新人教版数学九年级上(垂直于弦的直径)

1、问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它是它是1300多年前我国隋多年前我国隋代建造的石拱桥代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦弧所对的弦的长的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴径所在直线都是它的对称轴1. 圆的对

2、称性：圆的对称性： 不借助任何工具，你能找到圆形纸不借助任何工具，你能找到圆形纸 片的圆心吗片的圆心吗? ?由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是）这个图形是轴对称轴对称图图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？OABCDE（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所所在的直线是它的对称轴在的直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：弧：, 垂直于弦

3、的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.垂径定理垂径定理垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧CDABCDAB CD CD是直径，是直径， AE=BE,AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDEEDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E

4、 EAE=BEAC=BCAD=BD1 1、如图，、如图，ABAB是是OO的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CDCDABAB于于E E，则下列结论中不成立的是（则下列结论中不成立的是（ ）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BC OABECD2 2、如图，、如图，OEOEABAB于于E E，若若OO的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB= cmcm。OABE解：解：连接连接OAOA， OEOEABABcmOEOAAE86102222 AB=2AE=16cmAB=2AE=16cm3 3、如图，在

5、、如图，在O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8 8cmcm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3 3cmcm，求，求O的半径。的半径。OABE解：过点解：过点O O作作OEOEABAB于于E E，连接连接OAOAcmOEcmABAE3421cmOEAEAO5342222即即O的半径为的半径为5 5cm.cm.弦心距：圆心到弦的距离弦心距：圆心到弦的距离圆心到弦的距离、半圆心到弦的距离、半径、弦径、弦构成构成直角三角直角三角形形，便将问题转化为便将问题转化为直角三角形的问题。直角三角形的问题。4 4、如图，、如图，CDCD是是O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，

6、AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的长。的长。OABECD解：解：连接连接OAOA， CD CD是直径，是直径，OEOEABAB设设OA=xOA=x，则，则OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13 OA=13OA=13 CD=2OA=26CD=2OA=26即直径即直径CDCD的长为的长为26.26. AE= AB=5AE= AB=521 5. 已知：已知： O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD.MCDABON证明：作直径证明：作直径MNAB。 推论：推论： 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆

7、的两条平行弦所夹的弧相等. 如图：在如图：在 O中中,设设 O半径为半径为R，弦弦AB=a，弦心距，弦心距OD=d, 弓形的高弓形的高DE=h, 且且OEAB于于D. 己知己知求求(1) R,da,h(3) R,ad,h(4) d,h R,a(2) R,ha,daRhd2aABODE(5) a,h R,d归归纳纳13001300多年前多年前, , 我国隋代建造的赵州石拱桥的桥我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形拱是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4米米, ,拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离, ,也叫弓形高也叫弓形高) )

8、为为7.27.2米米, , 你能求出桥拱的半径吗你能求出桥拱的半径吗? ?解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题你能利用垂径定理解决你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题求赵州桥拱半径的问题吗吗? ?思考：思考： 如图所示，在如图所示，在RtABC中，中，C=900 ，AC=5cm，BC=12cm，以，以C为圆为圆心，心，AC为半径的圆交斜边于为半径的圆交斜边于D，求，求AD的长。的长。ACDBECDABCDAB AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OBCDE如图，如图，CD是是 O的直径，的直径，AB为弦为弦，且且AE=BE. CD CD是直径，是直径， A

9、E=BEAE=BEA如何证明？如何证明？OABCDE已知：已知：如图，如图，CDCD是是OO的直径，的直径，ABAB为弦为弦，且，且AE=BE.AE=BE.证明：证明：连接连接OAOA，OBOB，则，则OA=OBOA=OB AE=BEAE=BE CDABCDAB AD=BD,AD=BD, 求证：求证：CDCDABAB，且，且AD=BD,AD=BD, AC =BC AC =BC AC =BC AC =BC此处的弦可以是直径吗？如果不能，请举此处的弦可以是直径吗？如果不能，请举出反例。出反例。 平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦, ,并且平分弦并且平分弦所对的两条弧。所对的两条弧。OABCD

10、垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂的直径垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 CDAB,CDAB, CD CD是直径，是直径， AE=BEAE=BE AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE CD CD是直径是直径, , CDAB, CDAB, AM=BM AM=BM AC=BC,AC=BC, AD=BD.AD=BD. 如果具备上面五个条件中的任何两个，根如果具备上面五个条件中的任何两个，根据圆的对称性，一定可以得到其他三个结论据圆的对称性，一定可以得到其他三个结论 一条直线一条直线满足满足:(1

11、):(1)过圆心过圆心;(2);(2)垂直于弦垂直于弦;(3);(3)平分弦平分弦（不是直径不是直径）; (4); (4)平分弦所对优弧平分弦所对优弧;(5);(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧. .只要具备上述五个条件中任只要具备上述五个条件中任两个两个, ,就可以推出其余三个就可以推出其余三个. .OABCDM1：判断下列说法的正误：判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分

12、线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 圆是轴对称图形，直径是它的对称轴圆是轴对称图形，直径是它的对称轴2 2、如图，有一段弧、如图，有一段弧ABAB，你能用尺规将其，你能用尺规将其平分吗？平分吗？AB3. 如图如图,巳知：巳知： O1与与 O2相交于相交于A,B两点两点, 且且AB=8, 连结连结O1O2 , 则则O1O2AB, 已知已知 O2的半径为的半径为,O1O2=, 求求 O1的半径的半径.O O1 1O2A AB B175434. 巳知：巳知：AB为为 O的直径，的直径，CD为弦，为弦，AECD，BFCD，垂