杆件变形地分析与刚度

1、 在外载荷或其它因素作用下会产生变形，必然在外载荷或其它因素作用下会产生变形，必然会导致杆件的某些点或某些面处有位移，位移不仅会导致杆件的某些点或某些面处有位移，位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约束情况有关，与变形有关，而且还与杆件所受的约束情况有关，变形与位移是两个不同的概念。变形与位移是两个不同的概念。 研究杆件的变形与位移，主要目的研究杆件的变形与位移，主要目的是在工是在工程实际中限制过大的弹性变形，确保不产生塑性变程实际中限制过大的弹性变形，确保不产生塑性变形形，这就是杆件的刚度设计；二是，这就是杆件的刚度设计；二是求解静不定问题求解静不定问题的需要的需要。 本章主要介绍变形与位

2、移分析的本章主要介绍变形与位移分析的积分法积分法和和叠加法叠加法。 基本要求：基本要求： 1、掌握用积分法和叠加法求杆件的变形、掌握用积分法和叠加法求杆件的变形 2、会计算杆件的刚度、会计算杆件的刚度 3、了解提高杆件刚度的措施、了解提高杆件刚度的措施8.1 杆件的拉（压）变形杆件的拉（压）变形- 称为抗拉（压）刚度称为抗拉（压）刚度。 纵向变形：纵向变形： 横向变形：横向变形： 在弹性范围内有：在弹性范围内有： 变变截截面面杆杆的的伸伸长长变变形形如图所示变截面杆，如图所示变截面杆，其微段的伸长为其微段的伸长为 积分得积分得 变截面杆的伸长变形：变截面杆的伸长变形： 由杆件组成的桁架，其变形

3、通常由节点的由杆件组成的桁架，其变形通常由节点的位移来表示。当桁架受力后，组成桁架的各杆位移来表示。当桁架受力后，组成桁架的各杆产生生相应的变形，但由于它们仍由铰链连接产生生相应的变形，但由于它们仍由铰链连接在一起，因而这种变形导致的最终结果是使节在一起，因而这种变形导致的最终结果是使节点变化到了新的位置，点变化到了新的位置，节点位置的变化称为节点位置的变化称为。小变形条件下在计算节点位移时，可。小变形条件下在计算节点位移时，可按结构原有的几何形状和尺寸计算约束反力和按结构原有的几何形状和尺寸计算约束反力和内力，同时内力，同时【】【例例8.2 】已知材料的已知材料的E，线膨胀系数为，线膨胀系数

4、为，杆件长度为，杆件长度为L，横截面的面积为横截面的面积为A，试求温度升高，试求温度升高T时杆内的温度应力。时杆内的温度应力。【解解】1、由平衡方程得：、由平衡方程得：FA=FB2、温度升高杆的变形：、温度升高杆的变形：3、右端作用、右端作用FB产生的变形：产生的变形：4、由于实际无变形，所以：、由于实际无变形，所以：解得：解得：【例【例8.3 】已知已知=30。，杆长，杆长L=2m,直径直径d=25mm，E=210GPa，P=100kN,求节点求节点A的位移。的位移。【解解】 圆截面直杆在扭转时，小变形情况下，可认为各圆截面直杆在扭转时，小变形情况下，可认为各横截面之间的距离保持不变，仅绕轴

5、线作相对转动，横截面之间的距离保持不变，仅绕轴线作相对转动，两横截面间相对转过的角度称为两横截面间相对转过的角度称为，用，用表示。表示。取一微段取一微段dx x研究，设徽段研究，设徽段d dx x的相对扭转角为的相对扭转角为d，沿，沿轴线方向的变化率为轴线方向的变化率为d/dx x。在线弹性范围内，由。在线弹性范围内，由式（式（522）可知）可知 ：【例【例8.4 】已知已知m1=2.5kN.m，m2=4kN.m，m3=1.5，G=80GPa，求截面，求截面A、C间的扭转角。间的扭转角。【 】 梁变形前后形状的变化称为梁变形前后形状的变化称为变形变形。梁变形前后位置的。梁变形前后位置的变化称为

6、变化称为位移位移，位移包括，位移包括线位移线位移和和角位移角位移，如图所示。在，如图所示。在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为直于梁轴线方向的位移，称为挠度挠度，用，用y表示；角位移是表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称为横截面变形前后的夹角，称为转角转角，用，用表示。表示。8.3.1 挠度与转角方程挠度与转角方程f(x)dytg(x)=f (x)dxy规定规定：挠度：向上为挠度：向上为“+”，反之为，反之为“-” 转角：逆时针为转角：逆时针为“+”，反之为，反之为“-”8.3.2 挠曲线近似微分方程

7、挠曲线近似微分方程 挠曲线近似微分方程，适合平面弯曲梁，且必挠曲线近似微分方程，适合平面弯曲梁，且必须满足线弹性和小变形的条件。须满足线弹性和小变形的条件。8.3.3 用微分法求梁的变形用微分法求梁的变形 C、D为积分常数，由为积分常数，由位移边界条件位移边界条件和和连续性连续性条件条件确定。确定。【例【例8.5 】简支梁简支梁AB，左端支座处受集中力偶作用，求梁，左端支座处受集中力偶作用，求梁的挠度方程和转角方程。并确定挠度和转角的最大值。的挠度方程和转角方程。并确定挠度和转角的最大值。【解【解】最大挠度：最大挠度：8.4 求杆件的变形的叠加法求杆件的变形的叠加法 在线弹性和小变形的条件下，

8、杆件的在线弹性和小变形的条件下，杆件的变形和位移变形和位移与载荷成线性关系与载荷成线性关系，可利用叠加原理求杆件的变形和，可利用叠加原理求杆件的变形和位移。以梁为例，即位移。以梁为例，即欲求几项载荷共同作用下在梁上欲求几项载荷共同作用下在梁上某点引起的位移，可先分别计算每一项载荷单独作用某点引起的位移，可先分别计算每一项载荷单独作用下同一点处的位移，然后进行代数相加下同一点处的位移，然后进行代数相加。 由于一些基本梁（简支架、悬臂梁）在典型载荷作由于一些基本梁（简支架、悬臂梁）在典型载荷作用下的挠度与转角均已按积分法算出并编制成表用下的挠度与转角均已按积分法算出并编制成表8l，因而利用这些结果

9、，由叠加法可以很方便地求得各种因而利用这些结果，由叠加法可以很方便地求得各种梁在复杂载荷作用下的挠度与转角。梁在复杂载荷作用下的挠度与转角。【例【例8.6 】试求悬臂梁截面试求悬臂梁截面C的挠度。的挠度。【解【解】【例【例8.7 】试求外伸梁试求外伸梁AC在截面在截面C的挠度的挠度。【解【解】 8.5 杆件刚度的设计杆件刚度的设计 提高杆件刚度的措施提高杆件刚度的措施 8.5.1 杆件的刚度设计杆件的刚度设计【例【例8.7 】一简支梁，其外径一简支梁，其外径D=114mm，壁厚，壁厚=4mm,单位长度的重量单位长度的重量q=106N/m，E=210GPa，=80MPa，y=L/500，试求管道

10、的最大跨度。，试求管道的最大跨度。【解【解】【例【例8.7 】某轴某轴45号钢组成，材料号钢组成，材料=50 MPa，G=80GPa，轴两端受，轴两端受T=18kN.m作用，作用， ，试，试确定轴的直径；若轴改为空心的且确定轴的直径；若轴改为空心的且=1/2，确定直径，确定直径，并计算空心于实心圆轴的重量比。并计算空心于实心圆轴的重量比。0.3 /dmd【解】【解】1、2、由强度条件可得：由强度条件可得：由刚度条件可得：由刚度条件可得：所以，空心轴的外径应不小于所以，空心轴的外径应不小于147mm。 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件，梁弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件，梁截面的惯性矩截面的惯性矩 、材料的弹性模量、材料的弹性模量 有关。故提高有关。故提高梁刚度的措施为：梁刚度的措施为：1)改善结构受力形式，减小弯矩改善结构受力形式，减小弯矩 ；2)增加支承，减小跨度增加支承，减小跨度 ；3)选用合适的材料