高数期末试题

1、2003年1月 一、解下列各题1、 2、设由方程确定，求3、设在点连续，试确定的值4、判定级数的敛散性5、设曲线方程为，求此曲线在点处的切线方程6、设在点处有，而在点及其邻域有定义且有界，试证明函数在点处可导，并求7、将展开成周期为的付立叶正弦级数8、计算不定积分9、计算定积分10、求由所围成的平面图形绕轴旋转所成的立体的体积二、证明：当时，三、A，B两厂在直河岸的同侧，A沿河岸，B离岸4公里，A与B相距5公里，今在河岸边建一水厂C，从水厂C到B厂每公里水管材料费是A厂的倍，水厂C设在离A厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费最省？四、试求幂级数的收敛域及和函数五、设为上单减连续函数，有，证明当时

2、，为单调减函数六、设在上连续，在内可导，且，证明：存在一点，使得七、已知可导函数满足，求2004年1月 一、解下列各题1、 2、设,求3、求不定积分 4、求不定积分 5、求定积分 6、求由曲线及轴围成的图形的面积。7、判定级数的敛散性8、将展开为的幂级数，并求收敛域。9、求幂级数的收敛域及和函数。10、曲线上哪一点的法线在轴上的截距最小二、证明：当时，三、设某产品的成本函数为，需求函数为，其中为成本，为需求量(也是产量)，为单价，都是正常数，且。求(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求价格弹性 ；(3) 需求价格弹性的绝对值小于1时的产量。四、曲线轴旋转一周，得一旋转体，若把它在与之间部

3、分的体积记为，试求五、设为上连续，且，求证：在内存在一点，在05年1月一、解答下列各题（每小题6分，共60分）1. 计算极限.2. 设，求.3. 设在处可导，求常数和.4. 判定级数的敛散性.若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？5. 设由方程所确定，求6. 设连续，且满足，求？7. （注意:学习工科分析者做第（1）题，其余的做第（2）题）（1） 将展开成以为周期的傅里叶级数.（2） 求的极值.8计算不定积分9. 计算定积分10. 求曲线直线所围成的平面图形绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.二、（8分）试证明不等式时，三、（9分）将函数展成的幂级数，并指出收敛区间.四、（9分）已知在的邻域内可导，且

4、，.求极限.五、（8分）（注意:学习工科分析者做第（1）题，其余的做第（2）题）（1） 求微分方程的通解；（2） 求幂级数的收敛域及和函数.六、（6分）设在上连续，在内可导，且，证明：06年1月一、解答下列各题（每小题6分，共60分）1. 计算极限2. 设，求.3. 设，求.4. 判定的敛散性.5. 设由方程所确定， 求.6. 计算不定积分.7. 将展开成以为周期的Fourier级数.8. 将函数展开成的幂级数，并指出收敛区间.9. 求微分方程的通解.10. 设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一个平面图形，问为何值时，该图形绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积最大.二、（8分）试证明不

5、等式：当时，.三、（9分）设，求.四、（9分）一物体在某一介质中按作直线运动，已知介质的阻力与物体速度的平方成正比，计算物体由移动到时克服阻力所作的功.五、（9分）（注意:学习工科分析者做第（1）题，其余的做第（2）题）（1） 证明：级数在区间上一致，而在上不一致收敛.（2） 求级数的和.六、（5分）设，证明：07年1月一、解答下列各题（每小题6分，共60分）1.计算极限 2.设，求.3. 设，求4.判定级数的敛散性.5.计算反常积分6. 设为的原函数，求7.将展开成以为周期的傅里叶正弦级数，并求此级数分别在和两点的收敛值.8.将函数展开为的幂级数，并指出其收敛域.9.求微分方程的通解.10.求抛物线与所围图形的面积.二、（9分）若函数在点可导，求和三、（9分）在曲线上求一点，使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大，并求出此最大面积.四、（8分）半径为的半球形水池充满水，将水从池中抽出，当抽出的水