实数及其性质

1、一一 实数及其性质实数及其性质( ,qp qpp正分数,有理数为整数且0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. |Rx x为实数全体实数的集合问题问题 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的为以下讨论的需要，我们把实数是不利的为以下讨论的需要，我们把“有限小数有限小数”（包括整数）也表示为（包括整数）也表示为“无限小数无限小数”为此我们规定为此我们规定:实数对于正有限小数对于正有限小数 01.,nxa aa其中其中 009,1,2, ,0,inain aa为非负整数，记，记 01(1)9999nxa aa；对于正整数

2、；对于正整数 0,xa则记则记 0(1).9999xa；对于负有限小数（包括负整数）；对于负有限小数（包括负整数） y，则先将则先将y表示为无限小数，现在所得的小数之表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号前加负号 00.0000 例：例： 2.0012.000999932.99992.0012.0009999 32.9999 于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。但新的问题又出现了：在此规定下，如小数来表示。但新的问题又出现了：在此规定下，如

3、何比较实数的大小？何比较实数的大小？2 2 实数大小的比较实数大小的比较定义定义1 1给定两个给定两个非负实数非负实数其中其中为非负整数为非负整数, ,为整数为整数,若有若有1)1) 若若则称则称x与与y相等相等, ,记为记为2)2) 若存在非负整数若存在非负整数l, 使得使得(k=0,1,2,l),而而则称则称x大于大于y( (或或y小于小于x),),分别记为分别记为或或规定任何非负实数大于任何负实数；规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数对于负实数 x ,y 若按定义若按定义1 1有有01201 2.,.nnxa a aayb bbb00,a b0,9,kka b,kka b,kka

4、b1,2,k ;xy,kkab11,llab,xy.yx,xy 则称则称.yx012.nxa a aa012.nnxa a aa110nnnxx比较两个实数大小的等价条件比较两个实数大小的等价条件为非负实数，称有理数为非负实数，称有理数为实数为实数x的的n位不足近似，位不足近似，而有理数而有理数称为称为x的的n位过剩近似位过剩近似，n=0, 1,2,定义定义2 2 设设对于负实数对于负实数x的的n位不足近似值规定为位不足近似值规定为：x的的n位过剩近似值规定为：位过剩近似值规定为：例如例如:则则1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 为为的的1 1位位,2,2位位,3,3位位,4,

5、4位不足近似值位不足近似值。1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 为为 的的1 1位位,2,2位位,3,3位位,4,4位过剩近似值。位过剩近似值。 012.nnxa a aa 012.nxa a aa 0121.10nnnxa a aa ,nxxn不难看出 实数 的不足近似 当 增大时不减012,xxx即有,nxxn实数 的过剩近似当 增大时不增012.xxx即有21.414222命题01201 2.xa a ayb bb设与为两个实数,:xy则的等价条件是, n存在非负整数使得,nnxy,nnxxnyyn其中 表示 的 位不足近似表示 的 位过剩近似1例,.:x yxyr设为实

6、数,证明 存在有理数 满足.xry证,xy由于,.nnnxy故存在非负整数使得1(),2nnrxy令,r则 为有理数 且有nnxxryy.xry即得 实数有如下一些主要性质实数有如下一些主要性质 2 2 实数集是有序的，即实数集是有序的，即 任何两个实数任何两个实数a, b, 必满足下述必满足下述 3 3 实数大小关系具有传递性，即若实数大小关系具有传递性，即若ab，bc , ,则有则有ac.4 4 实数具有实数具有Achimedes性，即对任何性，即对任何 5 5 实数集实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数。个实数。6 6

7、 实数集实数集R与数轴上的点有着一一对应关系与数轴上的点有着一一对应关系。 三个关系之一三个关系之一：1 1 实数集实数集R对加、减、乘、除对加、减、乘、除( (除数不为除数不为0)0)四则运算是封闭的四则运算是封闭的.,.ab ab ab0,.bannab若则存在正整数使得,a bR例2 证明 .,:,babaRba则有若对任何正数证明设ee.,.bababababa,从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeee e二二 . . 绝对值与不等式绝对值与不等式 实数a的绝对值定义 a 0 -a ,0|0aaaaa.几何意义：从数轴看,数 a的绝对值 |a就

8、是点a到原点的距离 认识到这一点非常有用，与此相应， |xa表示就是数轴上点 x与 a之间的距离. 性质）| | 0;| 00aaaa （非负性）； ）|aaa； |ahhah |.(0)ahhah h ）；）对任何 , a bR有 | | |ababab（三角不等式）；） | | |abab） |aabb(0)b 证由性质2aaabbb -| | |, -| | |两式相加aba bab -(| |+| |)+| |+| |由性质 3 上式等价于a bab| + | | |+| |bb把上式的 换成 - 得a bab| - | | |+| |性质性质4（三角不等式）的证明：（三角不等式）的证

9、明：对任何对任何 , a bR有有 | | |abababaabb又由.aabb.abab从而得4. 几个重要不等式几个重要不等式: ,222abba. 1 sin x. sin xx 对,21Rnaaa 记,1 )(121niiniannaaaaM(算术平均值),)(1121nniinniaaaaaG (几何平均值).1111111)(1121niiniiniananaaanaH (调和平均值)有均值不等式有均值不等式: ),( )( )(iiiaMaGaH(等号当且仅当naaa21时成立). Bernoulli 不等式不等式: : (在中学已用数学归纳法证明过) 对,0 x (1)1.nx

10、nx abab 2 2 数集数集. . 确界确界原理原理一一 区间与邻域区间与邻域: :,.a bRab设且,( , );x axba b我们称数集为开区间 记作, , ;x axba b数集为闭区间 记作ababao),xaxa 无限区无限区间间,x axbx axb数集和为半开半闭区间 , )( , ;a ba b分别记作和xaooxb),xaxa),(bxxb),(v邻域 v去心邻域0( ; ) 0Uaxxa,0.aRxaxa设满足绝对值不等式的全体实数 的集合称为点 的 邻域,( ; ),( ),U aU a记作或简单记为( ; )(,).U ax xaaa即有此外此外, ,我们还常用

11、到以下邻域我们还常用到以下邻域( ; ) ,),( );aUaa aUa点 的 右邻域简记为( ; )(, ,( );aUaaaUa点 的 左邻域简记为00( )( ),( )( )UaUaaaUaUa与去除点 后 分别为点 的空心 左右邻域 简记为与( ),;Ux xMM 邻域其中为充分大的正数(),;Ux xMM 邻域其中为充分大的正数(),;Ux xMM 邻域其中为充分大的正数 二、有界集确界原理二、有界集确界原理 定义定义1 1 设设S为为R中的一个数集。若存在数中的一个数集。若存在数M(L), ,使得对一使得对一切切xS, ,都有都有xM（xL）, ,则称则称S为有上界（下界）的数为

12、有上界（下界）的数集，数集，数M(L)称为称为S的一个上界（下界）的一个上界（下界）. . 若数集若数集S既有既有上界又有下界上界又有下界, ,则称则称S为有界集为有界集. .若若S不是不是有界集，则称有界集，则称S为无界集。为无界集。 1:.Nn n例证明数集为正整数 有下界而无上界证,1.N显然 任何一个不大于 的实数都是的下界,:N为证无上界 按照定义只须证明00,.MnnM对于无论多么大的正数总存在某个正整数使得,(),M事实上 对任何正数无论多么大000 1,.nMnNnM取则且N这就证明了无上界. 若数集若数集S 有上界，显然它有无穷多个上界，而有上界，显然它有无穷多个上界，而其中

13、最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集数集S 的上确界。同样，有下界数集的最大下界，的上确界。同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。称为该数集的下确界。 MM2M1上确界上界 m2mm1下确界下界下面给出数集的上确界和下确界的定义下面给出数集的上确界和下确界的定义。2定义SR设 是 中的一个数集.若数 满足:( ),;ixSxS对一切有即 是 的上界00( ),iixSx对任何存在使得,S即 又是 的最小上界,S则称数 为数集上确界的sup .S记作说明: Sx1 x2 x3 x4 x5 xn x0 类似地,可得到下确界的概念3定义S

14、R设 是 中的一个数集.若数 满足:( ),;ixSxS对一切有即 是 的下界00( ),iixSx对任何存在使得,S即 又是 的最大下界,S则称数 为数集下确界的inf.S记作上、下确界的另一精确定义上、下确界的另一精确定义定义设设S是是R中的一个数集，若数中的一个数集，若数 满足以下两条：满足以下两条：（1 1）对一切）对一切有有即即是数集是数集S S的上界；的上界；（2 2） 对任意对任意存在存在使得使得（即（即是是S的最小上界）的最小上界） 则称数则称数为数集为数集S的上确界。的上确界。e 0 x 2,xS,x0,e0 xS0,xe记作记作sup.S e S定义设设S是是R中的一个数集

15、，若数中的一个数集，若数 满足以下两条：满足以下两条：（1 1）对一切）对一切有有即即是数集是数集S的下界；的下界；（2 2） 对任意对任意存在存在使得使得（即（即 是是S的最大下界）的最大下界） 则称数则称数 为数集为数集S的下确界。的下确界。3,xS,x0,e0 xS0,xe记作记作inf.S0 x思考题思考题:0,1的上下确界分别等于几的上下确界分别等于几? (0,1)中中的无理数构成的集合呢的无理数构成的集合呢? ?例例2 2 设设S= =x|x为区间为区间(0, 1)中的有理数中的有理数, ,试按上下试按上下确界的定义验证确界的定义验证: :supS=1, infS=0. .证证 先

16、验证先验证supS=1(1)(1)对一切对一切xS,显然有显然有x1,1, 即即1 1是是S的上界的上界. .(2)(2)对任何对任何1,1, 若若0,0,则任取则任取x0S都有都有x0;若若0,0,则有有理数在实数集中的稠密性则有有理数在实数集中的稠密性, ,在在(,1)中必中必有有理数有有理数x0, ,即存在即存在x0S,使得使得x0.类似地可以验证类似地可以验证infS=0注: (1)(1)由上（下）确界的定义可知由上（下）确界的定义可知, ,若数集若数集S存在存在上（下）确界上（下）确界, ,则一定是唯一的则一定是唯一的; ; (2) (2)若数集若数集S S存在上、下确界，则有存在上

17、、下确界，则有infSsupS; ; (3) (3)数集数集S的确界可能属于的确界可能属于S也可能不属于也可能不属于S。例例3 设数集设数集S有上确界有上确界,证明证明 的充要条件是的充要条件是证证必要性必要性 设设supSS则对一切则对一切xS,有有,x而而,S故故 是数集是数集S中的最大数中的最大数,即即maxS充分性充分性 设设maxS则则,S下面验证下面验证sup S(1)对一切对一切xS,有有x ,则则从而满足从而满足,0 xS0,xsupS(2)对任何对任何只须取只须取的定义的定义.是是S的上界的上界;即即maxSsupSS定理定理1.11.1（确界原理确界原理）设）设S为非空数集

18、，若为非空数集，若S S有有上界，则上界，则S必有上确界；若必有上确界；若S有下界，则有下界，则S S必必有下确界。有下确界。 （证略）（证略） 注意：确界原理是极限理论的基础，应很注意：确界原理是极限理论的基础，应很好地去理解和消化。好地去理解和消化。 例例4 4 设设A，B为非空数集，满足：对一切为非空数集，满足：对一切xA和和yB有有xy。证明数集。证明数集A有上确界，数集有上确界，数集B有下确界，有下确界，且且supAinfB。 由确界原理可知数集由确界原理可知数集A有上确界有上确界,数集数集B有下确界。有下确界。而此式表明数而此式表明数supA 是数集是数集B的一个下界的一个下界,证证由假