高考文科数学不等式选讲考点精细选

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业不等式选讲考点精细选不等式选讲考点精细选一、知识点整合：一、知识点整合：1 含有绝对值的不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a 或或 f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)a.(3)对形如对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c 的不等式，可利用绝对值的几何的不等式，可利用绝对值的几何意义求解意义求解2 含有绝对值的不等式的性质含有绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.3 柯西不等式柯西不等式(1)设设 a，b，c，d 均为实数均为实数，则则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当当且仅当 ad

2、bc 时时等号等号成立成立(2)若若 ai，bi(iN*)为实数为实数，则则(ni1a2i)(ni1b2i)(ni1aibi)2，当且仅当当且仅当a1b1a2b2anbn(当当某某 bj0 时，认为时，认为 aj0，j1,2，n)时等号成立时等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则为平面上的两个向量，则|，当且，当且仅当这两个向量共线时等号成立仅当这两个向量共线时等号成立4 不等式的证明方法不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等纳

3、法等练习精细选练习精细选1若关于实数若关于实数 x 的不等式的不等式|x5|x3|a 无解，则实数无解，则实数 a 的取值范围是的取值范围是_答案答案(，8解析解析|x5|x3|5x|x3|5xx3|8，(|x5|x3|)min8，要使要使|x5|x3|a 无解，只需无解，只需 a8.2 (2013江西江西)在实数范围内，不等式在实数范围内，不等式|x2|1|1 的解集为的解集为_答案答案0,4解析解析由由|x2|1|1 得得1|x2|11，解解|x2|0|x2|2得得 0 x4.不等式的解集为不等式的解集为0,4精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3已知已知 a，b，m，n 均为正数，

4、且均为正数，且 ab1，mn2，则，则(ambn)(bman)的最小的最小值为值为_答案答案2解析解析由柯西不等式由柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2， 当且仅当且仅当当 adbc 时时“”成立成立，得得(ambn)(bman)( am an bm bn)2mn(ab)22.4若不等式若不等式|kx4|2 的解集为的解集为x|1x3，则实数，则实数 k_.答案答案2解析解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为不等式的解集为x|1x3，k2.5设设 x，yR，且，且 xy0，则，则x21y21x24y2的最小值为的最小值为_答案答案9解析解析x21y21x24y251

5、x2y24x2y2521x2y24x2y29，当且仅当当且仅当 x2y212时时“”成立成立三、典型题型分析三、典型题型分析题型一题型一含绝对值的不等式的解法含绝对值的不等式的解法例例 1已知函数已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当当 a2 时，求不等式时，求不等式 f(x)1，且当，且当 xa2，12 时，时，f(x)g(x)，求，求 a 的取值范围的取值范围审题破题审题破题(1)可以通过分段讨论去绝对值；可以通过分段讨论去绝对值；(2)在在 xa2，12 时去绝对值，利用时去绝对值，利用函数最值求函数最值求 a 的范围的范围解解(1)当当 a2 时，不等式时，不等式

6、 f(x)g(x)化为化为|2x1|2x2|x30.设函数设函数 y|2x1|2x2|x3，则则 y5x，x1，其图象如图所示其图象如图所示，由图象可知由图象可知，当且仅当当且仅当 x(0,2)时时，y0，所以原不等式的解集所以原不等式的解集是是精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业x|0 x1，则，则a20 的解集；的解集；(2)若关于若关于 x 的不等式的不等式 f(x)2 的解集是的解集是 R，求，求 m 的取值范围的取值范围解解(1)由题设知由题设知|x1|x2|5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：x2，x1x25或或1x5或或x

7、5，解得函数解得函数 f(x)的定义域为的定义域为(，2)(3，)(2)不等式不等式 f(x)2 即即|x1|x2|m2，xR 时，恒有时，恒有|x1|x2|(x1)(x2)|3，不等式不等式|x1|x2|m2 解集是解集是 R，m23，m 的取值范围是的取值范围是(，1题型二题型二不等式的证明不等式的证明例例 2已知函数已知函数 f(x)m|x2|，mR，且，且 f(x2)0 的解集为的解集为1,1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(1)求求 m 的值；的值；(2)若若 a，b，cR，且，且1a12b13cm，求证：，求证：a2b3c9.审题破题审题破题(1)从解不等式从解不等式 f

8、(x2)0 出发出发， 将解集和将解集和1,1对照求对照求 m； (2)利用柯利用柯西不等式证明西不等式证明(1)解解因为因为 f(x2)m|x|，f(x2)0 等价于等价于|x|m.由由|x|m 有解，得有解，得 m0，且其解集为，且其解集为x|mxm又又 f(x2)0 的解集为的解集为1,1，故，故 m1.(2)证明证明由由(1)知知1a12b13c1，又又 a，b，cR，由柯西不等式得，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)1a12b13ca1a 2b12b 3c13c29.点评点评：不等式证明的基本方法是比较法不等式证明的基本方法是比较法、综合法综合法、分析法分析法、反证法反证法、放放

9、缩法和数学归纳法缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的入手达到证明的目的变式训练变式训练 2已知已知 f(x)|x1|x1|，不等式，不等式 f(x)4 的解集为的解集为 M.(1)求求 M；(2)当当 a，bM 时，证明：时，证明：2|ab|4ab|.(1)解解f(x)|x1|x1|2x，x1.当当 x1 时，由时，由2x4，得，得2x1；当当1x1 时，时

10、，f(x)21 时，由时，由 2x4，得，得 1x2.M(2,2)(2)证明证明a，bM，即，即2a2，2b2，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|0 时，时，4ax2a，得，得 a2.(2)记记 h(x)f(x)2fx2 ，则则 h(x)1，x1，4x3，1x0，即即|x1|x5|a2.设设 g(x)|x1|x5|，则则 g(x)|x1|x5|2x6，x5，4，1xa2，f(x)minlog2(42)1.(2)由由(1)知，知，g(x)|x1|x5|的最小值为的最小值为 4，精选优质文档-倾情为你奉上专

11、心-专注-专业|x1|x5|a0，a0)(1)当当 a1 时，解不等式时，解不等式 f(x)8；(2)若若 f(x)6 恒成立，求正实数恒成立，求正实数 a 的取值范围的取值范围规范解答规范解答解解(1)f(x)|x|2|x1|23x，x1.当当 x0 时，由时，由 23x8，得，得2x1 时，由时，由 3x28，解得，解得 1x103.综上，不等式综上，不等式 f(x)8 的解集为的解集为2，103 .5 分分(2)因为因为 f(x)|x|2|xa|2a3x，xa.可见可见 f(x)在在(，a)上单调递减，在上单调递减，在(a，)上单调递增，上单调递增，所以当所以当 xa 时，时，f(x)取

12、最小值取最小值 a，所以，所以 a 的取值范围是的取值范围是6，)10 分分评分细则评分细则(1)f(x)去绝对值得分段函数给去绝对值得分段函数给 2 分分； 三种情况下的解集错一种扣三种情况下的解集错一种扣 1 分分，没有最后结论扣没有最后结论扣 1 分；分；(2)求出求出 f(x)的单调性给至的单调性给至 8 分分阅卷老师提醒阅卷老师提醒(1)含有绝对值式子的函数含有绝对值式子的函数，实质上就是一个分段函数实质上就是一个分段函数，根据解析根据解析式中每个绝对值取零时的自变量的值将定义域分成几段式中每个绝对值取零时的自变量的值将定义域分成几段，分段去掉绝对值符号即分段去掉绝对值符号即可可(2

13、)分段讨论时要注意不重不漏，讨论后要有最后总结性结论分段讨论时要注意不重不漏，讨论后要有最后总结性结论五、小题冲关五、小题冲关1不等式不等式|2x1|2|x1|0 的解集为的解集为_答案答案x|x14解析解析原不等式等价于原不等式等价于|2x1|2|x1|(2x1)24(x1)2x14.2设设 a，b，c，x，y，z 是正数是正数，且且 a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则，则abcxyz_.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业答案答案12解析解析通过等式找出通过等式找出 abc 与与 xyz 的关系的关系由题意可得由题意可得 x2y2z22ax2by2cz，与与 a

14、2b2c210 相加可得相加可得(xa)2(yb)2(zc)210，所以不妨令所以不妨令xaa，ybb，zcc或或xab，ybc，zcz，则则 xyz2(abc)，即，即abcxyz12.3 若若 a，b，c(0，)，且，且 abc1，则，则 a b c的最大值为的最大值为_答案答案3解析解析( a b c)2(1 a1 b1 c)2(121212)(abc)3.当且仅当当且仅当 abc13时，等号成立时，等号成立( a b c)23.故故 a b c的最大值为的最大值为 3.4 不等式不等式|x1|x2|1 的实数解为的实数解为_答案答案x|x32且且 x2.解析解析|x1|x2|1，|x1

15、|x2|.x22x1x24x4，2x30.x32且且 x2.5 若不等式若不等式 x|x1|a 有解，则实数有解，则实数 a 的取值范围是的取值范围是_答案答案1，)解析解析设设 f(x)x|x1|，则，则 f(x)2x1 x1 ，1 x1 .f(x)的最小值为的最小值为 1.所以当所以当 a1 时，时，f(x)a 有解有解6 对于任意的实数对于任意的实数 a(a0)和和 b，不等式不等式|ab|ab|M|a|恒成立恒成立，记实数记实数 M 的的最大值最大值是是 m，则，则 m 的值为的值为_精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业答案答案2解析解析不等式不等式|ab|ab|M|a|恒成立，

16、恒成立，即即 M|ab|ab|a|对于任意的实数对于任意的实数 a(a0)和和 b 恒成立，恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值只要左边恒小于或等于右边的最小值因为因为|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，当且仅当，当且仅当(ab)(ab)0 时等号成时等号成立，即立，即|a|b|时，时，|ab|ab|a|2 成立，也就是成立，也就是|ab|ab|a|的最小值是的最小值是 2.六、六、专题限时规范训练专题限时规范训练一、填空题一、填空题1 不等式不等式|x3|x2|3 的解集为的解集为_答案答案x|x1解析解析原不等式可化为：原不等式可化为：x3，x3x23或或3x2，x3x23或或x

17、2，x3x23，x 或或 1x0， y0， Mxy2xy， Nx2xy2y， 则则 M、 N 的大小关系为的大小关系为_答案答案Mx2xyy2xyxy2xyM.3 对于实数对于实数 x，y，若，若|x1|1，|y2|1，则，则|x2y1|的最大值为的最大值为_答案答案5解析解析|x1|1，1x11，0 x2.又又|y2|1，1y21，1y3，从而从而62y2.由同向不等式的可加性可得由同向不等式的可加性可得6x2y0，5x2y11，|x2y1|的最大值为的最大值为 5.4 若关于若关于 x 的不等式的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数存在实数解，则实数 a 的取值范围是的取值范围是_答

18、案答案(，33，)解析解析f(x)|x1|x2|2x1 x1 ，3 1x2 ，2x1 x2 ，f(x)3.要使要使|a|x1|x2|有解，有解，需满足需满足|a|3，即，即 a3 或或 a3.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业二、解答题二、解答题5 设不等式设不等式|2x1|1 的解集为的解集为 M.(1)求集合求集合 M；(2)若若 a，bM，试比较，试比较 ab1 与与 ab 的大小的大小解解(1)由由|2x1|1 得得12x11，解得，解得 0 x1，所以所以 Mx|0 x1(2)由由(1)和和 a，bM 可知可知 0a1,0b0，故故 ab1ab.6 若不等式若不等式|x1x|

19、a2|1 对于一切非零实数对于一切非零实数 x 均成立，求实数均成立，求实数 a 的取值范围的取值范围解解|x1x|2，|a2|12，1a3.7已知实数已知实数 x，y 满足：满足：|xy|13，|2xy|16，求证：，求证：|y|518.证明证明因为因为 3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知由题设知|xy|13，|2xy|16，从而从而 3|y|231656，所以，所以|y|518.8 已知函数已知函数 f(x)|xa|.(1)若不等式若不等式 f(x)3 的解集为的解集为x|1x5，求实数，求实数 a 的值；的值；(2)在在(1)的条件下的条件下，若若 f(x)f(x5)m 对一切实数对一切实数 x 恒成立恒成立，求实数求实数 m 的取值的取值范围范围解解方法一方法一(1)由由 f(x)3 得得|xa|3，解得，解得 a3xa3.又已知不等式又已知不等式 f(x)3 的解集为的解集为x|1x5，所以所以a31，a35，解得解得 a2.(2)当当 a2 时，时，f(x)|x2|，设，设 g(x)f(x)f(x5)，于是于是 g(x)|x2|x3|2x1，x2.所以当所以当 x5；当当3x2 时，时，g(x)5；当当 x2 时，时，g(x)5.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业综上可得，综上可得，g(x)的最小值为的最小值为 5.从