机械制图第三章课件

1、第三章第三章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影P3.1 3.1 投影法及工程上常用的投影图投影法及工程上常用的投影图SA投射中心投射中心投影投影投射线投射线投影面投影面a一一投投影影的的概概念念PBAC二、投影的种类二、投影的种类abc1.1.中中心心投投影影 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响投影的大小有影响。度量性较差度量性较差投射中心投射中心投影投影物体物体投射线投射线投影面投影面S2.2.平平行行投投影影法法(a)(a)斜投影法斜投影法(b)(b)正投影法正投影法P投射线方向BACabcP投投射射线线方方向向BA

2、Cabc投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。二、投影的种类二、投影的种类三、工程上常用的投影图三、工程上常用的投影图1.1.多多面面正正投投影影图图2.2.轴轴测测投投影影图图p三、工程上常用的投影图三、工程上常用的投影图3.3.标标高高投投影影图图(a) (a) 直观图直观图(b) (b) 标高图标高图三、工程上常用的投影图三、工程上常用的投影图4.4.透透视视投投影影图图三、工程上常用的投影图三、工程上常用的投影图3.2 3.2 点的投影点的投影AbBB1采用多面投影。采

3、用多面投影。 过空间点过空间点A A的投射线与的投射线与投影面投影面P P的交点即为点的交点即为点A A在在P P面上的投影。面上的投影。 点在一个投影面点在一个投影面上的投影不能确定点上的投影不能确定点的空间位置。的空间位置。1. .点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影a一、一、投投影影面面体体系系2.三投影面体系的建立VW水平投影面水平投影面 - - H正面投影面正面投影面 - - V侧面投影面侧面投影面 - - W XOYZ3.2 3.2 点的投影点的投影HV - - OXV W - - OZHW - - OY 二、二、三三投投影影面面体体系系中中点点的的投投影影规规律律VWZY

4、XO a点点A A的正面投影的正面投影a 点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影aaaA 空间点用大写字母表示，点空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。的投影用小写字母表示。3.2 3.2 点的投影点的投影1.1.三三投投影影面面体体系系中中点点的的投投影影规规律律1. a a X轴，轴，a az = aay = XA2. a aZ轴，轴， a ax =a a y = ZA3. aax = a az =YAHa aa VWXOZYWYHaaaAayazax3.2 3.2 点的投影点的投影azaxaaax例1 已知点的两个投影，求第三投影。aaaaxazaz解法

5、一:通过作通过作4545线线使使a az=aax解法二:YVXZWOA1. aaz = aay =Aa = xA2. aax = aaz =Aa =yA3. aax =aa y = Aa=zA 2.2.点的直角坐标与三面投影的关系点的直角坐标与三面投影的关系ayaxazxyzHa aa VWXOZYWYHaaa3.特殊点的投影HVXWZYwYHOCcca bBb Aaa c cba aa b c YVXZWOb 三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。a a ab b b判断方法：判断方法

6、： x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上A点在B点之前、之右、之上。VXZYWOa a ab b bBA例例2 2已知点已知点A A在点在点B B之前之前5 5毫米，之上毫米，之上9 9毫米，之右毫米，之右8 8毫米，求点毫米，求点A A的投影。的投影。a a”a985b bbV四、重影点的投影四、重影点的投影cd(c)dCDaabAB(b)重影点重影点 空间两点在某空间两点在某一投影面上的一投影面上的投影重投影重合为一点合为一点时，则称此时，则称此两点为两点为该投影面该投影面的重的重影点。影点。A A、C C为为H H面的重影点面的重影点被

7、挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A A、C C为哪个投影面为哪个投影面的重影点呢？的重影点呢？( )aacca c3.3 3.3 直线的投影直线的投影直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcos类似性类似性一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性 两点确定一条直线，将两点两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影直线的同名投影。直线的投影特性直线的投影特性BbAa直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB显实性显实性直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重

8、合为一点投影重合为一点ab=0 积聚性积聚性1.1.直线的投影直线的投影abABAabBaababb2.2.一般位置直线一般位置直线abbaba投影特性投影特性：1 a b、 a b 、a b 均小于实长均小于实长 2 a b、a b 、a b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3不反映不反映 、 、 实角实角ABVWZYXZXYaaaOYbbb3.3.投影面平行线投影面平行线ababab AB投影特性投影特性： 1a b OX ; a b OYW 2ab=AB 3反映反映 、 角的真实大小角的真实大小VWZYXXa b ab baOZYHYW水平线水平线 正平线正平线 侧平线侧平线水平线水平线

9、只平行于水平投影面的直线只平行于水平投影面的直线正平线正平线只平行于正面投影面的直线只平行于正面投影面的直线投影特性投影特性： 1 ab OX ; a b OZ 2 a b =AB 3 反映反映 角的真实大小角的真实大小Xabab baOZYHYW 侧平线侧平线只平行于侧面投影面的直线只平行于侧面投影面的直线投影特性投影特性： 1 a b OZ ; ab OYH 2 a b =AB 3反映反映 、 角的真实大小角的真实大小XZa b bbaOYHYWaABabb a Zb Xa ba(b)OYHYWa投影特性投影特性：1 a b 积聚积聚 成一点成一点 2 a bOX ; a b OYW 3

10、a b = a b = ABa(b)YVWZX4.4.投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线 正垂线正垂线 侧垂线侧垂线正垂线正垂线 垂直于正面投影面的直线垂直于正面投影面的直线投影特性投影特性： 1 a b 积聚积聚 成一点成一点 2 ab OX ; a b OZ 3 ab = a b =ABzXab baOYHYWab侧垂线侧垂线 垂直于侧面投影面的直线垂直于侧面投影面的直线投影特性投影特性： 1 a b 积聚积聚 成一点成一点 2 ab OYH ; a b OZ 3 ab = a b =ABZXabbaOYHYWab二、属于直线的点二、属于直线的点 若点在直线上若点在直线上, , 则点则点

11、的投影必在直线的同名的投影必在直线的同名投影上投影上( (从属性从属性),),并将线并将线段的同名投影分割成与段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：空间相同的比例。即： 若点的投影有一个不在若点的投影有一个不在直线的同名投影上，直线的同名投影上， 则该则该点必不在此直线上。点必不在此直线上。AC/CB=ac/cb= a c / c b ABVHbbaa定比性定比性ccC 例例3 3 已知线段已知线段ABAB的投影图，试将的投影图，试将ABAB分成分成2:12:1两段，求分点两段，求分点C C 的投的投影影c c、c c 。ab a bcc 例例4 4 判断点判断点K K是否在线段是否在线段A

12、BAB上。上。因k不在a b上， 故点K不在AB上。abk abkabk另一判断法另一判断法? ?VXOkbbABaakK例例4 4 判断点判断点K K是否在线段是否在线段ABAB上。上。因k不在a b上， 故点K不在AB上。VXOkbbABaakK三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置VXOABCD、平行两直线、平行两直线 1若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。一定相互平行。cddcabdcba

13、dc空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉平行、相交、交叉。XbaabobdABCDKbaakdckVXO、相交两直线、相交两直线 当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。交点是两直线的共有点XbbkcddckaaO 两直线交叉两直线交叉投影特性：投影特性： 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一个不符合空间一个点的投影规律。点的投影规律。 “交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮对重影点的

14、投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。助判断两直线的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H H面的重影点。面的重影点。为什么为什么？两直线相交吗两直线相交吗？凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。 dba abcdc1(2 )3(4 )3 4 12交叉两直线重影点投影的可见性判断交叉两直线重影点投影的可见性判断ABVXObabaCcdcdD1(2)211(2)bXaabcddcO12例例5 5 过过C C点作水平线点作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。cabb a c d k kd先作正面投影先作正面投影例例6 6 判断两直线的相对位

15、置判断两直线的相对位置adcadbcbadcadbcbadcadbcbdcabYWYHzadcbadcbdcbacbaddbac平行平行相交相交交叉交叉相交相交交叉交叉四、直角投影定理四、直角投影定理设设 直角边直角边BC/HBC/H面面因因 BCAB, BCAB, 同时同时BCBbBCBb所以所以 BCABba BCABba平面平面即即 abc abc为直角为直角因此因此 bcab bcab故故 bc ABba bc ABba平面平面又因又因 BCbc BCbcABCacHbcXbacbaO若直角有一边平行于投若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。上的

16、投影仍为直角。证明：证明：例例7 7 过过C C点作直线与点作直线与ABAB垂直相交。垂直相交。dabcabc d AB AB为正平线为正平线, , 正面正面投影反映直角投影反映直角。ba例例8 8 作线段作线段ABAB、CD CD 的公垂线的公垂线EFEF。cXcbaOddfeef五、直角三角形法求直线实长、夹角五、直角三角形法求直线实长、夹角 在特殊位置直线的投影中，能得到该直线在特殊位置直线的投影中，能得到该直线段的实长以及与投影面的夹角的实际大小，而段的实长以及与投影面的夹角的实际大小，而在一般位置直线的投影中，则不能。如果在投在一般位置直线的投影中，则不能。如果在投影、倾角与实长三者

17、之间建立起直角三角形关影、倾角与实长三者之间建立起直角三角形关系，则为直线段倾角与实长的图解提供了理论系，则为直线段倾角与实长的图解提供了理论依据。可利用直角三角形法求其实长和倾角。依据。可利用直角三角形法求其实长和倾角。 直角三角形的四个要素中（实长、投影、直角三角形的四个要素中（实长、投影、坐标差及直线对投影面的夹角）已知任意两个坐标差及直线对投影面的夹角）已知任意两个可确定另外两个。可确定另外两个。AB1.1.求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角|zA-zB|ABab|zA-zB|abbABaVXOabbaC|zA-zB|zA-zB |VXO2.2.求直

18、线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角|yA-yB|XaabbabAB|yA-yB|AB|yA-yB|abABbaC例例9 9 已知线段已知线段ABAB的正面投影的正面投影ab b 和和A A点的水平投影点的水平投影a，且，且B B点在点在A A点点的前方，的前方，ABAB长长2525毫米，求它的水平投影。毫米，求它的水平投影。(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)已知实长求已知实长求b b abaa2525a例例10 10 已知线段已知线段ABAB的正面投影的正面投影ab b 和和A A点的水平投影点的水平投影a，且，且B B点在点在A A点点的前方的前方, ,

19、求它的水平投影。求它的水平投影。 aa aab已知已知 =30=30求求b b题题例例11 11 已知线段已知线段ABAB的投影，试定出属于线段的投影，试定出属于线段ABAB的点的点C C 的投影，的投影， 使使BC BC 的实长等于已知长度的实长等于已知长度L L。LABzA-zBcabbaabBC=Lc 例例12 12 作三角形作三角形ABCABC， ABCABC为直角，使为直角，使BC BC 在在MNMN上，且上，且BCBC AB =2AB =2 3 3。b bcABab|yA-yB|bc=BCcaanmnm3.4 3.4 平面的投影平面的投影abcabcabcabc一、平面的表示法一、

20、平面的表示法 1.1.用几何元素表示平面用几何元素表示平面不在同一直不在同一直线上的三个线上的三个点点直线及线直线及线外一点外一点两平行直两平行直线线两相交两相交直线直线平面平面图形图形abcabcddabcabcabcabc2.2.平面的迹线表示法平面的迹线表示法QHPPVPHPVPHPwPwQHQVWZYXXOV二、各种位置平面的投影特性二、各种位置平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜实形性实形性积聚性积聚性类似性类似性abcACBcbaCBA平面的投影特性平面的投影特性 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面CBcbaA投影面垂直面投影面垂直面平面对于三投影面的位置可分为三类

21、：平面对于三投影面的位置可分为三类：1.1.一般位置平面一般位置平面投影特性投影特性 (1) abc 、 a b c 、 a b c 均为均为 ABC的类似的类似形形 (2) 不反映不反映 、 、 的真实角度的真实角度 acbabABCVWZYXabcaabbccbacVWZYXABCDab cd 铅垂面铅垂面 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面投影特性投影特性 (1) abcd积聚为一条线积聚为一条线 (2) a b c d 、 a b c d 为平面为平面ABCD的类似形的类似形 (3) abcd与与OX 、OY的夹角反映的夹角反映 、 角的真实大小角的真实大小 aabab bd cdcdcabc

22、dabd2.2.投影面垂直面投影面垂直面 正垂面正垂面 投影特性投影特性 (1) a b c d 积聚为一条线积聚为一条线(2) abcd、 a b c d 为平面为平面ABCD的类似形的类似形(3) a b c d 与与OX、 OZ的夹角反映的夹角反映、 角的真实大小角的真实大小 b aababc ddccd aABCDVWZYX水平面水平面 正平面正平面 侧平面侧平面投影特性： (1) abcd、 abc d积聚为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影abcd反映平面 ABCD实形 abcdcba dacdd3 3、投影面的平行面、投影面的平行面cdadabdcabcd正平面正平面投影特性：

23、投影特性： (1) abcd 、 a b c d 积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影正平面投影a b c d 反映反映平面平面 ABCD实形实形 abcdabcdb ac d投影特性：投影特性： (1) abcD 、 a b c d 积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性 (2) 侧平面投影侧平面投影a b c d 反映反映平面平面 ABCD实形实形 侧平面侧平面abcdadbcabcd三、属于平面的点和直线三、属于平面的点和直线ckababcklckababck1.1.平面上的直线平面上的直线 平面上的几何条件是：平面上的几何条件是：通过平面上的两

24、点；通过平面上的两点；通过平面上的一点且平通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。行于平面上的一条直线。EDFddeeff ACBaabbcc2.2.平面上的点平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。EDeeddACBaabbcc 例例1 1 已知平面由两平行直线已知平面由两平行直线ABAB、CDCD确定，试判断点确定，试判断点M M是否在该平面内是否在该平面内。tsabcdmabcdmts例例2 2 已知点已知点K K在在 ABCABC上，试求点上，试求点K K的水平投影。的水平投影。dkcababckd例例3 3 已知点

25、已知点E E在在 ABCABC上，试求点上，试求点E E的正面投影的正面投影 。eeababcc例例4 4 已知已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影。点的水平投影。baccakbkVabbaABSbaab3.3.包含直线作平面包含直线作平面过一般位置直线过一般位置直线ABAB作作铅垂面铅垂面P PH H过一般位置直线过一般位置直线ABAB作正作正垂面垂面S SV VPPHSVAB过一般位置直线可作投影面的垂直面过一般位置直线可作投影面的垂直面V例例5 5 过点过点A A、B B分别作正平面、正垂面，过分别作正平面、正垂面，过CDCD作铅面作铅面 。（2）作正垂面

26、（1）作正平面（3）作铅垂面abcdacdb属属于于平平面面的的投投影影面面平平行行线线例例6 6 在平面在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H H面的距离为面的距离为10mm10mm。nmnm10cabcab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？属于平面的水平线和正平线属于平面的水平线和正平线VXPadadbc例例7 7 已知已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。bckadadbckbc解法一解法一解法二解法二例例8 8 已知点已知点K K在在ABCDABCD平面上，且点平面上，且点K K距距H H面面1

27、010，距，距V V面面1515，试求点，试求点K K的投影的投影。k1015fekghabcaddcbefgh3.5 3.5 直线与平面、两平面的相对位置直线与平面、两平面的相对位置直线与平面平行的条件：直线与平面平行的条件： 若一直线平行于平面若一直线平行于平面上的某一直线，则该直上的某一直线，则该直线与此平面平行。线与此平面平行。ABPmn.直线与平面平行直线与平面平行一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面fgdgedefabba例例1：过：过M点作直线点作直线MN平平行于平面行于平面A

28、BC.例例2：判别直线：判别直线AB 是是否平行于平面否平行于平面DEF.acbabcmmnn例例3：试过点：试过点D作水平线作水平线DE平行于平行于ABC平面平面 adedfcbecfba.两平面平行两平面平行若一平面上的若一平面上的两相交直线两相交直线对应平行于另一平面上对应平行于另一平面上的的两相交直线两相交直线，则这两平面相互平行，则这两平面相互平行PBCAQFED例例4: 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行mnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行abdfedbefacc例例5: 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试过给定。试过点点K作一平面平

29、行于已知平面作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrkkabbacddc若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具有积聚具有积聚性性的投影必相互平行的投影必相互平行abcdefghabcdefghABDCEFHGadfghecb 直线与平面相交，其交点是直线与平直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。面的共有点。平面与平面相交，其交线是两平面的平面与平面相交，其交线是两平面的共有线。共有线。 判别两者之间的相互判别两者之间的相互遮挡遮挡关系，关系，即判别可即判别可 见性。见性。直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交要讨论的问题：要讨论的问

30、题： 求交点、交线。求交点、交线。 二、相交问题二、相交问题直线与平面相交直线与平面相交ABKPM平面与平面相交平面与平面相交FKNLcf由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出接求出。bcafedakdebkabkKBACFEDcfde. .一般位置直线与特殊位置平面相交一般位置直线与特殊位置平面相交21( )2.2.投影面垂直线与一般位置平面的相交投影面垂直线与一般位置平面的相交abckadbdeeffkc21O铅垂线与一般位置平面的相交铅垂线与一般位置平面的相交 示意图示意图1 2aAbKk abBkfefdFDedVX（ ）3.3.