出各步用到的插值多给定点的函数值，而不需要写出各步用到的插值多项式的表达式。但如果解决某个问题是需要插值多项式的表达式。但如果解决某个问题是需要插值多项式的表达式，那么，它的这个优点就成了它的缺项式的表达式，那么，它的这个优点就成了它的缺点了。点了。9 2009, Henan Polytechnic University9例例2：已知：已知f(x)=shx的值在下表左端，用的值在下表左端，用Aitken插值求插值求sh0.23的近似值。的近似值。ix0.000.200.300.500.60)(ixf0.000 00.201340.304520.521100.636650.231540.2334650.239706