第一章,误差分析和数据处理(新)

1、第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理本章学习要求：本章学习要求：1.1.掌握误差分析中的基本概念掌握误差分析中的基本概念2.2.掌握多次直接测量结果的误差估计掌握多次直接测量结果的误差估计 3.3.了解间接测量的误差的估计了解间接测量的误差的估计 4.4.了解测量过程随机误差的估计了解测量过程随机误差的估计5.5.了解测量数据的方程表示方法了解测量数据的方程表示方法 动力工程现代测试技术动力工程现代测试技术第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理1.1 误差分析中的基本概念误差分析中的基本概念 虽然每次得到的测量值不是真值，而是近似值虽然每次得到的测量值不是真值，而

2、是近似值, ,我们所我们所关心的是每次测量值的测量误差是否在允许范围内。关心的是每次测量值的测量误差是否在允许范围内。 研究误差的目的是：研究误差的目的是： 1 1）找出测量误差产生的原因，并设法避免或减少产生）找出测量误差产生的原因，并设法避免或减少产生误差的因素，提高测量精度；误差的因素，提高测量精度； 2 2）求出测量误差大小或其变化规律，修正测量结果，）求出测量误差大小或其变化规律，修正测量结果，并判断测量可靠性。并判断测量可靠性。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理1.1.1 真值与误差真值与误差 真值真值：某种物理量应该具有的值某种物理量应该具有的值 误差误差：实际

3、物理量的真值一般是不可得的，不管用理论分析或者计算、或实际测量该物理量，其所得值与真值之间都不可避免有一定的差别，这种差别在测试技术中定义为误差。 两种表达形式两种表达形式：绝对误差绝对误差、相对误差相对误差 绝对误差绝对误差： 误差误差= =测量值或计算值测量值或计算值 - - 真值真值 绝对误差只能表示出误差量值的大小误差量值的大小，而不能表示出测量结果的精度测量结果的精度第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 相对误差相对误差 在误差分析中，我们经常采用的是相对误差经常采用的是相对误差。 相对误差相对误差 = =（测量值或计算值测量值或计算值- -真值）真值）/ /真值真值

4、 在科学研究中，经常用实验来检验某种理论或经验公式的可靠性，而真值是不可得的，此时： 相对误差相对误差= =（计算值计算值- -测量值）测量值）/ /测量值测量值 相对误差可以表示测量精度，相对误差小相对误差小，精精度越高。度越高。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理1.1.2 误差的分类误差的分类 实际测量的误差是由多种因素构成，按照误差的特性可分为：系统误差、过失误差、随机误差系统误差、过失误差、随机误差1 1）系统误差系统误差（恒定误差） 定义定义：系指测量系统或仪器使用不得法或者仪器本身缺陷，或某些外界条件发生变化所引起的误差。 性质性质：这种误差有一定的规律规律，其正

5、负或大小正负或大小不随测量次测量次数变化数变化 如何避免如何避免：系统误差是客观存在的，有时难以消除，这就只能通过修正测量值才能达到测量精度 第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 2 2）过失误差）过失误差（疏忽误差或粗大误差） 定义定义：由实验过程或测量人员由实验过程或测量人员人为过失人为过失所造成的误所造成的误 差差，这种误差是实际测量过程中应该要避免的误差。 性质性质：这种误差大小无法估计大小无法估计（数值比较大），超出在规定条件下的预测值，只能在数据分析中按一定原只能在数据分析中按一定原则取舍则取舍。 如何避免如何避免：只有通过加强责任心、避免不适当的测试条件的出现。第

6、一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 2 2）随机误差）随机误差（偶然误差） 定义：定义：产生误差的原因、误差数值的大小、正负是随机的，没有确定的规律性，或者说带有偶然性，这种误差成为随机误差。 性质性质： 小误差出现的机会比大误差出现的机会多； 大小相等、符号相反的正负误差出现的概率接近相等； 大的正误差和负误差出现的机会很小。 如何避免：如何避免：这种误差不可避免，随试验次数的增加其大小、正负值变化随机不定，没有固定的规律，研究这种误差只有通过数理统计的方法，即是本章研究的内容本章研究的内容。 第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 1.1.3 概率论中的几个基

7、本概念概率论中的几个基本概念 1）随机试验和随机事件随机试验和随机事件 事例事例：一口袋中装有红白两种颜色的球，从口袋中任取一直球，观察其颜色。 这种试验有下列的共性：这种试验有下列的共性： 可以在相同的条件下进行；每次实验的结果可能不止一个； 进行试验之前不能确定那一个结果会出现 。 随机试验：随机试验：在概率论中，将具有上述三个特性的试验称为随机试验。 随机事件：随机事件：在随机试验中，在一次试验中可能发生，也能不发生，而在大量重复的试验中具有某种规律性的事情，称为此随机试验的随机事件具有某种规律性的事情，称为此随机试验的随机事件。 样本空间：样本空间：随机试验中所有的随机事件的集合就称为

8、该随机试验的样本空间。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理随机变量随机变量：将样本空间的每一个随机事件用一个数值表示，这样就相当于在样本空间上定义了一个数学意义上的变量，每一个随机事件对应于该变量的一个取值，这个变量就称为随机变量随机变量。 此时X的取值0和1就构成了样本空间。 2 2）频率与概率：）频率与概率：设在某一随机试验的样本空间上已定义了一个随机变量X(=x1,x2) ,做了n次试验。在这n次试验中，X=xi的事件出现了ni次，则称数值ni/ n为X=xi这个事件在这n次试验中出现的频率频率。 实践证明，频率ni/ n随着试验次数的不同会有一定的波动，但当但当试验次数

9、试验次数n逐渐增多时，这个频率会逐渐稳定于某一个常数逐渐增多时，这个频率会逐渐稳定于某一个常数，这就是前面所说的统计规律，在概率论中称这个常数为发生在概率论中称这个常数为发生X=x xi i这个事件的这个事件的概率概率。记为：第二章、误差分析和数据处理第二章、误差分析和数据处理 对于随机变量对于随机变量X X的每一个取值的每一个取值x xi i，都存在一个相应的概率，都存在一个相应的概率p pi i，这样就相当于以随机变量这样就相当于以随机变量X X为自变量定义了一个表示为自变量定义了一个表示概率概率的函数的函数。即：。即： 第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 2 2）分布函

10、数与概率密度：）分布函数与概率密度： 当随机变量在某一个区间取值，即研究的情况：第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 1.1.4 误差分布中经常用到的两种分布及其性质误差分布中经常用到的两种分布及其性质 1 1）正态分布与标准正态分布及其数学期望、方差）正态分布与标准正态分布及其数学期望、方差 正态分布正态分布 设连续型随机变量连续型随机变量X X的概率密度的概率密度为： 式中： 0 为常数。则称称X X服从参数为服从参数为 的正态分布的正态分布 （高斯分布高斯分布），记作XN（ ）。 式中: 的意义分别为随机变量随机变量X

11、 X的平均值和方均根的平均值和方均根。 在数理统计中数理统计中，平均值平均值 称为数学期望数学期望，方均值方均值 称为方差方差。 222)(21xexf,2,2,2第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 严格地讲，数学期望数学期望和和方差方差就是就是在试验次数无限多时在试验次数无限多时的的平均值平均值和和方均值方均值，而均值和方均值则与试验次数无关均值和方均值则与试验次数无关，可以在试验次数有限、无限无限多的情况。因此，在求数学求数学期望和方差时，其数学形式是用期望和方差时，

12、其数学形式是用概率概率表示的；而求均值或表示的；而求均值或方均值时，其数学形式是用方均值时，其数学形式是用频率频率表示的表示的。也就是说：数学数学期望和方差是均值和方均值的真值期望和方差是均值和方均值的真值。 实际上，数学期望和方差是无法得到的数学期望和方差是无法得到的，因为测量次数不可能无限多，但如用均值和方均值也不可能，因为它们与测量次数有关，为非稳定值，无法进行数学分析。因此在数理统计和误差分析中，都用均值和方均值来代替数学期望和方差，但要对试验次数提出要求试验次数提出要求。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 标准正态分布标准正态分布 在正态分布中，如果X的数学期望数学

13、期望 =0=0、方差方差 =1=1，则称随机变量随机变量X X的分布函数为标准正态分布的分布函数为标准正态分布。 2第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 标准正态分布中不存在未知参数不存在未知参数，这样便于对分析函数的性质进行统一的标准化处理，而且参数为参数为 的正态分的正态分布具有下列性质：布具有下列性质： 第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 2）t t分布分布 若随机变量若随机变量t t的的概率密度概率密度为：为： 式中，n代表试验次数。则称随机变量t服从自由度为自由度为n的的t分布分布，记作tt（n）

14、t分布的曲线与标准正态分布的曲线形状差不多，但但t t分布分布曲线上的最高点附近变化的程度与试验次数曲线上的最高点附近变化的程度与试验次数n n有关有关。 ttnnntfn212)21 ()2()21(第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 正态分布正态分布适用于试验次数为无限多试验次数为无限多的情况，当试验次数为验次数为有限次时，正态分布表示法具有一定的近似性有限次时，正态分布表示法具有一定的近似性。 t t分布的数学形式本身就与试验次数有关分布的数学形式本身就与试验次数有关，试验次数的影响已包括在概率密度的表达式中，即试验次

15、数为多少，用t分布表示都认为没有近似性。 但由于正态分布与试验次数无关正态分布与试验次数无关，因此对正态分布特性的分析计算就比较简单，因此在实际使用时总是趋向于用正态分布来表示一些随机现象的规律，而且当试验次数很大时，用正态分布的计算结果与用t分布的计算结果几乎判别不出任何差别。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 实际上实际上 并且收敛的很快。在实际使用中，当试验次数实际使用中，当试验次数比较小时用比较小时用t t分布表示分布表示，当试验次数大于一定值当试验次数大于一定值时，用正态分布进行分析时，用正态分布进行分析。 2tn221tf lime第一章、误差分析和数据处理第一章

16、、误差分析和数据处理3 3）双侧百分点的概念）双侧百分点的概念 标准正态随机变量的双侧百分位点 见附表见附表1 1 第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 t t分布的双侧百分位点分布的双侧百分位点 设随机变量 t 服从自由度为 n 的t t分布分布，同正态分布一样，若： 见附表见附表2 2第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理4 4）两种分布的对比：两种分布的对比： 都具有如下性质 对称性：对称性：当测量次数足够多时，大小相等，符号相反的正负误差出现的概率相同，即随机误差的概率密度曲线是对称的。 单峰性单峰性：误差的绝对值越小，出现的次数就越大，当误差为零（测量值

17、等于算术平均值时），出现概率最大。 这两个性质正好与测量值在真值附近随机误差的分布状况相同。在统计数学中已证明测量值的误差分布可用正态分布表示，但是有的情况下（测量次数很少的情况下）用正态分布表示的误差可能比较大，此时用t分布。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 1.2 多次测量结果的误差估计多次测量结果的误差估计 本节的主要内容：本节的主要内容： 概念的介绍真值范围估计法可疑数据的弃取等精度测量的数据整理与分析第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理1.2.1 1.2.1 平均值与方差平均值与方差 1 1）算术平均值）算术平均值 设所测物理量的真值为m,为得到m

18、，对其测量，共测量了n次，测量结果为m1， m2 mn ,其算术平均值为： 假定测量误差只是随机误差测量误差只是随机误差，可以认为只在真值附近摆动可以认为只在真值附近摆动，可认为：当测量次数很多时，正、负误差可以抵消当测量次数很多时，正、负误差可以抵消，即：第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理2 2）总体和样本）总体和样本 总体总体：在数理统计中，把研究对象的全体叫做总体 样本：样本：与总体随机变量相对应，则称随机变量X1， X2，Xn为从分布函数F（或总体X）得到的容量为n的简单随机样本简单随机样本，简称样本样本。 说明说明：总体随机变量只是说明一类随机现象的一个抽象概念，样

19、本是指在n次测量中，每次测量的可能结果，是随机变量，不是具体的实测值。总体和样本的引出是为了说明某一类现象的概率规律，具体应用时是通过样本来表示的。样本具体的实测值记为（ X1， X2，Xn）。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理3 3）总体方差和样本方差总体方差和样本方差 设总体随机变量X的分布函数为F(x)，其概率密度为f(x)，根据方差的的定义，计算如下：2221212i122112211( )lim()( ) =lim() =lim()n11 =lim()lim()()1 =lim()niiininiiininiininniinniiniiniif x dxxf xxx

20、P XxXxxxxnnxxxxnn（x- ）事件发生的次数21nniidn第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 式中， 称为第i次测量结果的剩余误差剩余误差。 上述公式就是利用测量值来计算总体方差的计算式。 试验次数不可能无限的多，只能相对的多，设试验次数为n，根据上面的计算公式近似估计： iidxx2211()niixxn第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 表面看上用上面的近似计算结果作为2 2的估计值似乎是可行的，但实际上却是用下式进行计算。 将其结果作为2 2的近似值，这样用样本的N个观察值计算得到的总体方差的估计值 S S2 2,就成为样本方差。221

21、1()1niiSxxn第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 这样用样本的n个观察值（ x1，x2，xn ）计算得到的总体方差的估计值总体方差的估计值 S2，就称为样本方差样本方差。即： 总体方差总体方差 ： 样本方差样本方差：2211lim()ninixxn2211()1niiSxxn第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理4 4）无偏差估计无偏差估计 对于任一种样本估计值，由于都是随机变量X1，X2，Xn 的函数，因此不妨将其记为n（ X1，X2，Xn ）。设某一参数的真值为，样本容量为n，若 则称估计量则称估计量n n（ X1，X2，Xn ）为）为的无偏估计的无

22、偏估计，n称为的无偏估计量无偏估计量，或称n n的这种计算方法具有无的这种计算方法具有无偏性偏性。 前面说的前面说的X X、S S的计算方法都是的计算方法都是 的无偏估计的无偏估计。()nE,第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 无偏估计的意义无偏估计的意义 对于样本（ X1，X2，Xn ）不同的观测值，这种估计方法产生正误差产生正误差和负误差负误差的概率相等概率相等，且这种估计量只在附近摆动附近摆动，其估计误差只属估计误差只属于随机误差于随机误差，并且其估计量依概率收敛于真值。其估计量依概率收敛于真值。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理4）置信度和置信区间置

23、信度和置信区间 设随机变量X的分布函数为F（x），若对于任一给定 0 1，存在x1、x2使得： Px1X x2= F(x2) - F(x1) = 则称区间（x1，x2）为随机变量X的的100 % %置信置信区间区间， x1、x2分别称为X的置信上限置信上限和置信下限置信下限，百分数百分数100 % %称为置信度称为置信度。 置信区间和置信度表达的意义是随机变量X X落在某一区间（ x1，x2 ）的可能性大小。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理1.2.2 真值范围的估计真值范围的估计1 1）真值范围估计法一真值范围估计法一 根

24、据概率论中的中心极限定律，当随机变量X1，X2，Xn在满足一定的条件时，随机变量：nXZn第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 真值估计法一的适用条件真值估计法一的适用条件 真值估计法一是在中心极限定律的基础上得到的中心极限定律的基础上得到的，而中心极限定律在下列条件下才适用： 随机变量X1，X2，Xn 具有有限的数学期望和方差方差； 试验次数n很大； 随机变量X1，X2，Xn相互独立。说明：说明：第条不存在过失误差；第条适用次数n较大的场合；第条无累计性系统误差第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 2 2）真

25、值范围估计法二真值范围估计法二 定理定理：设X1，X2，Xn为正态总体N（，2）的一个样本样本，则： 根据这个定理，对于任意给定的0 1，总可以找到t0(n-1)使得 P |t|t0(n-1)= =1- 则在置信度为100 %的保证下，随机变量将落在区间（-t0(n-1), t0(n-1)）(1)/Xtt nSn第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理理理 根据与真值范围估计法一相同的分析过程，可以得到在置信度为100 %的前提下的真值范围估计式为： 或：00(1)/(1)/xt nSnxt nSn0(1)/xt nSn第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 两种方法

26、的比较两种方法的比较 估计法一在总体分布为任何分布的情况下都成立估计法一在总体分布为任何分布的情况下都成立，而估计法二则要求XN（，2），但对于测量在真值附近的分布情况，一般认为其误差的总体分布为正态分布 估计法一适用于样本容量估计法一适用于样本容量n比较大的场合比较大的场合，估计法二估计法二则在样本容量n或大或小时都适用，但当样本容量比较大时估计法二和估计法一得到的结果几乎没有差别估计法一中的估计法一中的Z0与样本容量与样本容量n无关无关，估计法二中的t0(n-1)与样本容量n有关。 从上面的两种真值范围估计法可以看出，不管用哪种方法估计，都可以写成下列形式。置信度为100%的真值范围为：0

27、/xk Sn第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理1.2.3 可疑数据的弃取可疑数据的弃取 用以上两种真值范围估计法两种真值范围估计法中，要求实测数据中不存在系统误差系统误差和过失误差过失误差，为此，在取得实测数据后，首先应检验这些数据中是否存在系统误差和过失误差。 1 1）系统误差的判断与处理）系统误差的判断与处理 系统误差系统误差大致可以分为两类：（1）恒定值或与恒定值或与输入信号成正比（反比）输入信号成正比（反比）与测量次数无关。（2）变值系统误差变值系统误差与测量次数（时序）有关。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 准则准则1 1： 将测量值依次排列测量

28、值依次排列并计算剩余误差计算剩余误差 di (i=1,2,n)。如果剩余误差的大小变化如图所示大小变化如图所示，则说明测量说明测量过程还有累进性系统误差过程还有累进性系统误差。如果中间有微小的波动，则表示系统有随机误差的影响。系统有随机误差的影响。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 准则准则2： 将测量结果依次排列结果依次排列并计算计算di(i=1,2,n)。若剩余误差的符号有规则的交替变化，如图所示，则说明测量过程含有周期性系统误差周期性系统误差。若中间有微小波动，则说明有随机误差随机误差的影响 第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 准则准则3 3： 如存在

29、某一条件时，测量序列的剩余误差保持剩余误差保持相同的符号相同的符号，在不存在某一条件时，剩余误差均不存在某一条件时，剩余误差均变号变号，如图所示，则测量过程含有随机测量条件而改变的恒定系统误差。恒定系统误差。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 准则准则4 4： （马利科夫准则马利科夫准则） 设按测量次序排列，测量值分别为x1,x2,xn,相应的剩余误差为d1,d2,dn，计算： 其中，当n为偶数时 k=n/2 当n为奇数时 k=(n+1)/2 若M值近似等于零，则上述测量序列中不含不含累进系统误累进系统误差差；若M显著不等于零显著不等于零，则测量序列中存在存在累进性系统误差。

30、累进性系统误差。1kniiii kMdd第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 准则准则5 5（阿贝-赫梅特准则）： 设对某一物理量进行n次等精度测量，按先后顺序得到的测量值分别为x1,x2,xn,相应的剩余误差为d1,d2,dn，计算： 若 ，则认为测量序列中存在存在周期性系统误差周期性系统误差。111niiiAd d2|1AnS第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 说明：说明： 以上5个准则是在数据整理过程中判断判断所测量数据序列是否具有变值系统误差的根据，若确实具有变值系统误差，则说明这n次试验不具有重复性，因此，这些数据不能作为真值范围估计使用，应当舍弃。

31、第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 2 2）过失误差的判断与处理过失误差的判断与处理 第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 准则准则1 1（拉依达准则拉依达准则）：）： 根据对标准正态分布的分析知，随机变量Xi落在区间3的置信度为99.7%，若所测数据超过了这个范围，则认为这个数据含有含有过失误差过失误差，应舍去不用。即： 若 |di|3S， 则认为第i次测量结果中含有过失误差。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 准则准则2 2（肖维勒纳准则）： 设进行n次测量，设随机变量Xi出现过失误差的次数为m0，则在这n次测量中，出现坏值的概率为m0/

32、n。Xi的分布函数为： F（x）=PXix 由于XiN(,2),所以出现坏值的概率可写成00|iXmPzn第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 根据测量次数测量次数n n，计算1/2n1/2n； 根据标准正态分布查取置信度为1/2n%时的参数z z0 0 写出估计式x xi i=z z0 0，分别用 、S代替 、后，估计式为； 若实测结果实测结果x xi i在此范围内，说明数据不存在过失误差在此范围内，说明数据不存在过失误差；若x xi i超过此范围，则说明该数据中含有过失误差超过此范围，则说明该数据中含有过失误差，应剔除不用

33、。剔除这些数据后，再从第1步进行检查，直至实测结果全部落在估计范围为止。x0(1,2,., )ixxz S in第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 准则准则3（格拉布斯准则格拉布斯准则）：）： 将测量数据序列按其剩余误差从小到大的次序排列为测量数据序列按其剩余误差从小到大的次序排列为x(1),x(2),x(n)，格拉布斯推到出了格拉布斯推到出了下列下列概率密度函 数f(g)， 在一定置信度下 x(n)的范围为： 若实测值在这个范围内，则认为该数据合理，否则即认为该数据中存在过失误差过失误差，应剔除不用。0( )x nxg S( )x nxgS第一章、误差分析和数据处理第一章、

34、误差分析和数据处理 三种准则的比较：三种准则的比较： 准则1的应用与计算步骤最省事，但是过于简略 准则2的分析过程比较明确，理论上也比较严谨，但若测量次数较少时，以 、S代替、时，容易将随机误差随机误差判断为过失误差判断为过失误差。 准则3的理论基础比较严谨、科学合理理论基础比较严谨、科学合理，应用时比较明确，其系数g0除与置信度有关外，也与n有关。x第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理4 4）等精度测量的数据整理与分析 将测量结果按先后顺序列出表格 求出算术平均值 在xi旁列出相应的剩余误差di； 理论上应有： 若上式不成立，说明上面的计算过程中存在错误，应进行检查，直至满足

35、该条件为止10niid第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理在di旁边列出相应的 ,并计算：利用过失误差判别准则过失误差判别准则判别判别测量数据中是否有测量数据中是否有过失误差过失误差，如有，应将坏值剔除后从第二步重新开始计算；利用系统误差的检验准则系统误差的检验准则，检查测量数据中是否有不可忽否有不可忽略的略的系统误差系统误差，如有，应查明原因，在消除系统误差后重新进行测量写出测量结果的最后表达式：2111niiSdn/xxkSn2id第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 1.3 间接测量时的误差的估计间接测量时的误差的估计 在有些实验与测量的过程中，从仪器中直

36、接读到的数据要经过一定的数学公式计算数学公式计算才能得到所需要的参数值需要的参数值，如应力测量中，直接从仪器上读的是应变值，这就需要胡克定律从实验值中计算出应力值。即： 为应力与应变，E、 分别为材料的弹性模量和泊松系数，下标1，2表示两个主应力的方向。 一般，设函数 。如果直接测量得到的是x, y, z的值。那么如何从x、y、z的测量值中去估计u的误差及其误差及其分布分布呢?1122E()12212E()1( , , )uf x y z第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 1 1）平均值平均值 对于自变量x, y, z分别进行n次测量后，各自的平均值为： 111111niin

37、iiniixxnyynzzn第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 各自的各自的剩余误差剩余误差为为： 各自的各自的样本方差样本方差为为：iiiiiixxxyyyzzz221221221111111nxiinyiinziisxnsynszn第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 现在来计算现在来计算u u的算术平均值的算术平均值 1111(,)nniiiiiiuufxyznn11(,)niiiif xx yy zzn111111( , , )nnnx xiy yiz ziiiiffff x y zxyzxnynzn ( , , )f x y z第一章、误差分析和数据

38、处理第一章、误差分析和数据处理 因此，上面的公式中，各剩余误差的总和各剩余误差的总和等于零。即：i 11i 1i 1()0nnnniiiixxxxxnxnx1110,0,0nnniiiiiixyz第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 2 2）方差方差 与算术平均值的计算类似，u的方差可计算如下。 与前类似，按照泰勒级数展开并略去高阶微量后，得：2221111() ( ,)( , , )11nnuiiiiiisuuf x y zf x y znn211 (,)( , , )1niiiif xx yy zzf x y zn第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理即：22

39、2222211() ()() ()() ()1nux xiy yiz ziifffsxyznxyz222222111111()()()()()()111nnnx xiy yiz ziiiifffxyzxnynzn222222()()()x xxy yyz zzfffsssxyz2 22 22 2()()()ux xxy yyz zzfffssssxyz第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 3 3）误差范围及置信度的估计误差范围及置信度的估计 对于直接测量的随机变量x、y、z，可以按前一节的方法计算其在某一置信度下的置信区间 。对于因变量因变量u，通常则是在与则是在与x、y、z同

40、样置信度下估计置同样置信度下估计置信区信区 。现在以正态分布为例，设在置信度为 的条件下估计出x、y、z的置信区间为 其中 ，而 是标准正态分布或t分布的双侧 百分位点。 欲使区间欲使区间u的估计区间的估计区间 有相同的置有相同的置信度，信度， 则必须是两者有相同的则必须是两者有相同的 ：zxxyyz、uuzxx yyz、000yxyzx k snk snz k sn 、0k100(1)xuux 与 区 间0k第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 则在置信度为 的条件下，u的估计区间 。其中：0uuuk snuu22222200()()()ux xxy yyz zzkfffuk

41、 snsssxyzn 022222200() ()() ()() ()yxzx xy yz zk sk sk sfffxyznnn222222() ( )() ( )() ( )x xy yz zfffxyzxyz第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 求出 后，则可得到间接测量结果u置信度 的置信区间为：.4 测量过程随机误差的估计测量过程随机误差的估计根据上一节已知，若存在函 ，而直接测量的数据是x, y, z，则因变量u在与自变量的估计区间相对应的置信度 的置信区间 其中：uuuuu( , , )f x y zuuu第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理记：则

42、：式中：222222() ()() ()() ()x xy yz zfffuxyzxyz ,yyxxzzxyzfffyxzuyxzuuuu222xyzxzu,xyzuy 待整理数据 的相对误差自变量 、 、 的误差对因变量 的相对误差贡献的份额。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 式中：x、y、z只是表示对因变量u能够产生影响的因素，这种因素可以是数据整理过程中数学公式中的变量，也可以是实验测量中各种未知的影响因素，也可以是测试过程中的部分因素，也可以是测量过程中不同测试仪器对整体测量结果的影响。对于一个具体的物理参数过程，可能要用很多仪器串联起来使用，也可能在测量过程中存在

43、不同的产生误差的根源，这时各个仪器都有其自己的精确度各个仪器都有其自己的精确度，根据这些仪器的精确度以及不同的产生误差的根源，就可以用上式来估算整体测量过程中的误差。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理例：例：如在应变电测法中，如果灵敏系数(用变量x表示)的误差为1、贴片(用变量y表示)误差为1、应变仪(用变量z表示)的误差为2，则整个测量过程中的误差为：这里 在总误差中所占的份额最大，将其减少50%，即 则：则：222222xyz(1%)(1%)(2%)2.45%1%z222222xyz(1%)(1%)(1%)1.73%1%z第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处

44、理 比原来降低了降低了29%29%，若使 ，则 只比原来降低了原来降低了13.4%13.4%，所以说，降低相对误差比较大的那部分影响因素的误差，效果比较明显。从这里的分析可以得出：在测量系统中，应该尽量使各环节配套环节配套，即不要存在误差不要存在误差分量过大的环节分量过大的环节，如果存在，则应该设法降低，以使总的测量结果的可靠程度提高、误差范围缩小，设计测量系统时，就应考虑到这种因素；0.5%xy222222xyz(0.5%)(0.5%)(2%)2.12%第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理在测量过程中，影响测量结果的因素越少测量结果的因素越少，误差范围越小，因此在设计测量系统

45、时，如能使用一台仪器就尽量不要使用两台仪器；在测量过程中，应该尽量不减少闲散人员在测量场所的走动、喧哗、打闹等可能影响测量系统的情况。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理.5 有效数字有效数字通常，测量结果都是用数字来表示的测量结果都是用数字来表示的，由于仪器显示或表盘刻度的精度限制，这些数字的读数只能读到一定的位数一定的位数，然后再加一位估计值然后再加一位估计值。如图所示可取读数为3.2，其中3是仪器表盘刻度所显示的数字，而2这个数字是估计出来的，则这个数字的有效数字是2位，通常可以估计出比仪通常可以估计出比仪器标示图有效数字读取示意图的刻度位数多一位的有效数字位数器标示图有

46、效数字读取示意图的刻度位数多一位的有效数字位数为实实际使用的测量结果的有效数字位数际使用的测量结果的有效数字位数，即：第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理读数的最大有效位数仪器刻度能够标示的数字位数读数的最大有效位数仪器刻度能够标示的数字位数+1+1，关于有效数字位数概念，进一步说明如下：关于有效数字位数概念，进一步说明如下： 有效数字位数表示的是能够表达一个数字有效性的数字位数，有效数字位数的计算是从该数字前面的第一个非零有效数字位数的计算是从该数字前面的第一个非零数字算起数字算起 一个数字中，前后非零数字间的位数属于有效数字位数； 最后一个非零数字以后最后一个非零数字以后0

47、 0的位数按标准记法也算做有效的位数按标准记法也算做有效数字位数数字位数，其中标准记数法系指指数形式的记法，例如：图中的读数为3.2mV，也可以记作0.0032V，按标准记数方法为 (mV)，或 (V)03.2 1033.2 10第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 在实际确定有效数字位数时，下列规则可以作为参考：在实际确定有效数字位数时，下列规则可以作为参考： 对于每个数据，通常认为在末位上有(0.51)个单位的误差。 在有效数字位数以后位上的数字，按下列方式取舍有效数字位数以后位上的数字，按下列方式取舍：该数字小于5时，舍去；该数字大于5时，在末位有效数字保留位上进一；该数

48、字等于该数字等于5 5时，末位保留值为奇数时在末时，末位保留值为奇数时在末位保留数字上加位保留数字上加1 1；末位保留值为偶数时将此非有效数字；末位保留值为偶数时将此非有效数字舍去舍去(见稍后的附注说明)。 若第一位有效数字为8或9，可认为该数的有效数字位数比实际的多一位。 第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 在加减法运算加减法运算时，结果的小数点后的有效数字位数与参结果的小数点后的有效数字位数与参与加减的各个数据的小数点后有效数字位数的最小者相等与加减的各个数据的小数点后有效数字位数的最小者相等。 乘除法运算除法运算中，结果的总有效数字位数与参与乘除运算的各个数据的总有效数

49、字位数最小者相等。 一些常数如 、4等可视需要而取任意多的有效数字位数。 如果一个数的有效数字位数为n，则进行对数、指数、三角函数等超越函数运算后结果的有效数字位数可认为仍然等于n，与运算前的数字的有效数字位数相等与运算前的数字的有效数字位数相等。为不失精度，至少应该用少应该用n n位或位或n+1n+1位的对数表、三角函数表等位的对数表、三角函数表等。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 在统计计算中，四位以上的数字相平均时，平均有效数字可增加一位。 根据实验需要，可取有效数字位数小于仪器可能读到的有效数字位。 读数误差属于随机误差读数误差属于随机误差第一章、误差分析和数据处理

50、第一章、误差分析和数据处理.6 测量数据的方程表示方法测量数据的方程表示方法 有一定函数关系的两个或多个两个或多个物理量的测量结果 分析目的：找出自变量和因变量之间的关系关系，或为已有的自变量与因变量的关系作验证验证.常见情况：常见情况： 在已认为自变量与因变量有某种关系（如数学公式）的情况下，用实测数据来检验这种关系的合理程度。 在自变量和因变量的关系还没有确定的情况下，用实测数据来分析、归纳这种关系。 在自变量和因变量的关系基本上已确定，但有些指数或常数还未确定时，用实测数据来确定这些指数和常数。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 通过实测数据来确定仪器的输入-输出特性曲

51、线（用其他的更精密的仪器进行测量得到实测数据） 在工业生产现场，用实测数据进行分析，来检验产品或工业参数的特性，以便做生产调节或产品合格率的分析 自变量和因变量的关系表示方法： 图示法图示法、列表法列表法、公式法公式法 公式法：结构紧凑、便于计算（如微积分）、计算机处理 方便最小二乘法最小二乘法第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理 最小二乘法最小二乘法 基本思想基本思想： 先假设自变量与因变量之间具有一定的函数关系，如果所测各点的测量值与按这种假设的函数关系计算的结果之间的误差的平方和最小（物理意义即是样本方差最小样本方差最小),则说明这种假设的函数关系中所包含的各种待定参数的取值合理；否则这些待定参数的取值不合理。第一章、误差分析和数据处理第一章、误差分析和数据处理具体步骤：具体步骤： 根据已经测量的数据，用作图法画出自变量和因变量之间的关系图形，为便于分析，可采用直角坐标系、对数坐标系、极坐标系等。 根据图形的大概形状，估计其函数关系可能具有数学数学形式形