湖南师大附中届高三月考数学文科试卷三(20220215192933)

1、湖南师大附中2022届高三月考 数学文科 试卷三一、选择题：本大题共12个小题，每题5分.(1)集合 M = x|log2(1 x)<0,集合 N= x| 1 < x< 1,那么 M n N 等于()(A) 1 1, 1) (B)10 , 1) (C)1 1, 1 (D)(0 , 1)假设复数z满足(，3 + 3i)z= 3i(i为虚数单位),那么z的共轭复数为()33333333(a)2(b)2+ yi(c)4i(d)4+(3) 在等差数列an中，a5+ a10= 12,那么3a7 + a9=()(A)12(B)18(C)24(D)30(4) 设 a= 2, b=2, c=

2、 logx(x2 + 0.3)(x>1),那么 a, b, c 的大小关系是()(A) a<b<c (B)b<a<c (C)c<b<a (D) b<c<a(5) 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，那么田忌马获胜的概率为()(A)3 (b)4 (C)1(D)1nn 5 n右图是函数 y= Asin( 3x+$)x R , A>0, ® >0 , 0< 0 <厅 在

3、区间 _, 上的图象，为了得到 这个函数的图象，只需将y= sin x(x R)的图象上所有的点()n(A) 向左平移 石个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变n1(B) 向左平移$个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变n(C) 向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变n1(D) 向左平移§个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的空，纵坐标不变x2 ax 5 xw 1函数f(x) = a是R上的增函数，那么a的取值范围是()-x>1x(A) 3w a<0 (B) a< 2 (C) 3w a&l

4、t; 2 (D) a<0(8) 过抛物线y2= 2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线I与抛物线在第一、四象限分别交于两点，那么船的值等于(BF 1(A)5(B)4(C)3(D)2(9) 函数f(x)=匚豊一1 cos x的图象的大致形状是()IsO, i'f = |(A) 12(B)10(C)16(D)324(11)在体积为3的三棱锥S ABC中,AB = BC= 2, / ABC = 90° , SA= SC,且平面 SAC丄平面 ABC,假设该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,那么该球的体积是(A)8,2(B)|n (C)27n (D)12

5、nJ 1,1、厶-(J7he mox0M( 1(C)(10)执行如下列图的程序框图，输入p = 10,那么输出的A为()y> 0(12) 设x, y满足ax+ y 1w 0 ,假设z= x2 10x+ y2的最小值为12,贝U实数a的取值范围是()3x 2y 2 w 03311(A) a<2 (B)a< 2(C)a?2 (D)aw 2二、填空题：此题共 4小题，每题5分.(13) 假设|a|= 1, |b|= 2, c= a+ b,且c±a,那么a与b的夹角为.(14) 在平面直角坐标系 xOy中，假设直线ax+ y 2= 0与圆心为C的圆(x 1)2+ (y a)

6、2= 16相交于A,B两点，且厶ABC为直角三角形，那么实数a的值是.(15) 如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的体积为.(16) 设函数f(x)= ex(2x 1) ax+ a,其中a<1,假设存在唯一的整数 xo,使得f(xo)<0,那么a的取值范围是.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17) (本小题总分值12分)xxx向量 m= 3sin, 1 , n = cos，cos2 ,记 f(x) = m- n.(I )假设 f(x) = 1,求 cos x + y 的值；(H )在锐角 ABC中，角A, B, C的对边分

7、别是 a, b, c,且满足(2a c)cos B = bcos C,求 f(2A)的取值范围.(18) (本小题总分值12分)如图 1,在 Rt ABC 中，/ ABC= 60° , / BAC = 90° , AD 是 BC 上的高，沿 AD 将厶 ABC 折成 60°的二面角B AD C,如图2.(I )证明：平面ABD丄平面BCD;(H )设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角.(19) (本小题总分值12分)3设数列an的前n项和为3,Sn= 2(an 1).(I )求ai的值，并求数列an的通项公式；(H )假设数列 bn为等差数列，且b3 +

8、 b5= 8 , 2bl+ b4= 0设Cn= an bn,数列cn的前n项和为Tn,5,证明：对任意n N*, Tn+ n 5 3+(川)假设在1, e上存在一点x0,使得f'x(+ <g(X0) g 'x0)成立，求实数a的取值范围.是一个与n无关的常数.(20) (本小题总分值12分)椭圆C: X2+ £= 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1( 1, 0), F2(1, 0),点A 1，帀f X0在椭圆C 上.a b2(I )求椭圆C的标准方程；5(H )是否存在斜率为2的直线I,使得当直线I与椭圆C有两个不同交点 M、N时，能在直线y=

9、 §上找 到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足PM = NQ?假设存在，求出直线I的方程；假设不存在，说明理 由.(21) (本小题总分值12分)1函数 f(x)= x2, g(x)= aln x.(I )假设曲线y= f(x) g(x)在x = 1处的切线的方程为(H )设h(x)= f(x) + g(x),假设对任意两个不等的正数a的取值范围；6x 2y 5= 0,求实数a的值；h X1一 h x2,X1, X2, 都有>2 恒成立, 求实数x1 X2请考生在(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.(22) (本小题总分值10分)选修4 - 4

10、:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线I的极坐标nx= x/2cos e方程为e= -( p R),曲线C的参数方程为4y= sin e(I )写出直线I及曲线C的直角坐标方程；8(n )过点M平行于直线I的直线与曲线C交于A、B两点，假设|MA|.|MB|= 3,求点M轨迹的直角坐 标方程.(23) (本小题总分值10分)选修4 5:不等式选讲函数 f(x)= |x+ 1|+ 2|x 1| a.(I )假设a = 1,求不等式f(x)>x+ 2的解集；(n )假设不等式f(x)w a(x+ 2)的解集为非空集合，求a的取值范

11、围.参考答案题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)答案DCCBADCCBCBD21 ex1 exex 1(9)【解析】由题意得,f(x)= 1 + ex- 1 cos x=眉 cos x，所以 f(-x)=肓 cos(-x) = cos x=f(x),所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A , C;令x = 1,2 1 e那么 f(1)=彳丄厂 1 cos 1=cos 1<0,应选 B.1 十 e1 + e(10) 【解析】 第 1 次执行循环体： S= S 2n+ 10= 0 2+ 10= 8>A= 0,是，A= S=

12、8, n = 1 >p = 10,否，n = 2n= 2;第2次执行循环体：S= S 2n+ 10= 8 4 + 10= 14>A = 8,是，A= S= 14, n= 2?p = 10,否，n= 2n=4;第3次执行循环体：S= S 2n + 10= 14 8 + 10= 16>A = 14,是，A= S= 16, n = 4?p= 10,否，n=2n = 8;第4次执行循环体：S= S 2n + 10= 16 16+ 10= 10>A = 16,否，n = 8?p= 10,否，n=2n= 16;第5次执行循环体：S= S- 2n + 10= 10 32 + 10=

13、12>A = 16,否，n= 16?p= 10,是，输出 A= 16,应选C.(11)【解析】KBC外接圆圆心为 AC中点D,连接SD,那么由平面SAC丄平面ABC及SA= SC,知SD丄平14面ABC,且球心 O在SD 上,那么§SzabcX SD = 3,解得SD= 2设三棱锥 S-ABC外接球半径为 R,贝U R=3 OS= OB,所以在 RtODB 中，OB2= BD2+ OD2,即 R2= ( . 2)2 + (2 R)2,解得 R=?,439故所求球的体积为 v=3冗r3= 2冗，应选B.(12) 【解析】由题意作平面区域如下，z= x2 10x+ y2= (x 5

14、)2 + y2-25 的最小值为一12,(x 5)2+ y2的最小值为13，直线ax+ y 1 = 0恒过点A(0, 1),3直线 y= 2x 1 与圆(x 5)2 + y2= 13 相切于点 B(2, 2);Tax+ y 1= 0 可化为 y= ax+1,1 1故a> kAB = ,故 a< ,应选 D.(13) 120°(14) _【解析】圆的半径是4, ABC是直角三角形，那么圆心C到直线AB的距离为2 _2,a= 1.(15)2n12 n【解析】相当于一个圆锥和一个长方体 ，故体积为1 n + 2 - 2=4+§.32e，1 -【解析】f(x)<0

15、? ex(2x 1)<ax a,记 g(x) = ex(2x 1),那么题意说明存在唯一的整数xo,使g(x)的图象在直线y= ax a下方，g'x) = ex(2x+ 1),1 1当 x< 2时，g'(x)<o ；当 x> 2时，g'(x)>o,1 1 1因此当x= 2时，g(x)取得极小值也是最小值g 2 = 2e-,又g(0) = 1, g(1) = e>0,3解得育a<1.a>g 0= 1 直线y= ax a过点(1, 0)且斜率为a,故g 一 1= 3e 1?一a a71(17)【解析】-xx2x<3x1x

16、1x n1(I )f(x)= m-i= 3sin cos; + cos; = sin +;cos： +；= sin +;,4 44222222'6乂由 f(x)=，得 sin x += 2，所以 cos x+= 1 2si n2 x += 2.(5 分)2623262(n )因为(2a c)cos B= bcos C,由正弦定理得(2sin A sin C)cos B = sin Bcos C, 所以 2sin Acos B sin Ccos B= sin Bcos C, 所以 2sin Acos B = sin(B + C),因为 A+ B + C =n,1nn所以 sin(B +

17、C)= sin A,且 sin A丸,所以 cos B= 3 ,又 0<B<2 ,所以 B = ?,22nnnnnn 2 n那么 A+ C = 3 n, A= 3 nC,又 0<C<? , 0<A<?,那么 g<A<2 ,得§<A + 石<百,所以-3<sin a+； < j又因为f(2A)=sin a+n+1,故函数伸)的取值范围是.3+132 , 2.(12 分)18【解析】I 因为折起前AD是BC边上的高，贝当厶ABD折起后，AD丄CD , AD丄BD.2分又CD ABD = D,贝U AD丄平面 BCD.

18、3分因为 AD?平面 ABD,所以平面 ABD丄平面BCD .4分H 取CD的中点F ,连结EF ,那么EF /BD,所以/AEF为异面直线 AE与BD所成的角.6分连结 AF、DE.设 BD = 2,贝U EF = 1, AD = 2 . 3, CD = 6, DF = 3.在 Rt ADF 中，AF = AD2+ DF2 = 21.(8 分)在ABCD 中，由题设/ BDC = 60°1那么 BC2 = BD2 + CD2 2BD CDcos/BDC = 28,即 BC = 2 .7,从而 BE = BC =7, cosZCBD =BD2+ BC2 CD212222BD BC=丽

19、.在ABDE 中，DE2= BD2+ BE2 2BD BEcosZCBD = 13.在 RtADE 中，AE= AD2+ DE2 = 5.(11 分)AE2+ EF2 AF21在AAEF 中, cos/AEF =?ae EF=所以异面直线AE与BD所成的角为妙少分3(19) 【解析】(I )当 n= 1 时，Si = (ai 1),即 2ai = 3ai 3,所以 ai = 3.(1 分).,.333因为 Sn= (an 1),贝V Si1 = (an1 1)( n?2).两式相减，得 an = ?(an an1),即 an= 3an1( n?2). (4 分)所以数列an是首项为3,公比为3

20、的等比数列，故an= a1 qn1 = 3 n31 = 3n.5分(n )因为 b3+ b5= 2b4= 8,贝V b4= 4.又 2b1 + b4= 0,贝V b1 = 2.(7 分)设bn的公差为 d,贝U b4 b1= 3d,所以 d = 2,所以 bn= 2+ (n 1)x ( 2) = 4 2n.(8 分)由题设，cn=(4 2n)-n3那么Tn= 2-3+ 02+( 2) 3子+ (4 2n) -n33Tn= 2 七+ 0 33+ (6 2n) -n3 (4 2n) 扌 1(9 分)两式相减，得一2Tn= 2 牛(2)23 ( 2) 3子+ ( 2) n (4 2n) 吁1=6 2

21、(32 + 33 + + 3n) (4 2n) 扌 1.155+ _n2十2-31.(11 分)9 1 3n-1所以 Tn= 3+ (2 n) 扌11 35 15故 Tn+ n 5 - 3+ 1= 为常数.12 分20【解析】I 设椭圆C的焦距为2c,那么c= 1,因为A 1, 22在椭圆C上，所以2a= |AF1|+ |AF2|=x22 2，因此a = 2, b2 = a2 c2 = 1,故椭圆C的方程为十y2= 1.5分H 椭圆C上不存在这样的点 Q ,证明如下：设直线I的方程为y= 2x+ t,设 M(X1, y1), N(x2, y2), P X3, 3 , Q(x4, y4), MN

22、 的中点为 D(xo, yo),y= 2x+ t由 x2消去 x,得 9y2 2ty 十t2 8 = 0,2 十 y2= 12t°°y1 十 y2 t所以 y1+ y2= 9,且= 4t2 36(t2 8)>0 ,故 yo= = 9且3<t<3, (8 分)由PM = NQ知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，53十y4 t2t 157所以yo= 2 = 9，可得y4 = 9-，又3<t<3,所以<y4< 1,因此点Q不在椭圆上.(12分)(21) 【解析】(I )由 y= f(x) g(x

23、) = x2 aln x,得 y'= x J,由题意，1一a = 3,所以 a = 2.(2 分)1 oh X1一 h x2(H )h(x) = f(x) + g(x)= x2 + aln x,因为对任意两个不等的正数X1, x2,都有>2,2 X1 x2设 X1>X2,那么 h(x1) h(x2)>2(x1 X2),即 h(x1) 2x1>h(x2) 2x2恒成立，1问题等价于函数 F(x)= h(x) 2x,即F(x) = 2*+ aln x 2x在(0,)为增函数.(4分)a所以F 'x) = x+ -一 2 > 0在(0 ,)上恒成立，即a

24、> 2x x2在(0,)上恒成立，x所以a> (2x x2)max= 1,即实数a的取值范围是1, +8).(6分)11a1 + a(川)不等式 f'x0) +<g(xo) g'x0)等价于 xo + <aln xo,整理得 xo aln xo + 一<0.f' X0XOxoxo1 + a设m(x) = x aln x+ ,由题意知，在f 1, e上存在一点xo,使得m(xo)<O.(8分)a 1 + a由 m'刈=1 x丁=x2 ax 1 + ax2x 1 a x+ 1因为 x>0,所以 x+ 1>0,令 m&#

25、39;x) = 0,得 x= 1 + a. 当1 + aw 1,即aw 0时，m(x)在11, e上单调递增，只需m(1) = 2 + a<0,解得a< 2.(10分) 当1<1 + aw e,即0<aw e 1时，m(x)在x = 1 + a处取最小值.a+ 1 + 1令 m(1 + a)= 1 + a aln(1 + a)+ 1<0,即 a+ 1 + 1<aln(a + 1),可得<ln(a + 1).at+ 1考查式子<ln t,因为1<tw e,可得左端大于1,而右端小于1,所以不等式不能成立.t 1(11 分)1 + a 当1 + a>e,即a>e 1时，m(x)在11, e上单调递减,只需m(e) = e a +&