王进论数学归纳法

1、论数学归纳法论数学归纳法目目 录录1 1 引言引言.(4)(4)2 2 归纳法和数学归纳法的联系与区别归纳法和数学归纳法的联系与区别.(4)(4)3 3 数学归纳法的理论依据数学归纳法的理论依据.(5)(5)4 4 数学归纳法的适用范围数学归纳法的适用范围.( (7 7) )5 5 数学归纳法的解题步骤及常见的问题数学归纳法的解题步骤及常见的问题.( (9 9) )6 6 小小 结结.( (1313) )参考文献参考文献.( (1414) )谢谢 辞辞.( (1515) )论数学归纳法论数学归纳法1 1 引言引言数学归纳法是证明关于自然数的命题 的一种十分重要的数学方法，n p n是人们最早掌

2、握的递归方法，其发展经过了漫长的探求历史，但自发现之日起，就一直被人们认为是一种神秘、奇妙的方法.从纵的方面看，它是归纳法的一种特殊形式，它与递推方法、逆向推理方法等同属程序性方法；从横的方面看，它和正整数有关的某些不等式、等式、整除、几何命题、数列命题、排列组合等问题密切相关.应用数学归纳法解决这些问题给人一种奇妙的感觉.当然随着人们的不断探索和研究，它的神秘面纱也在慢慢的被揭开.本文就我对数学归纳法的一点理解做以下几个方面的讨论.2 2 归纳法和数学归纳法的联系与区别归纳法和数学归纳法的联系与区别归纳法是人类认识自然、认识社会及认识自我的重要思想方法，是寻找真理和发现真理的主要手段，科学上

3、的无数定理、定律都是归纳的结果.归纳法分为完全归纳法与不完全归纳法两种，在事物出现的各种可能性有限的情况下，用完全归纳法可以得出确定的结论.如命题“同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半”所能涉及的情况就只有圆心在圆周角内、圆周角边上和圆周角外三种，这就可以用完全归纳法一一验证.但是对于事物出现的各种可能性不是有限种的情况下，就不能采用完全归纳法.（如“凸边行的内角和等于）.n02180n因为归纳得到的结果只是对可能性结论的一种猜测，这种猜测可能是正确的，也可能是错误的.例如，著名数学家费尔马曾经根据下列算式：0123422222213;215;2117;21257;2165537 的结果都是质数

4、，猜测对与任何自然数的值都是质数 .结果另一位数学2,21nn家欧拉举出了： 52214294967297641 6700417 这个例子推翻了费尔马归纳的结论.所以用不完全归纳法得出的结论，只能属于猜测，不能说是可靠的.因此用归纳法得出的结论必须经过严格的证明才能确认其正确性.涉及用归纳法的事物，往往是“可数”的，换言之，是可以用自然数来排列的，或者说是与自然数有关的命题.所以，与自然数有关的许多命题常常用数学归纳法来证明.从方法论来区分，归纳法是一种发现的方法，用以发现规律、猜想结果；而数学归纳法是一种演绎的方法，用以严格论证与自然数有关的命题的正确性.因此我们要明白，虽然归纳法下的结论不

5、一定可靠，但它在分析、探索数学问题中有十分重要的作用.通过对数学问题的观察、分析、归纳而猜想出结果，并用数学归纳法证明其正确性是发现并证明数学问题的一种重要的思维方法.归纳、猜想、证明是对观察、分析、论证能力的综合考查，因此，不完全归纳法也有其重要的作用. 例如：我们知道：与11232n nn 22221211236n nnn观察可以归纳出：前个自然数的一次幂的和是一个关于的二次多项式，nn二次幂的和是关于的三次多项式.因此我们猜想：三次幂的和可能是关于的nn四次多项式.即猜想： 其中为待定系数.3333432123nanbncndne, , , ,a b c d e依次用=1，2，3，4，5

6、 代入上式，可以得到关于的一个一次方程组，n, , , ,a b c d e解此方程组可得：当=1，2，3，4，5 时有n223333(1)1234n nn这就是我们的猜想.事实上，用数学归纳法很容易证明其正确性.这说明，归纳法可以帮助我们发现新的结论（猜想） ，如果这猜想是正确的，数学归纳法则可以帮助我们证实猜想，使之成为正确结论.3 3 数学归纳法的理论依据数学归纳法的理论依据与自然数有关的命题一般是由无穷多个命题所组成.( )p n(1), (2),( )ppp n采用逐个论证的方法是不可能完成的.数学归纳法的实质在于：将一个无法穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题“为真”和“为真则为真

7、”(1)p( )p k(1)p k 从而达到证明目的.是从有限范围内的正确结论出发，利用自然数的“后继”特征和逻辑中的“蕴涵”关系，得到无限范围内的无可辩驳，无可怀疑的正确结论.数学归纳法的依据来源于揭示自然数的根本性质的皮亚诺公理：自然数是满足下述一组公理的集合（表示自然数集）N ；11N 对任何，有唯一的（表示的后继） ；2aNaNaa 对任何，不是 1；3aNa 对任何，若与相同，则等于，记为；4, a bNababab （归纳公理）若且5MN ；11M 对任意，有2aMaM则 .MN“后继”关系是自然数的重要特征，即每一个自然数有且只有一个“后继” ，而除了 1 以外的每一个自然数必然

8、是也只能是一个自然数的“后继” ，这应该是数学归纳法中第二步归纳递推的依据.可见，皮亚诺公理中的第五条公理正是数学归纳法的根据，因此，第五条公理也称作数学归纳原理.由数学归纳原理可以导出：设是关于自然数的命题，若( )p nn（奠基）在时成立；1( )p n1n （归纳）在（是任意自然数）成立的假设下可以推出2( )p kk成立，则对于一切自然数都成立.(1)p k ( )p nn有的命题对“1”不适合，如“边形的边数必须从 3 开始” ，那么这就nn有了数学归纳法的基本变形. 设是关于自然数的命题，若( )p nn11(,)nn nN 在时成立； 1( )p n1nn 在（是不小于的自然数）

9、成立的假设下可以推出成2( )p kk1n(1)p k 立，则对于不小于的一切自然数都成立. ( )p n1n这种推理的方法，可以说是数学证明中的“多米诺”现象，如果不具有数学和逻辑素养是不可能相信和理解的.它体现了人类理性思维“从有限认识无限”所闪烁的智慧之光.4 4 数学归纳法的适用范围数学归纳法的适用范围“什么时候用数学归纳法，什么时候不能用数学归纳法？”这没有一个确切的答案.就像问：“什么时候该添辅助线？什么时候该用反证法？”一样.不过在这里我给大家一个基础准则，当然它也是有例外的，不是万能的.在数学所使用的函数中，有些是递归地定义的，有些则否.要计算递归定义的函数必须有小到大的逐步计

10、算；非递归定义的函数，则可以直接计算.例如：计算:的值时我们就可以直接算出答案，不需要逐步的从小到大的去34 35计算的值然后再求的值，也就是说这样的式子中1 2,2 3,3 4,33 3434 35不含递归性定义的函数.但是在计算的值的时候，我们却必须通过逐步的从小到大的去计算3534从 到的幂次方来计算的值，也就是说这个式子中含有递归性定义的341353534函数.在初步理解了什么是递归地定义的函数之后，我给大家给出什么时候使用数学归纳法的基础准则：如果给出的命题中含有递归地定义的函数，我们都可以选择使用数学归纳法来证明这个命题.不过在运用这个准则的时候要注意两点：即使命题中含有递归地定义

11、的函数，但是我们已经证明了这些函数的某 1些性质（变形规则） ，在我们用这些性质就可以直接证明或得到结论的时候，就没有必要用数学归纳法（当然也可以用数学归纳法，只是麻烦一点而已）.在命题是由含有递归地定义的函数组成的复合命题中，虽然也要逐步的 2从小到大的去计算，但是这个复合命题可能已经不是由“时命题成立”推nk出“时命题也成立”的“递推”性命题.所以这种情况下不能用数学归1nk纳法.我们知道：；11232n nn 22221211236n nnn 223333(1)1234n nn这三个式子的左端都是递归地定义的函数，故可以用数学归纳法.在这里我不做具体的证明.第一个式子是自然数的前项和公式

12、，我们学习的时候采用了倒序相加法n而没有用数学归纳法，这就是中所说的我们掌握了它的某些变形规则. 1其实我们学过的加法和乘法原本也是递归地定义的，但是在我们学了加法和乘法的交换律、结合律等性质后我们就可一直接计算有关加法和乘法的运算.也就是说在我们学习了一个含有递归地定义的函数的命题的某些性质后我们可以把它们当作非递归地定义的命题来对待.在中提到的这种情况我们也常常遇到. 2例如：证明证明 111111nnnnn是任意的正整数分析：此命题中式子两边都含有递归地定义的函数，按理说是可以用数学归纳法的，但是可以由逐步计算1111nn的值来递推出的值.而23111111111nnnn，1111nn的

13、这些值对却没有一点的用处.2311111, 1, 1, 1nnnnn 1111nn所以在这个命题中已经失去了“递推”的意义.具体证明在这里不作说明.我举的这些例子可能存在不托之处，敬请大家提出以便修改.5 5 数学归纳法的解题步骤及常见的问题数学归纳法的解题步骤及常见的问题 用数学归纳法证明一个命题的步骤分为清楚的两步：（1）验证当 取某一个自然数（即对于此命题的“最小自然数” ）时命n0n题成立.这步可称为归纳奠基，是论证的基础，是命题得以成立的起点.（2）在假设当 取某一自然数是结论正确的前提下，严格推导出n0k kn当取的后继自然数时命题也成立，说明命题的正确性是可以传递的，nk1k 从

14、而具有普遍性.这步可称为归纳递推，是关键，其基本构思是“找出在时命题也能表现为类似时的结果”.因此，归纳递推的基本构思在1nknk于设法使用归纳假设.完成这两个步骤之后，注意到证明步骤的完整与书写格式的规范，才可以也必须下结论：该命题对于一切自然数都成立.0n nn我们在初学数学归纳法和利用数学归纳法证明的过程中，往往会出现两个方面的困难：一是对自然数的上述特征和逻辑上的蕴涵关系不能透彻理解，从而对两个步骤的意义和作用不十分明白，使用中顾此失彼；二是因为第二步进行式子的变换，要会充分利用假设，这常常会有一定的难度和技巧.现在我就常见的几种现象用简单的例子加以说明.现象 1：很多初学者有这样的疑

15、问：“为什么在应用数学归纳法的时候在第一步中只验证当时成立就可以了，而不多验证00nnn是题中的最小自然数几个？”？这是对数学归纳法的实质没有理解.验证了“时命题成立”只是为了0nn说明数学归纳法的特殊性，在证明了第二步的延续性后由这个特殊性就可以逐步递推出“当时命题也成立，从而得出命题对一切大1,2,3,nnnnk于的自然数都成立.0n现象 2：在数学归纳法的第二步中“假设时命题成立”推出“当nk时命题也成立”时，很多人对这里的“假设”产生了疑惑，认为“当1nk时命题成立”是假设的，就算是证明了“时命题也成立”又有什nk1nk么意义？出现这种现象是他们对数学归纳法的这种强有力的概括性语言没有

16、理解，没有弄清楚第二步的目的.第二步的证明只是也仅仅是为了证明命题的延续性，即证明“对于使命题成立的任意的值，都有它的后继，也一定使这个k1nk命题成立.由第一步验证的“时命题成立”我们就可以得出命题成立的存0nn在性，从而我们的假设也就有了根据和基础.例例 1 1 试判断下面的证明过程是否正确： 用数学归纳法证明：11 3732312nnn 证明证明 当时，左边，右边 11n 11可得当时命题成立.1n 假设当时命题成立,即 2nk11 3732312kkk 则当时,需证1nk 11 37323121 32*2kkkk 由于左端等式是一个以 为首项，公差为 ，项数为的等差数列的131k 前项

17、和,其和为n111 1 311 3222kkkk所以式成立,即时,命题成立.由数学归纳法可知对一切,命 *1nknN题都成立.分析:看一个用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步归纳假设是否被应用，如果没有用到归纳假设，那就是不正确的.解答：以上用数学归纳法证明的过程是错误的。在证明当时等式成立时，没有用到当时命题成立的归纳假设，1nknk故不符合数学归纳法证题的要求。现象 3：对归纳递推中的蕴涵关系不清楚，对的任意性没有理解，必须弄k懂归纳递推的实质：有的同学由于对自然数的性质和逻辑上的蕴涵关系不明白，怀疑：“时，命题到底成立不成立？是否应该证明？怎样证明”

18、？nk p k也有人认为，在“假设时命题成立”时由的任意nkk是任意自然数k性可知也是可以代替的，所以再去证明“时命题也成立”是多余k1k 1nk的，没有必要，直接假设“时命题也成立”就可以了.1nk前面已经说过，数学归纳法的实质在于将一个无法穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题“为真”和“为真则真” ，从而达到证明 1p p k1p k 的目的.因此，在已经验证“为真”的前提下，为真是作为第二步的 1p p k条件出现的，只是第二步的出发点，是不需要证明的.的任意性，只是在“假设时命题成立”时是任意的.即在假设之后knk推导“时命题也成立”时就固定了不再是任意的，也不可以再变.就像1nk证明

19、“任意三角形的内角和都是”一样，我们在画的时候可以任意的画出0180一个三角形，但是画出以后这个三角形就是固定的不能再改变.如果我们算了三角形的一个角以后，再去加另一个三角形的一个角，接着再去加与这两个三角形都不同的三角形的一个角，那么我们就不可能证明这个定理.和永远是k1k 两个相临的不同的自然数，只是使命题成立的任意自然数中的其中一个，至k于它的后继能否使命题成立有待我们去证明. 1k 例例 2 2 通过一点有个平面，其中没有任何 个平面交于同一条直线，用数n3学归纳法证明这些平面把空间分成个部分.22nn证明证明 设适合条件的个平面把空间分成个部分，即nnp22npnn当时，,显然符合条

20、件，故命题成立。 11n 11 122p 假设当时,命题成立,即满足命题条件的个平面把空间分成 2nkk个部分，22kpkk那么当时,即如果再有一个平面适合条件,那么,在平面上必有1nk条交线，k所以,平面被分成个部分,即2k221222112kkppkkkkkk故当时，成立.1nk22npnn综上可知对任何，命题成立. 1 2nN点评:几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等.在这里了我们就不能直接利用的任意性来得出当时命题k1nk也成立.我们必须严格按照数学归纳法的两个步骤来证明命题的正确性.要明白在假设出来后就是固定的不可在变,它和永远是两个不同的数.k1k 现象 4：不会利用归纳假设.归纳递推的关键是利用归纳假设.具体说来就是在“为真”的前提下， p k推演出“为真”.“为真”是一个关于“ ”的表达式，即以1p k p kk“ ”为自变量的一个函数关系式.要得出“为真”就要推出这个函数k1p k 关系式中自变量为“”时也成立.这样我们就达到了目的.1k 例例 3 3 用数学法